Transformées de Fourier Illustrées

Transcription

Ecole Thématique "Analyse Structurale par Diffraction des
Rayons X, Cristallographie sous perturbation"
10-15 Septembre 2006, Nancy, France
TDP
Transformées de Fourier Illustrées
E. AUBERT, LCM3B
On se propose d'illustrer les diverses notions abordées en cours (Transformée de Fourier,
résolution, convolution…) à l'aide d'images numériques.
Le logiciel utilisé est Digital Micrograph (la version de démonstration peut être gratuitement
téléchargée sur le site www.gatan.com | en cas de difficultés et pour tout renseignement :
[email protected]).
Les illustrations sont basées sur le cours de Traitement du Signal LSV2 E. Chabrière & E. Aubert.
http://www.lcm3b.uhp-nancy.fr/lcm3b/Pages_Perso/Aubert/sommaire.html
Ecole Thématique "Analyse Structurale par Diffraction des Rayons X, Cristallographie sous perturbation"
2
Introduction : Diffraction des rayons X et Transformée de
Fourier
Lorsqu'un cristal est soumis à un flux de rayons X un phénomène de diffraction à lieu
aboutissant à la création de nouveaux faisceaux de rayons X sous des angles et d'intensités
bien spécifiques :
¾ Ces angles de diffraction sont reliés par la loi de Bragg 2.d hkl . sin θ = λ et reflètent la
géométrie du réseau direct (système cristallin, paramètres de maille). Les taches de
diffraction forment le réseau réciproque et sont donc nommées par leurs indices de
Miller (hkl).
¾ Les intensités des faisceaux diffractés portent l'information sur le contenu atomique de
la maille qui compose le cristal, qui est défini comme la convolution de cette maille
(forme et contenu atomique) par le réseau direct.
Dans le cadre de la théorie de la diffraction cinématique des rayons X, les intensités de
diffraction sont déterminées par la relation :
2
I(hkl ) = F(hkl ) = F(hkl ).F* (hkl ) où
r
r
F H sont les coefficients de Fourier de la fonction densité électronique du cristal ρ( r ) :
r r r
r
r − 2 πiHr .rr
r
r
1
F H = ∫ ρ( r ).e 2 πiH. r .d r , ρ( r ) =
F
H
.e
∑
Vmaille Hr
maille
( )
( )
( )
Ces facteurs de structure sont donc généralement des nombres complexes que l'on peut
représenter sous forme polaire :
F(hkl ) = F(hkl ).e i.ϕ(hkl )
avec le module F(hkl ) et la phase ϕ(hkl ) .
Cependant comme le montre la première relation le processus de mesure ne donne accès qu'au
module de cette Transformée de Fourier, l'information de la phase étant alors perdue
(contrairement à ce qui se passe en microscopie optique ou électronique où l'utilisation d'une
lentille permet de former directement une image agrandie de l'objet à étudier (Figure 1b)).
Figure 1 : Diffraction des rayons X (a) et Microscopie optique et (& diffraction) électronique (b)
3
Ces facteurs de structure peuvent également être vu comme l'amplitude résultante de l'onde
électromagnétique X sous l'ange 2θ due à la somme des contributions des différents atomes
r
composant la maille ( f j H facteurs de diffusion atomique de l'atome j), pondérées par un
( )
facteur prenant en compte
les déphasages des ondes individuelles des atomes placés en des
r
lieux différents ( e
r
2 πiH . rj j
).
N at .
r r r
r
r 2 πiHr .rrj j
r
r
F H = ∑ f j H .e
avec f j H = ∫ ρ j ( r ).e 2 πiH. r .d r
( )
j=1
( )
( )
Figure 2 : Différence de marche introduite par deux atomes séparés de
r
rij
La perte de l'information sur la phase des facteurs de structure empêche alors toute
r
reconstruction directe de la fonction densité électronique ρ( r ) à partir de l'expérience de
diffraction. Dans la pratique, ce problème est contourné en recherchant quel modèle atomique
du cristal reproduit au mieux les intensités diffractées mesurées (résolution structurale,
affinement…).
