Analyse des Réseaux Electriques

Théorie des Circuits
Analyse des Réseaux Electriques
• Analyse et Mise en Equations des Réseaux Electriques
• Analyse par la Méthode des Courants Indépendants
9 Exemple : Pont de Mesure de Carey-Foster
• Analyse par la Méthode des Potentiels Indépendants
9 Exemple : Transmission d’un Signal au travers d’un Biporte
• Réseaux avec Sources Dépendantes
• Exercices
Théorie des Graphes & Analyse des Réseaux
c
a
e
2
1
4
1
b
b
e
d
5
a
e
f
c
2
b
h
g
a
e
d
5
4
h
f
g
3
3
Graphe (G), associé au réseau : ∋ b branches et n nœuds
d
• Arbre = tout sous-graphe connexe qui contient tous les
noeuds de G mais ne contient aucune maille (e, f, g, h)
• Co-arbre = sous-graphe complémentaire d'un arbre
• Chaînons = branches d’un co-arbre (a, b, c, d)
a
e
3
4
c
5
1
f
b
h
g
2
• Rang d'un graphe ρ = nombre de branches dans un arbre : ρ = n – 1
• Nullité d'un graphe µ = nombre de chaînons : µ = b - ρ = b – n + 1
Théorie des Graphes & Analyse des Réseaux
Matrice d'Incidence
Aa = (aij) : décrit un graphe
∀ colonne ↔ 1 branche
&
∀ ligne ↔ 1 nœud
aij = +1 si la branche j est incidente au noeud i et est orientée vers lui
• aij = −1 si la branche j est incidente au noeud i et s'éloigne de lui
• aij = 0 si le noeud i n'est pas une extrémité de la branche j
•
a
d
Exemple :
a
e
3
c
5
f
b
h
g
c
d
e
f
g
h
1  − 1 0 0 0 0 0 −1 0 
2  0 +1 0 0 0 −1 +1 −1 
Aa = 3  + 1 − 1 0 − 1 −1 0 0 0 


