Feuille 7 - Université Nice Sophia Antipolis

UNIVERSITÉ NICE SOPHIA ANTIPOLIS
Master 2 Mathématiques
Année 2014/2015
Introduction à la géométrie algébrique
Feuille d’exercices 7
Soit k un corps algébriquement clos.
Exercice 1. Soit X un espace topologique de dimension finie. On suppose qu’on a X =
avec Xi ⊂ X fermé. Montrer qu’on a dim X = maxi=1,...,l dim Xi .
Sl
i=1
Xi
Exercice 2. Soient X ⊂ k n et Y ⊂ k n des ensembles affines irréductibles, et soit W une
composante irréductible de X ∩ Y . On veut montrer que
dim W ≥ dim X + dim Y − n.
a) Montrer le résultat si Y = V (f ) avec f ∈ k[X1 , . . . , Xn ] un polynôme non-constant.
b) Soit
∆ := {(x, y) ∈ k n × k n | x = y}
la diagonale dans k n × k n . Montrer que X ∩ Y est isomorphe à (X × Y ) ∩ ∆.
c) Montrer que la dimension de X × Y est égale à dim X + dim Y . Utiliser b) et a) pour conclure.
Exercice 3.
a) Montrer que le morphisme
ϕ : k 3 → k 3 , (x, y, z) 7→ (x, (xy − 1)y, (xy − 1)z)
est surjectif, mais l’ensemble
V := {(x, y, z) ∈ k 3 | dim ϕ−1 ((x, y, z)) ≥ 1}
n’est pas fermé pour la topologie de Zariski.
Soient X et Y des variétés algébriques et soit ϕ : X → Y un morphisme fermé surjectif.
b) Supposons que dim Y = 1. Montrer que dim ϕ−1 (y) = dim X − 1 pour tout y ∈ Y . Supposons
que dim Y = 2. Montrer que
V := {y ∈ Y | dim ϕ−1 (y) = dim X − 1}
est vide ou une union finie de points.
Exercice 4. On note par (x1 , x2 ) les coordonnés standards d’un point de k 2 et (y1 : y2 ) les
coordonnées homogènes d’un point de P1 . On considère l’ensemble
X := {((x1 , x2 ), (y1 : y2 )) ∈ k 2 × P1 | x1 y2 = x2 y1 }.
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On vérifie sans difficulté que X est bien définie, i.e. ne dépend pas du choix des coordonnées
homogènes.
a) Montrer X est un ensemble algébrique. Indication : regarder les ouverts Ui ⊂ k 2 × P1 définis
par yi 6= 0.
b) On considère l’application induite par la projection sur le premier facteur, donc l’application
p : X → k 2 , ((x1 , x2 ), (y1 : y2 )) 7→ (x1 , x2 ).
Montrer que p est surjectif. Montrer que p−1 ((x1 , x2 )) est un point si (x1 , x2 ) 6= (0, 0) et
p−1 ((0, 0)). On appelle X l’éclatement de k 2 dans l’origine.
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