Fonction Delta de Dirac
La fonction Delta de Dirac notée δ(x ) est une fonction très importante du fait des ses
propriétés. A 1 dimension cette fonction tend à avoir la forme d'un pic infiniment étroit et
grand centré sur zéro.
Figure 3 : Fonction Delta de Dirac centrée sur x=a
Cette fonction sert notamment à sélectionner des valeurs particulières (en x=a dans l'exemple)
d'une fonction f (x ) :
∫ f (x ).δ(x − a ).dx = f (a )
Sa Transformée de Fourier est simplement :
TF{δ(x )} = ∫ δ(x ).e 2 πihx .dx = 1
4
Ce qui permet de définir autrement δ(x ) comme la Transformée de Fourier Inverse de la
constante 1 :
δ(x ) = TFi{1}
Produit de convolution de deux fonctions
La convolution de deux fonctions f (x ) et g (x ) est définie par :
(f ⊗ g )(u ) = ∫ f (u − x ).g(x ).dx
Graphiquement cela revient à 'appliquer' l'une des deux fonctions à l'autre :
Source des images : Wikipedia
Cette opération de convolution est permutable : (f ⊗ g )(u ) = (g ⊗ f )(u ) .
Transformée de Fourier d'un produit de convolution :
La Transformée de Fourier d'un produit de convolution de deux fonctions est égale au produit
des Transformées de Fourier de ces deux fonctions. En effet :
TF{(f ⊗ g )(u )} = ∫ (f ⊗ g )(u ).e 2 πihu .du
= ∫ ∫ f (u − x ).g(x ).dx.e 2 πihu .du
X=u−x
= ∫ f (X ).e 2 πihX dX.∫ g(x ).e 2 πihx .dx
= TF{f (x )}.TF{g(x )}
Au cours de ce TDP nous verrons les propriétés des Transformées de Fourier (notées
TF) et comment on peut les utiliser pour appréhender différents phénomènes liés à la mesure
des facteurs de structure :
Influence de l'angle limite de diffraction 2θmax
Importance de la phase des facteurs de structure
Relation forme de l'objet / forme de sa Transformée de Fourier
Convolution et fonction de Patterson : une solution pour contourner le problème
de la phase
Influence de la forme du cristal
Intérêt de faire des mesures répétées des intensités diffractées pour augmenter le
rapport signal / bruit
5
I. Représentation numérique d'un signal et d'une image
I.1 Image numérique et Transformée de Fourier
Pour pouvoir être analysé, un signal (qui sera dans le cas de l'illustration présente une
image photographique) doit être numérisé, c'est-à-dire représenté par une succession de
nombres (réels, entiers…) en fonction du temps, de la position etc.
Notre image de référence est une photographie numérique d'une statue de l'Avenue of the
Chinese Musicians, Allerton Park (http://www.allerton.uiuc.edu/), University of Illinois at
Urbana-Champaign, IL, USA (2004).
Nom de l'image : image256.tif
Image niveau de gris 8 bits 256*256 pixels
(8 bits ou binary digits permettent de coder 28=256 valeurs
différentes).
Cette image est un tableau de 256*256 cases (pixels), contenant chacune un entier compris
entre 0 (noir) et 255 (blanc) codant le niveau de gris correspondant :
Valeur de l'entier codant : 0
128
255
Pour simplifier, considérons une seconde image en niveaux de gris 8 bits composée
uniquement de 4*4 pixels :
m\
Image en niveaux de gris
n
0
1
0
127
46
1
176 179
70
2
183
190 243
3
196 157 136
5
2
3
255 241
241
94
Valeur des pixels
Sous format numérique, cette image est donc un tableau d'entiers I(n , m ) , avec n le numéro
de la colonne et m le numéro de la ligne du tableau (e.g. I(2,0 ) = 255 ).
6
On définit la transformée de Fourier discrète (TF) de cette image de N*N pixels (ici N=4) par
:
N −1 N −1
F(h , k ) = ∑ ∑ I(n, m ).e
2 πi
( h .n + k . m )
N
,
n =0 m =0
et la transformation inverse (transformée de Fourier inverse) permettant de retrouver l'image
initiale est :
2 πi
( h .n + k .m )
−
1 N 2−1 N 2−1
(
)
(
)
.