4  0 0 −1 0 +1 +1 0 0 
5  0 0 +1 +1 0 0 0 + 1
4
1
b
2
Rang (Aa) < n
(car Σ lignes de Aa ≡ 0 (∀ col. ∋ -1,+1) et n lignes non lin. indép.)
Suppression d’une ligne de Aa :
( ↔ Nœud de Référence = « terre » ou « masse » )
Æ Matrice d'Incidence Réduite A, ∆(A) ≠ 0
et
Rang (A) = n – 1 = ρ = Rang de G
Théorie des Graphes & Analyse des Réseaux
Matrices de Mailles
B=(bij) : décrit un ensemble de mailles dans un graphe
∀ colonne ↔ une branche
&
∀ ligne ↔ une maille orientée
bij = +1 si la branche j ∈ à la maille i et si leurs orientations coïncident
• bij = −1 si la branche j ∈ à la maille i et si leurs orientations sont opposées
• bij = 0 si la branche j ∉ à la maille i
•
γ
1
a
2
b
3
a
c
α
e
β
d
4
f
5
g
b
c
d
e
f
g
α  +1 0 +1 +1 0 −1 0 
B = β  0 −1 0 −1 − 1 0 −1 
γ  +1 −1 +1 0 −1 −1 −1 
6
• ∀ matrice de mailles est ⊥ à la matrice d'incidence :
Aa BT ≡ BAaT ≡ 0
Théorie des Graphes & Analyse des Réseaux
Mailles Indépendantes :
Aucune maille n’est une combinaison des autres
(↔ combili dans la matrice B)
Æ Rang (B) = µ = nullité du graphe = nombre de chaînons
(soit T un arbre de G Æ ∃ 1! parcours entre deux extrémités - sinon l’arbre ∋ maille
Æ ce parcours + un chainon = maille de G
Æ ∀ maille comprend 1! Chaînon Æ ∀ chaînon engendre 1! Maille)
Cas Particulier : Graphe Planaire
• Graphe Planaire := si représentable sur un plan :
les seuls points communs des branches sont les noeuds
• Fenêtre := ∀ portion du plan délimitée par des branches
• Ensemble des mailles définies par les fenêtres :
≡ Système de Mailles Indépendantes
Mise en Equation des Réseaux
I = BT I m
Courants de Mailles et de Branches
• Courant de Maille : im
2
e
= Courant dans le chaînon qui définit la maille
c
a
(1)
• Courant de Branche : i
= Σ des courants im des mailles qui contiennent la branche
(3)
b
1
f
(2)
(4)
h
i
g
6
Tensions de Branches et Potentiels des Nœuds
• Noeud n
d
U = − AT V
↔ ligne supprimée dans Aa Æ A
↔ référence choisie pour représenter le potentiel des autres nœuds
• Potentiel de Nœud : vα
• Tension de Branche : uk
(k)
α
ik
uk
β
3
4
uk = vα − vβ
= −aα k vα − aβ k vβ
5
Mise en Equation des Réseaux
Analyse des Réseaux Electriques
Etude de réseaux ∋ :
résistances, capacités, inductances propres et mutuelles, sources
indépendantes de tension et de courant
Æ 2b inconnues = b tensions de branches + b courants de branches
• Lemmes de Kirchhoff de 1ère espèce :
Σ des courants des branches indicielles au même noeud = 0
Æ ∀ les noeuds du réseau :
A⋅ I = 0
( ρ éq. indép.)
• Lemmes de Kirchhoff de 2ème espèce :
Σ des tensions aux bornes d'un ensemble de branches constituant 1 maille = 0
Æ ∀ ensemble de mailles :
• Equations des branches :
B ⋅U = 0
( µ éq. indép.)
Æ ( b équations indépendantes )
Æ 3 systèmes d'équations, indépendants entre eux
Æ Transformée de Laplace
Æ ρ + µ + b = 2b
éq. lin. et indépendantes
Mise en Equation des Réseaux
Structure du Graphe (G) Associé à un Réseau
G à définir Æ obtenir un système d'équations avec un nombre minimum d'inconnues !
1. Analyse par la Méthode des Courants Indépendants
(µ mailles)
Branche de G ↔ bipôle constitué par plusieurs bipôles passifs, connectés en série
c
e
e
4
2
c
e
1
4
1
2
d
b
b
b
a
5
h
e
d
a
h
g
f
g
5
a
f
3
3
2. Analyse par la Méthode des Potentiels
Indépendants
(n-1 nœuds)
Branche de G ↔ bipôle constitué par des
éléments passifs, connectés en parallèle
d
1
b
2
1
3
d
b
2 d 3
c
a
a
e
c
e
a
4
4
En principe, Approche 2 plus intéressante que Approche 1 si : n – 1 < µ
e
Mise en Equation des Réseaux
Dans les deux cas :
∀ branche ↔ un ou plusieurs éléments passifs :
• Une source isolée ne correspond pas à une situation saine du point de vue physique
• Il est toujours possible de procéder à une transformation du réseau donné lorsque la
résistance interne d'une source de courant est négligeable
c
c
a
a
es
es
es
b
b
d
d
h
h
is
f
is
g
a
f
a
d
g
d
is
b
b
c
c
Méthode des Courants Indépendants
Æ Système d'équations en les µ courants de mailles indépendantes
Branches avec Sources de Tension Indépendantes
ek
α
Structure d'une Branche k :
Rk
Lk
Ck
β
ik
uk = vα - vβ
Æ Aux bornes de k :
b

di
1
uk = ek +  Rk ik + ∑ Lkl l + uCk ( 0 )ε( t ) +
dt
Ck
l =1


i
d
τ
k
∫0  t ≥ 0

t
• Si ∃ couplage par induction mutuelle : Lkl = Llk
• Si pas de couplage :
Lkl = 0 ( k ≠ l ),Lkk = Lk
• Si pas de résistance ou pas d'inductance : Rk = 0 ou Lk = 0
• Si pas de capacité
Ck = ∞
Æ Conditions sur les sources pour assurer la
continuité de l'état énergétique du réseau :

