Cahiers Mathenpoche 5°

G2 : Triangles
Série 2 : Somme des Angles
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1 Réponds par vrai ou faux puis justifie ta
réponse :
b. Si un angle à la base mesure 80°, l'autre angle
à la base aussi et l'angle au sommet principal
mesure 180 - 2x80 = 180 - 160 = 20°.
a. Un triangle ne peut avoir qu'un seul angle
obtus.
Vrai. S'il avait deux angles obtus, leur somme
serait déjà supérieure à 180°, ce qui est
impossible.
b. Il peut y avoir deux angles droits dans un
triangle.
Faux. La somme de deux angles droits est égale à
180°, il ne reste donc rien pour le 3e angle.
60°
3
Cas complexes
Calcule, pour
manquante :
30°
chaque
triangle,
N
?
54°
O
U
6 cm
d. Un triangle équilatéral peut être rectangle.
Faux. Un triangle équilatéral a trois angles de 60°,
donc aucun de 90°.
e. Un triangle rectangle peut être isocèle.
Vrai. Un triangle rectangle isocèle a un angle droit
et deux angles de 45° chacun.
Dans le triangle SER
isocèle en S :

SER = 
SRE =(180-110)/2
=70/2 = 35°.
Les angles 
SER et 
SEX
sont
complémentaires,
donc 
SEX =90 - 35 = 55°
Les angles 
RSE et 
ESX
sont
supplémentaires,
donc 
ESX =180-110=70°
Dans le triangle ESX on a :

SXE + 
ESX + 
SEX =180°

SXE = 180- 
ESX - 
SEX

SXE = 180-70-55 = 55°
X
?
S
110°
R
E
2 ABC étant un triangle isocèle dont l'un des
angles mesure 80°, donne les mesures possibles
des deux autres angles puis trace une figure pour
chaque cas.
L'angle de 80° est soit l'angle au sommet
principal, soit l'un des angles à la base.
?
D
a. Si l'angle au sommet mesure 80°, alors les
angles à la base sont égaux à :
(180 - 80) / 2 = 100/2 = 50°
A
28
°
B
mesure
M
30°
4 cm
la
Dans le triangle MNO
rectangle en N :

MON = 90 - 54 = 36°.
Dans le triangle POU
rectangle en U :

POU = 90 - 36 = 54°
P
60°
3 cm
2 cm
c. Si les mesures des angles de deux triangles
sont égales, les triangles sont superposables.
Faux. La mesure des angles ne dépend pas de la
longueur des côtés. On peut donc avoir deux
triangles ayant les mêmes mesures d'angles, mais
des côtés dont la longueur est plus grande ou plus
petite.
(Capture d'écran réalisée avec TracenPoche)
Le
triangle
ABD
est
isocèle en A donc ses
angles à la base sont
C égaux :

ADB = 
ABD =(180-28)/2
= 152/2 = 76°.
Les angles 
ADB et 
BDC
sont
supplémentaires
donc 
BDC =180-76=104°
Le
triangle
BDC
est
isocèle en D, donc ses
angles à la base sont
égaux :

DCB = 
DBC =(180104)/2 = 76/2 = 38°
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Série 2 : Somme des Angles
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Avec des bissectrices
b. Dans un pentagone :
Calcule, pour chaque triangle, la ou les mesures
manquantes :
Dans le triangle FRT on a

FRT=180− 
RFT− 
RTF
Avec le même raisonnement qu'au
a., on aboutirait à :

FRT =180-48-81 = 51°
D'après le codage on a aussi :
 TRP
 =51°.
FRT=
R
48 81°
T
F °
Les angles 
RTF et 
RTP sont
supplémentaires, donc
P
RTP=180− 
RTF =180-81=99°.
Dans le triangle PRT on a donc



TPR=180−
TRP− RTP
?

MNP
NPQ
PQR
QRM
RMN
=3 x 180 = 540°
6
?
N
O
X
N
C
60° ?
?
K
Le triangle COX est un triangle
équilatéral donc ses 3 angles
mesurent 60°.
(NO) est la bissectrice de
l'angle 
COX , donc 
CON =30°
Dans le triangle NOC on a :

CNO =180- 
CON - 
OCN
 = 180 – 30 – 60 =
CNO
Les angles 
CNO et
sont supplémentaires

ONX =90°.
M
90°.

ONX
donc
La
droite
(XM)
est
la
bissectrice de l'angle 
CXO
O
donc
Dans

NKX

CXM =30°.
le triangle KNX, on a :
= 180 – 
KNX - 
NXK

NKX = 180 – 90 – 30 = 60°.
5
a. Dans un quadrilatère :
Le quadrilatère ACBD peut être
considéré comme la juxtaposition des
deux triangles ABC et ADC.
On peut alors écrire :
°

 CAB=180

 et
ABC BCA
°

 CAD=180

ADC DCA
R
On considère la figure suivante :
B
A
F
D
C
a. Quelle est la nature des triangles ECF et ADE ?
Le triangle ECF est isocèle en C car CE = CF;
Le triangle ADE est isocèle en D car DA = DE.
b. Calcule les angles aux sommets principaux de
ces deux triangles.

ADE =
ADC−
CDE = 90 – 60 = 30°

De même ECB= 
DCB− 
DCE = 90 – 60 = 30°


d'où 
=
30 + 60 = 90°
ECF= ECB BCF
 et
c. Calcule alors les mesures des angles AED

CEF .
Le triangle AED est isocèle en D donc
180−30

= 75°
DAE =
DEA = (180 – 
ADE )/2 =
2
Le triangle ECF est isocèle en C donc
180−90

= 45°
CEF= 
CFE = (180 – 
ECF )/2 =
2
Calculons la mesure de l'angle 
AEF :




AEF= AED DEC CEF = 75 + 60 + 45 = 180°
Donc les points A, E et D sont bien alignés.
B
A
Faisons la somme des angles du
quadrilatère ABCD :
= 180 + 180 = 360°
Q
d. Déduis-en que les points A, E, F sont alignés.
Dans des polygones

ABC 
BCD 
CDA
DAB


= ABC BCA 
ACD 
CDA  
DAC 
CAB




=
ABC BCA CAB ACD  CDA 
DAC
M
E
Le triangle LNE est équilatéral
donc 
LNE=
NEL=
ELN=60°
D'après le codage on a aussi :

LNE=
ONE =60°
Dans le triangle NOE rectangle
en O, on a donc :

NEO=90−
ONE =90-60=30°
E
P
Points alignés ?

TPR =180-51-99 = 30°.
L
N
Si on trace les diagonales [NQ] et
[MQ]
par
exemple,
on
peut
considérer
que
le
pentagone
MNPRQ est une juxtaposition des
trois triangles MNQ, NPQ et MRQ.
D
C
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Angles et équations
Dans chaque cas, a est la mesure d'un angle en
degré. Calcule la valeur de a.
R
S
Le triangle RST est isocèle
en R car RS = RT.
Donc ses angles à la base
ont la même mesure :

RST = 
RTS = a + 15
On aura ainsi :

RST  
RTS 
SRT = 180°
a + 15 + a + 15 +a = 180
3a+30 = 180
3a = 180 – 30
3a = 150
150
a=
= 50°
3
a
a+15
T
M

MNZ 
NZM
ZMN =180°
a+2a+69 = 180
3a + 69 = 180
3a = 180 – 69
3a = 111
111
a=
= 37°
3
69°
2a
a
N
Z