I n , m = 2 ∑ ∑ F h , k .e N
N h =− N 2 k =− N 2
Dans de nombreux cas le signal initial I(n , m ) est réel (ce à quoi nous nous limiterons
ici), ce qui induit une symétrie dans sa transformée de Fourier F(h , k ) . En effet :
N −1 N −1
F (h , k ) = ∑ ∑ I (n , m ).e
*
*
−
2 πi
( h . n + k .m )
N
n =0 m =0
N −1 N −1
= ∑ ∑ I(n, m ).e
2 πi
(( − h ).n + ( − k ).m )
N
n =0 m =0
= F(− h,− k )
La transformée de Fourier F(h , k ) de l'image I(n , m ) est habituellement représentée sous
forme un tableau de N*N pixels contenant des nombres complexes, appelés coefficients de
Fourier de l'image I(n , m ) :
k\
h
-2
-1
0
1
-2
313
+0i
-301
+434i
41
+0i
-301
-434i
-1
-30
+255i
4
-89i
48
-83i
-246
-3i
0
127
+0i
31
+432i
2539
+0i
31
-432i
1
-30
-255i
-246
+3i
48
+83i
4
+89i
Chacun de ces nombres complexes de la forme x+iy peut être écrit sous forme polaire
F(h , k ).e i.ϕ(h ,k ) , où F(h , k ) est le module et ϕ(h , k ) la phase du coefficient de Fourier F(h , k ) ,
ce qui peut conduire à une représentation graphique en niveaux de gris de la transformée de
Fourier à l'aide d'une carte des modules et une carte des phases :
Modules des coefficients de Fourier. Le noir (blanc)
code un module faible (élevé). La symétrie des
modules est visible autour de (h,k)=(0,0)
Phases des coefficients de Fourier. Le noir
(blanc) code une phase égale à − π (π ) .
L'antisymétrie des phases est visible autour 7de
(h,k)=(0,0).
Le coefficient central F(h = 0, k = 0) est particulier en ce sens qu'il est toujours réel et qu'il est
N −1 N −1
égal à la somme des valeurs des pixels de l'image I(n , m ) : F(0,0) = ∑ ∑ I(n, m ) .
n =0 m =0
Les coefficients de Fourier contenus dans les premières ligne et colonne k=-2 et h=-2 sont
également particuliers, puisqu'ils correspondent aux plus grands indices possibles en valeur
absolue h et k. Pour une question de représentation seuls les coefficients avec h et k négatifs
sont placés dans le tableau (ici colonne h=-2 et ligne k=-2) : cela permet de conserver la
dimension des tableaux utilisés, N*N pixels pour l'image et N*N coefficients de Fourier pour
sa TF.
Remarque : dans la définition utilisée ici N doit être un nombre pair (h varie de N/2 à N/2-1 et
doit être un entier), et pour le calcul de la TF avec le logiciel utilisé (DigitalMicrograph @
Gatan; algorithme de Transformée de Fourier Rapide) N doit être de la forme 2j avec j entier
(on pourra donc utiliser des images de 1*1, 2*2, 4*4, 8*8, .. , 128*128, 256*256, 512*512 …
pixels).
Analogie avec l'expérience de diffraction
TF
Avec cette représentation des Transformées de Fourier sous forme de tableaux des
coefficients de Fourier l'analogie avec le résultat de l'expérience de diffraction est directe.
Ainsi le 'faisceau' direct correspond au centre de la TF (là où se trouve d'ailleurs le pic le plus
intense de celle-ci dans l'exemple présent) et plus on s'éloigne de ce centre plus on considère
des coefficients de Fourier correspondants dans l'analogie à des faisceaux diffractés à grand
angle.
8
I.2 Premières applications
►Ouvrir l'image image4.tif dans Digital Micrograph (DM). Calculer sa TF et vérifier que le
résultat obtenu est identique à celui indiqué ci-dessus. Expliciter le calcul des coefficients
F(0,0) et F(1,-1).