 l , k = 1 , 2 ,...,b
uCk ( 0− ) = uCk ( 0+ ) = uCk ( 0 )
il ( 0− ) = il ( 0+ ) = il ( 0 )
Méthode des Courants Indépendants
b
b


uCk ( 0 )  
1
Ik 
+  Rk I k + ∑ Lkl pI l +
Transformée de Laplace Æ U k =  E k − ∑ Lkli l ( 0 ) +

p  
Ck p 
l =1
l =1

Pour l'ensemble du Réseau Æ Relation Matricielle :
Avec :
 i1 ( 0 ) 
 i ( 0 )

i( 0 ) =  2
#



i
(
0
)
b

 E1 
 
E
E= 2
# 
 
 Eb 
 I1 
 
I
I =  2
# 
 
 Ib 
 uC 1 ( 0 ) 
 u ( 0 )

uC ( 0 ) =  C 2
#



u
(
0
)
 Cb

 U1 
 
U
U= 2
# 
 
 Ub 
 L1 L12 L1b 
L
L2 L2 b 

M =  21
% # 
#


 Lb 1 Lb 2 Lb 

u ( 0 )
U =  E − Mi( 0 ) + C
+ ZI
p 

1

 R1 + L1 p + C p
1


L21 p
Z =

#

 Lb1 p





1

R2 + L2 p +
L2b p

C2 p


#
%

1 
Lb 2 p
Rb + Lb p +
Cb p 
L12 p
L1b p
1

 Rk + Lk p + C p = Z k ( p ) = imp.branchek
k
Z = Matrice des Impédances de Branches : 
 L .p = Z ( p ) = imp.couplageentreketl
 kl
kl
• Couplage magnétique réciproque ( Lkl = Llk ) Æ
M et Z = matrices symétriques
• Si réseau sans inductances mutuelles
Æ M et Z = matrices diagonales
• Si régime sinusoïdal : U, I Æ substituts complexes ;
Z( p ) Æ Z( jω )
Méthode des Courants Indépendants
Branches avec Sources de Tension et Sources de Courant Indépendantes
Isk
Zk
Branche k : α
Æ Rk, Lk, Ck parcourus par Ik + Isk
β
Ik + Isk
Ek
Æ Soit I s = ( I s 1 , I s 2 ,...,I sb )
T
Æ


u (0)
U =  E − Mi( 0 ) + C
+ ZI s  + ZI
p


Æ Et = Vecteur des Sources de Tensions Totales de branches
ƒ Sources Fictives :
E ( 1 ) = − Mi( 0 ) +
uC ( 0 )
p
=
= E t + ZI
E + E ( 1 ) + E( 2 )
≡ Action des C.I. (= 0 si régime sinus.)
E ( 2 ) = ZI s
ƒ Sources de Tension équivalentes aux Sources de Courant :
I sk
Æ
Transformation de ∀ source de courant
en source de tension équivalente :
α Ik
Ek + Z kIsk
Ek
Zk
Uk
β
Zk
α Ik
Uk
β
Méthode des Courants Indépendants
Analyse d’un Réseau Electrique – Cas Général
• Choix (arbitraire) d’un ensemble de µ mailles indépendantes (si calcul de quelques
courants de branches seulement : les faire correspondre aux courants de mailles)
• Expression des courants de branches en fct des courants de mailles :
• Equations de K. de 1ère espèce Æ
AI = AB T I m ≡ 0
• Equations de K. de 2nde espèce Æ
BU = BEt + BZB T I m = 0
Æ En posant E m = − BEt
Em = Z m I m
I = BT Im
(tjrs vrai car A⊥B)
et Z m = BZB , il vient :
T
Æ Système des Equations de Mailles, à résoudre
• Em = vecteur des sources de tension de mailles
• Zm = matrice des impédances de mailles (matrice carrée symétrique d'ordre µ)
Autres Grandeurs Electriques
I = BT Im
Æ I et U déduits de Im :
&
U = Et + ZI
Méthode des Courants Indépendants
Analyse d’un Réseau Complexe
Régime Sinusoïdal
Æ
:
(ex : réseaux transport d'énergie électrique)
Z & Zm = matrices de nbres
^ ; Em & Im = vecteurs ^
Résolution d'un système complexe de µ équations algébriques linéaires
≡ résolution d'un système réel de 2µ équations linéaires à 2µ inconnues
E m = E + jE
'
m
''
m
Im = I + jI
'
m
''
m
Z m = Rm + jX m
Æ
 E 'm = Rm Im' − X m Im"
 "
'
"
 E m = X m I m + Rm I m
Analyse d’un Réseau en Fonctionnement Transitoire
Z & Zm = Matrices Polynomiales
Æ
Résolution implique le traitement de fonctions rationelles, dont le degré est
très élevé si réseau ∋ bcp d’éléments réactifs
Æ
Résolution complexe !
Méthode des Courants Indépendants
Analyse des Réseaux Simples
(si peu de mailles indép., µ = 2, 3 ou 4)
Em = Z m I m
Possibilité d’écrire directement le système d’équations
Æ
∀ maille λ , µ :
• Em = Σ sources de tension réelles ou équivalentes
Æ signe + si même orientation que la maille, - sinon
•
Z m = BZB T
Æ
impédance de couplage :
b
 b

