Courbes Elliptiques et Applications

MINISTERE DE L'ENSEIGNENIIENT SWERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE HOUARIBOUNIEDIENE
l4r g.t 5,tSst Ig S9.t:,It
usTl--tB
Facult6 de Math6matiques
D6partement d'Algdbre et Theorie des Nombres
M6moire
Pr6sent6e pour I'obtention du diptdme de MAGISTER
EN: MATHEMATIQUES
Option : Algdbre et Thdorie
des Nombres
Thё lllle
Courbes Elliptiques et Applications
Prё sentё e
par i Harlda LAIB(1)
R6sum6
Les courbes elliptiques ont de nombreuses applications dans de diff6rents domaines.
En particulier, compier les points d'une courbe elliptique sur un corps fini et factoriser
un entier sont trds importants pour les m6thodes de cryptage'
Dans ce m6moire nous prdsentons l'algorithme de Schoof [15], [16], ainsi que sa
d6monstration d6taill6e et deux exemples. Cet algorithme permet de ddnombrer les
points d'une courbe elliptique sur un corps fini.
Nous pr6sentons 6galement, de fagon ddtaillde les mdthodes qui permettent d'6tudier
la primalit6 et la factorisation des grands nombres entiers en utilisant les courbes
elliptiques. Notamment, I'algorithme de Goldwasser-Kilian bas6 sur le critdre de
focklington-Lehmer ainsi que la mdthode de factorisation qui a 6t6 d6couverte par H.
W. Lenstra. Des exemples explicites sont 6tudies.
Tous les exemples ont etd dtudies en utilisant le systdme algdbrique SAGE qui a pour
ambition de devenir une alternative libre aux logiciels propri6taires comme Magma,
le,Mathematica ou Matlab.
(1)Directrice de mё
lnoire l Mme.BENFERHAT Lcila,NIIdtre de Con“ rences A a L'USTHB.