Coefficients de Fourier et TF inverse : on cherche à déterminer quelle sont les images (espace
direct) correspondantes à des TF données (espace de Fourier / réciproque) :
►Créer une nouvelle image de 16*16 nombres complexes
File > New > Width 16 Height 16 Complex 16 Bytes Constant(0)
Afficher cette image sous forme de tableau de nombres :
Object > Display Type > Spreadsheet
En cliquant sur une case quelconque on peut modifier la valeur du coefficient de Fourier
qu'elle contient. On cherche à former des images à valeurs réelles par TF inverse de ce tableau
de nombres complexes : il faut donc nécessairement imposer la symétrie F(− h,− k ) = F* (h, k )
autour de F(h = 0, k = 0 ) qui est placé au pixel de coordonnées (8,8) (N/2, N/2 pour un
tableau de nombres complexes de taille N*N).
En se rappelant que la TF d'une fonction sinus de pulsation ω 0 est, à un coefficient
multiplicatif prés, la somme de deux fonctions Delta de Dirac centrées en ± ω0 , créer par TF
inverse d'un tableau de nombres complexes adéquat les images suivantes :
sinus horizontal d'une période sur l'image
sinus vertical d'une période sur l'image
sinus vertical d'une période sur l'image mais dont la valeur moyenne sur l'image n'est
pas nulle
sinus horizontal sur l'image de plus haute fréquence (à la fréquence de Nyquist)
Conclusion :
Une image quelconque telle que image256.tif peut donc être vue comme le résultat de
l'interférence des 'ondes' sinusoïdales générées à partir des coefficients de Fourier de sa TF.
Dans notre analogie avec la cristallographie, la fonction densité électronique pourra être
reconstruite si on mesure les intensités des faisceaux diffractés; malheureusement, dans ce cas
seuls les modules des coefficients de Fourier sont obtenus, l'information de la phase étant
perdue lors du processus de mesure.
9
I.3 Signal 1D
Bien entendu on peut définir une Transformée de Fourier pour un signal à 1, 3 ou plus
dimensions.
Pour un signal 1D composé de N valeurs discrètes I(n ) :
N −1
F(h ) = ∑ I(n ).e
2 πi
h .n
N
et
n =0
I(n ) =
2 πi
−
h .n
1 N 2−1
F(h ).e N .
∑
N h =− N 2
►Ouvrir le fichier 1D16384.dm3 : il contient un signal mesuré pendant 10 secondes et
composé de 16384 points de mesures.
De quelles fréquences est composé ce signal 1D ?
Recomposer le signal original à partir des fréquences identifiées.
On supposera pour cela que le signal est uniquement composé de fonctions de la forme
sin (2.π.υ.t ) avec t le temps (entre 0 et 10 secondes) et υ la fréquence de l'onde ( ω = 2πν ).
Pour créer un signal, on a besoin de définir une variable temps (en fait numéro de pixel) :
Ouvrir le fichier RampX.dm3
et une variable pour le signal lui-même (qui dépend de t) :
Ouvrir le fichier blank.dm3
File > NewScript : écrire dans ce script les fonctions nécessaires, de la forme :
d=0.371*sin(2*(asin(1)*2)*18*10*c/16384)+…
d représentera le signal, c la variable temps
0.371 est l'amplitude de l'onde sinusoïdale générée
asin(1)*2= π
18 est la fréquence de cette onde en Hertz,
10 est la durée du signal en seconde,
16384 est le nombre de points de mesure (pixels).
Remarque : s'il vous est difficile de détecter sur la représentation de la TF du signal original
les fréquences qui le compose il peut être possible de modifier ce signal initial… (pour quelle
raison les fréquences seraient-elles peu visibles, comment les rendre plus visibles ?).
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II. Résolution
II.1 Résolution d'une image : point de vue esthétique
L'image de référence est image256.tif.
►Calculer la TF de cette image puis y appliquer un masque circulaire de diamètre variable,
en ne gardant que les coefficients de Fourier de basse ou de haute résolution. Calculer l'image
correspondante par TF inverse. Quelle est l'effet des diverses coupures en résolution que vous
effectuez sur l'image reconstruite à partir de la TF ainsi masquée ?