Z m ( λ , µ ) = ∑ bµj  ∑ bλi Z ij  = ∑ bλi bµj Zij
j =1
 i =1
 i , j =1
b
Méthode des Courants Indépendants
Î Règle de Calcul de la Matrice des Impédances de Mailles :
• Impédance de couplage Z m (λ ,µ ) = Σ :
ƒ des impédances des branches communes aux
mailles λ et µ, comptées positivement lorsque
les orientations des mailles coïncident, et
négativement sinon
(λ )
Zr
(µ )
bλ 2 bu 2 Z r = − Z r
ƒ des impédances mutuelles entre chaque
branche de λ et chaque branche de µ,
comptées
positivement
lorsque
les
branches sont toutes deux orientées
comme les mailles ou toutes deux de
façon
opposées
aux
mailles,
et
négativement sinon
Li
Lik
Lk
(µ)
Ljk
Lj
Ll
Ljl
Zr
(µ )
bλ 2 bu 2 Z r = + Z r
bλi buk Z ik + bλi bul Zil
Lil
(λ)
(λ)
+ bλ j buk Zjk + bλ j bul Z jl
= + pLik + pLil
− pL jk − pL jl
Méthode des Courants Indépendants
• Impédance propre Z m (λ ,λ ) = Σ :
2
ƒ des impédances propres des branches de λ , toutes comptées positivt. (car bλ i = 1 )
ƒ des impédances mutuelles entre les branches de λ
prises deux à deux, comptées positivement deux fois
lorsque les branches sont toutes deux orientées comme
la maille, ou toutes deux de façon opposées à la maille,
et négativement deux fois sinon
Æ
(m)
Z λλ
= pLi + pLj + pLk +
(λ)
Lj
L ij
Li
L jk
L ki
Lk
1
− 2 pLij − 2 pLki + 2 pL jk
pC l
Cl
Exemple 1
Z1
Us
I
Z3
Z2
II
Us   Z1 + Z 2
 0  =  −Z
  
2
Uz
Z4
−Z2
  II 

Z 2 + Z 3 + Z 4   I II 
Æ Résolution par Cramer…
Méthode des Courants Indépendants
Exemple 2 : Conditions d'Equilibre du Pont de Carey-Foster
1
Eléments inconnus : Rx , Cx
R1
3
b=5;n=3
Rg
L2
M
Rx
R2
Æ µ = b – n +1 = 3 mailles
• Condition d'Equilibre :
1
4
Eléments de réglage : L23 (M) , R1
L3
3
(II) (I)
Cx
Ig = 0
E
(III)
2
2
Rs
Æ Système de Mailles : tel que la branche du galvanomètre ne contienne qu’1! maille
• Vecteur des Sources :
Æ
Em = ( 0 0 E )
 Rg + Z 2
Z m =  Z 2

