Chapitre. Systèmes d`équations

Chapitre.
Systèmes d'équations
I.
Système d'équations.
Résoudre un système d'équations à deux inconnues x et y, c'est trouver toutes les solutions
communes aux deux équations, c'est-à-dire tous les couples (x; y) pour lesquels les deux égalités
sont vraies simultanément.
II. Résolution
Il existe deux méthodes principales pour résoudre un système:
1) Méthode par substitution
Dans cette méthode, on exprime une des deux inconnues en fonction de l'autre à l'aide d'une des deux
équations, puis on reporte l'expression obtenue dans l'équation restante.
 2x-y=1
exemple 1:
Résoudre le système suivant: - x + 2 y = 4

 2 x - y = 1(E1)
On numérote les deux équations de la façon suivante: - x + 2 y = 4(E )

2
On exprime y en fonction de x dans (1):
y = 2x − 1
(E1’)
On substitue (on remplace) y par 2 x − 1 dans l'équation (E2):
− x + 2 (2x − 1) = 4
c'est-à-dire − x + 4 x − 2 = 4 soit 3 x = 6 soit x = 2
On détermine y en remplaçant x par 2 dans (E1’): y = 2 × 2 − 1 = 3
On fait la vérification :
2x–y=2 ×2–3
-x+2y=-2+2 ×3
2x–y=4–3
-x+2y=-2+6
2x–y=1
-x+2y=4
Le système a donc un couple solution : le couple ( 2 ; 3 ).
2) Méthode par combinaison:
Dans cette méthode, on multiplie l'une des deux équations ou les deux équations par des
nombres convenablement choisis de telle manière que l'une des deux inconnues disparaisse par addition
(ou soustraction) membre à membre des deux équations.
 2x-y=1
exemple 1:
Résoudre le système suivant: - x + 2 y = 4

 2 x - y = 1(E1)
On numérote les deux équations de la façon suivante: - x + 2 y = 4(E )

1
On multiplie les deux membres de l'équation (E1) par 2 et l'équation (E2) par 1.
 4 x -2 y = 2(E1 ')

- x + 2 y = 4(E2 ')
On additionne membre à membre les deux équations (E1 )+ (E2)
4x–2y–x+2y=2+4
3x=6
x=2
(E1) devient 2 × 2 – y = 1
4–y=1
4–1=y
y=3
On fait la vérification :
2x–y=2 ×2–3
2x–y=4–3
2x–y=1
-x+2y=-2+2 ×3
-x+2y=-2+6
-x+2y=4
Le système a donc un couple solution : le couple ( 2 ; 3 ).
Pour s'assurer du résultat, on vérifie toujours que le résultat trouvé est effectivement solution du
système.
III. Interprétation graphique:
Chacune des solutions des deux équations d'un système correspond à l'équation d'une droite dans un
repère orthonormé.
Les solutions communes aux deux équations sont déterminées par l'intersection des deux droites.
Dans l'exemple précédent, les deux équations peuvent s'écrire différemment:
2x−y=1
−x+2y=4
2x−1=y
2y=4+x
4+x
y=2x−1
y=
2
1
y= x+2
2
1
Les deux droites d'équations y = 2 x − 1 et y = x + 2 se coupent au point A de coordonnées (2; 3)
2
Le système admet donc graphiquement une solution: le couple (2 ; 3 )
y
y = 2x − 1
y = 0,5x + 2
A
3
1
1
2
x