►Expliquer pourquoi l'image initiale devient floue lorsque l'on élimine la haute résolution de
sa Transformée de Fourier. Utiliser pour cela le théorème de convolution en considérant
qu'éliminer la haute résolution de l'image revient à multiplier la TF de l'image originale par un
masque qui vaut 1 dans un disque central et zéro au dehors (ce masque est contenu dans le
fichier masque.dm3).
(La notion de convolution est illustrée également en IV).
II.2 Résolution d'une image : point de vue quantitatif
L'image 2points1.tif représente deux disques noirs (15 pixels de diamètre) séparés de 40
pixels. Calculer la TF de cette image. Appliquer un masque sur cette TF et ne sélectionner
qu'une zone centrale de diamètre variable et déterminer l'image correspondante par TF
inverse.
►Quelle est le rayon minimal de cette zone à conserver de telle manière à pouvoir distinguer
les deux disques sur l'image reconstruite ?
{intuitivement on peut penser que pour représenter deux disques séparés de 40 pixels il est au
moins nécessaire d'utiliser une onde sinusoïdale de période 40 pixels; sachant que le
coefficient de Fourier le plus proche de l'origine F(0,0) sur l'axe horizontal crée une onde de
période la largeur de l'image (i.e. 256 pixels) on peut en déduire les indices (h,k) du
coefficient de Fourier associé à l'onde de période 40 pixels}.
Analogie Diffraction des rayons X : la plus petite distance entre deux atomes que l'on peut
désirer vouloir distinguer est voisine de 1 Å (e.g. liaison C-H). En utilisant la relation de
Bragg, on voit alors que cette distance dans l'espace direct correspond à une résolution dans
l'espace réciproque de 0.5 Å-1 : pour pouvoir donc distinguer l'atome d'hydrogène de celui de
carbone il est donc nécessaire de mesurer les faisceaux diffractés jusqu'à un angle de 0.5 Å-1,
ce qui correspond à un angle θ=20.7° pour la radiation Mo(Kα).
11
III De l'importance de la phase des facteurs de structure
Ouvrir les images 1_512.tif et 2_512.tif
Créer une image construite en prenant les modules de l'image 1 avec les phases de l'image 2
(pour être plus précis : les modules de la TF de l'image 1 (c) et les phases de la TF de l'image
2 (d)) :
Tout d'abord on construit sa TF en combinant les TF des deux images originales :
z=complex( modulus(c)*cos(phase(d)),modulus(c)*sin(phase(d)))
L'image voulue sera obtenue en prenant la TFInverse de cette image complexe.
Note : l'image alors obtenue est représentée sous forme de nombres complexes (par défaut
c'est le log du module des nombres complexes qui est représenté; on constate également que
l'image obtenue n'est pas exactement réelle, mais possède une partie imaginaire très petite due
à des arrondis lors des opérations mathématiques utilisées), pour passer à une représentation
plus commune :
clic droit sur l'image, ImageDisplay, Display/Complex, Display Real Part
Chaque pixel de l'image reconstruite à partir d'une transformée de Fourier d'un objet
initial est la résultante de l'interférence (addition dans le plan complexe) de termes de modules
et phases, ce qui peut être schématisé dans un diagramme d'Argand :
L'intensité d'un pixel de l'image reconstruite est proportionnelle à la longueur de la flèche en traits discontinus
et résulte de l'interférence de l'ensemble des coefficients de Fourier complexes.
Cette représentation montre intuitivement que si les phases des coefficients de Fourier (i.e. les
angles que font les vecteurs avec l'horizontale) sont modifiées, alors l'amplitude résultante
sera très fortement altérée. Ce comportement est également lié à la 'ressemblance' entre les
modules de facteurs de structure provenant de deux objets de même nature, dont on donnera
des exemples dans la suite.
12
IV Relation forme objet / forme Transformée de Fourier
Dans le répertoire IV vous trouverez divers fichiers images représentant différents
objets (fentes, trous …).