 − Z 2 − j ωM
T
Z2
R1 + Z2 + Z x
− Z 2 − Z x − jωM
1
On Pose : Z2 = R2 + j ωl 2 ; Z x = Rx +
jω C x
− Z 2 − j ωM


− Z 2 − Zx − j ωM

Z 2 + Z x + Rs + ( L3 + 2 M ) j ω 
Méthode des Courants Indépendants
• Conditions d'Equilibre Æ
I I = E ⋅ ∆ ( 3, 1 ) / ∆ m ≡ 0
Æ
− Z 2 ( Z 2 + Z x + jω M ) + ( Z 2 + j ωM )( R1 + Z2 + Z x ) ≡ 0
Æ
R1 Z 2 + ( R1 + Z x ) j ωM ≡ 0
Æ

M
 R1 R2 +
 + j ω [ R1 ( L2 + M ) + R x M ] ≡ 0
C
x 

Æ
Rx = − R1 ( M + L2 ) / M
Æ
∆ ( 3, 1 ) ≡ 0
Cx = − M /( R1 R2 )
Remarques :
• Conditions d'équilibre indépendantes de la fréquence :
Equilibre du galvonomètre maintenu pour une source E quelconque
• Equilibre obtenu seulement si le coefficient d'induction mutuelle M est négatif :
Choix arbitraire fait pour le sens positif des courants dans les branches 2 et 3
Méthode des Potentiels Indépendants
Æ Système d'équations en les (n-1) potentiels de nœuds indépendants (méthode duale)
Plus intéressant que la méthode des mailles si n – 1 < µ
(en principe, car n et µ dépendent de la manière dont on a structuré les branches du réseau)
Structure des Branches avec Sources de Courant Indépendantes
isk
Æ Courant dans la branche k :
Gk
α
ik
Lk
t


duk
1
+ iLk ( 0 )ε( t ) + ∫ uk d τ 
ik = − isk + Gk uk + Ck
dt
Lk 0


(t ≥ 0)
β
Ck
uk = vα - vβ
• Si pas de résistance / de capacité
• Si pas d'inductance Æ
Æ
Gk=0
/
Ck=0
Lk = ∞
• Exprimer iLk = fct ( uk ) uniquement
Ù
Pas d’inductances mutuelles !!!
Î Si ∃ Inductances Mutuelles Æ Méthode des Courants Indépendants !
Méthode des Potentiels Indépendants
Æ Transformée de Laplace :
(+ continuité de l'état énergétique du réseau en t = 0)

i ( 0 ) 
1 
I k =  − I sk − C k uCk ( 0 ) + Lk
+  Gk + C k p +
Uk

p  
Lk p 

( k = 1, 2 ,...,b)

i ( 0 )
I = −  I s + CuC ( 0 ) − L
+ YU
p 

Æ Pour l'ensemble du Réseau :
 C1 0 " 0 
 U1 
 I1 
0 C
# 
2
C=
; U =  # 
; I =  # 
 #
% # 
U 
I 


 b
 b
0
"
" Cb 

 I s1 
 uC 1 ( 0 ) 
 i L1 ( 0 ) 
I 
 u ( 0 )


 ; iL ( 0 ) =  i L 2 ( 0 ) 
I s =  s 2  ; uC ( 0 ) =  C 2
# 
#

#

 




 I sb 
 uCb ( 0 ) 
 i Lb ( 0 ) 
Y = Z −1
1


0
 G1 + C1 p + L p " 0

1


1


+
+
G
C
p
0
#
2
2

=
L2 p


%
#
#



1


+
+
G
C
p
0
"
b
b

Lb p 

• Y = Matrice des Admittances des Branches
(matrice diagonale)
1
= Yk ( p ) = Admittance de la Branche k
• Gk + C k p +
Lk p
• Réseau
⊃
/
d'inductances mutuelles
Æ
Yk = Z k−1
Ykl = 0
(k ≠ l )
Méthode des Potentiels Indépendants
Branches avec Sources de Courant & Sources de Tension Indépendantes
Æ Tension aux bornes de Gk ,Ck ,Lk
I sk
Si :
α
Ek
Yk
Uk
Ik β
Æ Remplacer U par U - E :


i (0)
I = −  I s + CuC ( 0 ) − L
+ YE  + YU
p


I s( 1 ) = CuC ( 0 ) −
= − I st + YU
= Is + I s
(1)
Æ Ist = Vecteur des Sources de Courant Totales de Branches
ƒ Sources Fictives :
= Uk - Ek
iL ( 0 )
≡ Action des C.I. (= 0 si rég. sinus.)
p
ƒ Sources de Courant Equivalentes aux Sources de Tension :
Isk
Æ
+ I s( 2 )
Transformation de ∀ source de tension
en source de courant équivalente :
α
I s( 2 ) = YE
Isk + YkEk
Ek
Yk
Uk
Ik β
α
Yk
Uk
β
Méthode des Potentiels Indépendants
Analyse d’un Réseau electrique – Cas Général
• Choix d’un nœud de référence
U = − ATV
• Expression des tensions de branches = fct (potentiels des nœuds) :
• Eq. de Kirchhoff de 2nde espèce Æ
BU = − BATV ≡ 0
• Eq. de Kirchhoff de 1ère espèce Æ
AI = − AI st − AYATV = 0
En posant
In = − AIst
I n = YnV
et
(tjrs vrai car A⊥B)
Yn = AYAT , il vient :
Î Système des Equations Nodales, à résoudre
• In = vecteur des courants injectés aux nœuds
• Yn = matrice des admittances nodales (matrice carrée symétrique d'ordre ρ = n-1)
Méthode des Potentiels Indépendants
Analyse de réseaux simples
• De
In = − AIst
(si peu de nœuds indép. : ρ = 2, 3 ou 4)
on a, au nœud α :
Isl
Inα
Isk
Yl
Yk
α
b
I nα = −∑ aα k I sk
α
Yk
k =1
Yl
Ym
Inα = Isl - Isk
Æ
Le courant injecté en chaque nœud provient d'une source unique
:= Injecteur de Courant
(physiquement : injecteur = source de courant dont l’autre borne ↔ nœud de référence)
• De
Yn = AYA' on a, entre les nœuds α et β :
Yn ( α , β ) =
b
∑a
i , j =1
a Yij
αi βj
Ym
Méthode des Potentiels Indépendants
Règle de Calcul de la Matrice Nodale :
• Admittance de couplage Yn ( α , β ) = admittance de la branche qui joint α et β ,
(si la branche i joint les nœuds α et β , on a aα i aβi = −1 )
prise avec un signe opposé
• Si plusieurs branches joignent les nœuds α et β
Æ
Σ de leurs admittances
• Admittance propre Yn ( α ,α ) = Σ des admittances des branches incidentes en α
(∀ branche i incidente au nœud α , on a
aα2 i = +1 )
Æ Dans Yn, la Σ des termes d'une même ligne (d'une même colonne) = admittance de
la branche qui joint le nœud associé à cette ligne (à cette colonne) au nœud de réf.
I n2
2
Ya
Exemple :
In1
1
Yb
Yc
Yd
3
In3
 I n1   Ya + Yd
 I  =  −Y
 n2   a
I   0
 n3  
− Ya
0
Ya + Yb + Yc − Yb
Yb + Y f
− Yb
  V1 
 
  V2 
  V3 
 
Ye
4≡n
Méthode des Potentiels Indépendants
Matrice Flottante (ou Indéfinie) :
Æ Si besoin de repérer les potentiels des n nœuds / nœud (n+1), extérieur au réseau
Propriétés :
e
• Nœud de Référence = ( n + 1 ) nœud, extérieur au réseau Æ système ∋ n équations
Æ la matrice flottante est d'ordre n, mais elle est de rang ≤ (n-1)
(Σ des termes de chaque colonne = 0, car aucun nœud connecté au nœud de réf.)
n
• L'ensemble des n injecteurs de courant constitue une coupe
Æ
∑I
α=1
nα
=0
In2
2
Ya
In1
Yb
Yc
1
Yd
3
Ye
4
In4
5 ≡ n+1
In3
 I n1   Ya + Yd
I   −Y
a
 n2  = 