►Calculer les TF de ces objets et reliez la forme de l'objet à celle de sa TF.
1f.tif : 1 fente
1fd.tif : la même fente mais décalée sur l'image
2f.tif, 3f.tif, 4f.tif : 2, 3 et 4 fentes accolées
res.tif, res2.tif : deux réseaux de fentes avec des pas différents
resp.tif : quelle est la différence avec res.tif ?
disque1.tif, disque2.tif : deux disques de diamètres différents
segment.tif et segent.tif : segments horizontaux infini ou fini.
young1.tif et young2.tif : deux même fentes d'Young horizontales mais de séparations
différentes.
Rappel : pour changer le Display d'une image de nombres complexes et par exemple afficher
les valeurs du module (et pas son log) :
Clic droit sur l'image > ImageDisplay > Display Complex > Display Modulus
►Outre l'étude de la relation entre les formes des objets et celles des TF, voici quelques idées
à développer :
a) Utiliser le théorème de convolution pour calculer l'image résultante de la convolution d'une
fonction Gaussienne avec un ensemble de pics de Dirac qui vous conviendra :
Créer une image 1024*1024 pixels représentant une fonction Gaussienne centrée en (400,300)
File > New > 1024 1024 Real 4 Ramp X
=> Image A
File > New > 1024 1024 Real 4 Ramp Y
=> Image B
File > New > 1024 1024 Real 4 Constant 0
=> Image C
Dans un script :
c=exp(-(1e-3)*((a-400)*(a-400)+(b-300)*(b-300)))
Créer l'image portant l'ensemble des pics de Dirac :
=> Image D
Dans un script :
d=0
d[0,0]=1
d[400,50]=1
d[500,600]=1 (ici 3 pics de Dirac de même hauteur)
Il ne 'reste plus' qu'à convoluer ces deux images…
b) Fonction d'autocorrélation / fonction de Patterson
r
La fonction de Patterson P(u ) est définie comme la fonction d'autocorrélation de ρ( r ) ou en
r
r
d'autres termes comme la fonction de convolution de ρ( r ) par ρ(− r ) :
r
r
r r r r
P(u ) = ρ( r ) ⊗ ρ(− r ) = ∫ ρ( r ).ρ(u + r ).d r
Une propriété importante de cette fonction est que sa Transformée de Fourier est simplement
2
TF{P(u )} = F et donc
{ }
P(u ) = TFi F
2
13
Cette fonction de Patterson est donc entièrement déterminable à partir des données de
r
diffraction, au contraire de la fonction densité électronique ρ( r ) elle-même qui nécessite la
r
connaissance des phases des facteurs de structure : ρ( r ) = TFi{F} = TFi{F .e iϕ }.
Créer sur une image un ensemble de 4 fonctions Gaussiennes (ces fonctions devront être assez
proches du milieu de l'image) :
File > New > 1024 1024 Real 4 Ramp X
=> Image A
File > New > 1024 1024 Real 4 Ramp Y
=> Image B
=> Image C
Dans un script : c=exp(-(1e-3)*((a-300)**2+(b-512)**2))+exp(-(1e-3)*((a-600)**2+(b400)**2))+exp(-(1e-3)*((a-500)**2+(b-500)**2))+exp(-(1e-3)*((a-650)**2+(b-650)**2))
Image initiale composée de 4 'atomes' dont on cherche les distances avec leurs voisins
Pour autocorréler cette image on peut soit utiliser la fonction directement implémentée :
Process > Auto correlation
r
r
r
ou utiliser les TF pour calculer la convolution de ρ( r ) par ρ(− r ) . ( ρ(− r ) est obtenue en
r
faisant tourner ρ( r ) de 180° : Process > Rotate 180°
La fonction d'autocorrélation ainsi obtenue permet donc de déterminer directement les
distances entre les objets présents sur l'image initiale (les 4 Gaussiennes) puisque elle présente
des pics dont les distances à l'origine sont exactement les distances interatomiques
recherchées.