0
 In3 
 I   − Y
d
 n4  
0
− Ya
Ya + Yb + Yc −Yb
− Yb
Yb + Y f
− Yc
−Y f
− Yd
− Yc
− Yf
Yc + Yd + Y f
  V1 
 
  V2 
  V3 
  V 
 4 
Exemple : Transmission d’un Signal à travers un Biporte
C
C
4
1
2
3
Rs
G
Æ
Empêcher
la
transmission
d'un
signal sinusoïdal à f0 de l'accès
(1,5) vers l'accès (2,5)
Æ
Fréquence Bloquée = fct. (R,C) ?
G
2C
2G
GL
CL
V2
E
5=n
Æ Système des Equations Nodales :
( I = E/Rs )
0
−G
− j ωC
 I   GS + G + jωC
  V1 
0  0
 V 
−G
− j ωC
G + GL + jω( C + C L )
 =
 2 
0   −G
  V3 
−G
2( G + jωC )
0
  
 
− jω C
0
2( G + jωC )  V4 
 0   − j ωC
Æ
V2 / V1 = − ∆( 1 ,2 ) / ∆ ( 1 ,1 )
Æ
Aucun signal transmis à f0 :
∆( 1, 2 ) = 0
( ∆ ( 1 , 1 ) ≠ 0)
Exemple : Transmission d’un Signal à travers un Biporte
0
∆( 1 , 2 ) = − G
− j ωC
−G
− jω C
2( G + jωC )
0
=0
0
2( G + jωC )
Æ
ω0 =
1
RC
f0 =
&
(+ vérifier que ∆ ( 1 , 1 ) ≠ 0 pour cette fréquence)
• Exemple :
R = 106 Ω , C = 10-6 F
Æ
f0 ≈ 0.16 Hz
Æ possibilité de bloquer de très petites fréquences avec un circuit R, C !
• Comparaison : « Circuit Bouchon »
f0 =
Æ Si C = 10-6 F
L
1
2 π LC
Æ
il faut L = 106 H !!!
C
1
2 πRC
Réseaux avec Sources Dépendantes
Structure des Sources Dépendantes
•
•
•
•
∃ 4 types de Sources Dépendantes :
(coefficients a , r , g , α = nombres réels)
Transformations de Sources Dépendantes :
• Commande par un Courant de Branche :
E k = aU l
E k = rI l
I k = gU l
Ik = α Il
Toujours Possible !
lié à la tension aux bornes de la branche
• Commande par une Tension de Branche : liée au courant dans la branche
Æ Convertir ∀ sources dépendantes d'un réseau : sources toutes de même type !
Hypothèses :
• Sources de Tension commandées par un Courant
• Sources de Courant commandées par une Tension
Réseaux avec Sources Dépendantes
• Réseaux avec Sources de Tensions commandées par un Courant
Æ Analyse plus aisée par la Méthode des Courants Indépendants
• Réseaux avec Sources de Courant commandées par une Tension
Æ Analyse plus aisée par la Méthode des Potentiels Indépendants
Æ Nouveau Système d’Equations :
1. Mise en équation en considérant les sources dépendantes (tension/courant)
comme étant « connues » ;
2. Expression de ces sources en
mailles/potentiels de nœuds) ;
fonction
des
inconnues
(courants
de
3. Elimination des inconnues par changement de membre dans le système
d’équations ;
Æ Zm / Y n ne sont plus symétriques !
Réseaux avec Sources Dépendantes
Exemples
Æ
Z = E / I1 = ?
 R1 + R2 + r21
E 
 0  = −R − r + r
   2 21 31

Æ
− R2

 Ia 

1  
R2 + R3 +
I
C0 p   b 
I 1 = Ia = E ⋅ ∆ ( 1 , 1 ) / ∆ m
Æ
Z = E / I1 = ∆ m / ∆( 1, 1 )
− Ga
0
 I   Ga + Gb
 V1 
  
 
Gd + C e p
− Gd − g
 0 =  + g
 V2 
 0   −G − g − G

Ga + Gd + Gc + g 
d
   a
 V3 