{ }:
On peut vérifier que la relation P(u ) = TFi F
2
à partir de la TF de l'image initiale, on extrait son module :
Edit > Change data type > Real > modulus
puis on l'élève au carré :
Process > Simple Math > …
puis on convertit l'image réelle en complexe :
Edit > Change Data type > Complex
enfin on en calcule la TFi.
14
V Influence de la forme du cristal sur les taches de diffraction (théorème de
convolution)
Dans l'exemple suivant nous allons voir quel peut être l'influence de la forme du cristal
placé dans le faisceau de rayons X sur la forme des taches de diffraction enregistrées. Dans la
pratique (diffraction conventionnelle des rayons X sur monocristaux) cette influence est faible
et est plus communément rencontrée dans le cas de l'étude d'objets de petite taille (e.g.
couches minces) et bien sûr en microscopie / diffraction électronique où l'échantillon est
généralement très fin.
Dans notre analogie avec la théorie des images, l'image cristalinfini.dm3 représente un cristal
d'extension spatiale infinie dans les deux directions du plan. Le motif de ce cristal est un carré
blanc de 2 pixels de coté placé sur les nœuds d'un réseau carré d'une périodicité de 8 pixels.
On cherchera à comparer les formes des TF de cristaux de taille limitées et bien définies
obtenus à partir du cristal infini et on expliquera ces formes à l'aide du théorème de
convolution. Pour cela on dispose de masques de formes différentes (petitcarre.dm3,
grandcarre.dm3, petitdisque.dm3, granddisque.dm3, polyedre.dm3)
Cristal infini et cristal de taille finie
Rappel théorème de convolution : le cristal de taille finie (objet direct) est vu comme la
multiplication simple du cristal infini par le masque définissant la forme du cristal fini; il
s'ensuit donc que la TF du cristal d'extension finie est obtenue en convoluant la TF du cristal
infini par la TF du masque.
Exemple à répéter avec les différents masques proposés :
►
Ouvrir les images cristalinfini.dm3 et petitcarre.dm3;
Multiplier ces deux images pour former le cristal de taille finie :
Process > Simple Math
Clic droit sur l'image obtenue > ImageDisplay >Contrast Low 0 High 1
Calculer les TF de ces images : Process > FFT
Le cristal infini peut être vu comme la limite lorsque les masques tendent à devenir
transparents sur toute l'image : sur la TF, les intensités se concentrent alors de plus en plus
vers chacun des pics qui tendent à devenir des pics de Dirac.
Inversement, il est également possible de considérer que le cristal est non plus obtenu par une
multiplication mais par la convolution de son motif par le réseau direct. Ceci expliquer la
variation d'intensité observée à travers la TF de cristal infini : cette dernière est alors le
produit simple de la TF du réseau direct (i.e. le réseau réciproque) par la TF du motif du
cristal.
►
Calculer la TF de l'image cristalinfini.dm3 et observer la variation de son l'amplitude à
travers l'espace réciproque.
Calculer la TF du motif du cristal infini unemaille.dm3
Diviser le module de la TF du cristal infini par le module de la TF du motif pour
retrouver un peigne de Dirac de hauteur constante.
15
VI Filtrage spatial d'une image
►D'après vos connaissances sur les Transformées de Fourier, pouvez-vous proposez une
méthode pour faire sortir l'oiseau de sa cage ?
et comment détramer l'image suivante ?
16
VII Amélioration d'une image par moyenne
Ouvrir l'image A image1noise.tif : elle représente une série de 20 objets supposés
identiques, recouverts d'un bruit relativement important. Son format est 2048*2048 pixels,
niveau de gris 8 bits (1 byte). Ces objets sont repérables par leurs bords assez nets par rapport
au bruit, mais il pourrait y avoir des signaux faibles présents à l'intérieur de chacun des 20
objets.
►Le but est de moyenner les images individuelles de ces 20 objets de manière à faire
ressortir les signaux de faible amplitude face au bruit.
Pour cela, il faut tout d'abord identifier la position de chacun des 20 objets : cela peut être
réalisé en extrayant un des objets de l'image originale et en en calculant la corrélation croisée
avec l'image initiale.
Cette fonction de corrélation croisée entre deux fonctions f (x ) (l'image originale) et g (x ) (la
copie d'un des objets extrait de l'image originale) est définie (à 1 dimension) par :
C(u ) = ∫ f (x ).g(u + x ).dx
ce qui est aussi la convolution de f (x ) par g (− x ) .
D'après le théorème de convolution nous avons alors :
TF{C(u )} = TF{f (x )}.TF * {g(x )}
Définir une sélection carrée de 256 pixels de coté entourant un des 20 objets sur
et la touche Alt Gr).
l'image initiale (utiliser l'outil
Extraire cette portion de l'image à l'aide d'un script : b=a[]
Pour effectuer la corrélation croisée de deux images il est nécessaire quelles aient la même
taille :
Créer une image vierge (tout à zéro) : File > New > 2048*2048 integer unsigned 1 byte
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Coller à l'aide d'un script cette sélection dans l'image vierge :
c[0,0,256,256]=b
Calculer les TF des deux images (a,c => d,e), et calculer le complexe conjugué de
celle issue de l'objet extrait :
ze=complex(modulus(e)*cos(phase(e)),-modulus(e)*sin(phase(e)))
Multiplier la TF de l'image originale avec l'image complexe conjuguée obtenue (d*ze)
En calculer la TF inverse : cette image présente des pics nets aux positions où l'objet
extrait se répète sur l'image initiale.
Changer le format de cette image : Edit > Change Data Type > Real > Real part
Sur cette image de corrélation, identifier les positions des pics : pour cela, définir une zone de
sélection à l'aide de l'outil
autour d'un pic, puis la position sera donnée dans la fenêtre
Results par la commande :
Analysis > Statistics > Maximum and Minimum
Répéter la procédure autour de chaque pic.
Utiliser ces coordonnées pour extraire les objets individuels de l'image initiale, et les
moyenner : u=a[y1g,x1g,y1d,x1d]+ a[y2g,x2g,y2d,x2d]+…
Ces coordonnées sont (x1g,y1g) pour le premier pic, et représente le coin supérieur gauche de
la sélection à extraire de l'image originale; pour définir le coin inférieur droit de cette
sélection il suffit de choisir une taille de sélection suffisemment importante, par exemple un
carré de 300 pixels de coté et donc : x1d=x1g+300 et y1d=y1g+300.
!!!Attention : l'ordre des coordonnées x,y est inversé dans la séléction a[ … ] par rapport à ce
qui est obtenu avec la commande Statistic > Maximum and Minimum x1g,y1g
Remarques :
Au lieu de devoir calculer l'image complexe conjuguée de l'objet extrait on peut faire
pivoter cet objet extrait de 180° (c'est-à-dire définir g (− x ) ) et ensuite en calculer la TF.
On peut aussi directement utiliser la fonction de corrélation croisée implémentée dans
le logiciel; pour cela il faut cependant copier la sélection (b) au milieu d'une image vierge (c)
de bonne dimension : c[1024-128,1024-128,1024+128,1024+128]=b
Process > Cross Correlation A C
Conclusions.
Cette procédure est communément utilisée dans diverses techniques expérimentales :
En microscopie électronique : on améliore la quantité d'information extraite (détails)
en enregistrant les images d'un grand nombre de particules que l'on suppose identiques et que
l'on moyenne ensuite. La procédure peut être automatisée pour pouvoir utiliser un très grand
nombre d'objets à moyenner.
En diffraction des rayons X : ce qui est mesuré ce sont les coefficients de Fourier de la
densité électronique du cristal étudié. Pour améliorer cette détermination, on peut mesurer un
grand nombre de fois ces coefficients de Fourier que l'on moyenne ensuite (et bien sûr on peut
détecter puis éliminer les erreurs de mesures avant d'effectuer la moyenne).
En Résonnance Magnétique Nucléaire : la réponse d'un échantillon de RMN à un
champ radiofréquence étant faible, il est nécessaire d'accumuler le signal pour le rendre
suffisamment intense en répétant successivement la même mesure (irradiation de l'échantillon
sous champ magnétique et enregistrement de sa réponse).
…
18

Transformées de Fourier Illustrées

Transcription

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