1S entrainement personnel proba

Ex1
Les 300 personnes travaillant dans un immeuble de bureaux de trois niveaux ont répondu aux deux questions
suivantes : – « À quel niveau est votre bureau ? »
– « Empruntez-vous l’ascenseur ou l’escalier pour vous y rendre ? »
Voici les réponses :
• 225 personnes utilisent l’ascenseur. Parmi celles-ci, 50 vont au 1er niveau, 75 vont au 2ème niveau et 100 vont
au 3e niveau.
• Les autres personnes utilisent l’escalier et, parmi celles-ci, un tiers va au 2e niveau, les autres vont au 1er niveau.
On choisit au hasard une personne de cette population.
On pourra considérer les évènements suivants :
• E : « La personne emprunte l’escalier. »
• N1 : « La personne va au premier niveau. »
• N2 : « La personne va au deuxième niveau. »
• N3 : « La personne va au troisième niveau. »
1. Dresser le tableau de répartition de l’effectif.
2. a. Déterminer la probabilité que la personne aille au 2e niveau par l’escalier.
2. b. Montrer que les évènements N1, N2 et N3 sont équiprobables.
2. c. Déterminer la probabilité que la personne emprunte l’escalier sachant qu’elle va au 2e niveau.
Ex2
Un casino possède une urne contenant 2 boules blanches et 8 boules rouges.
Si le rouge sort, le joueur perd sa mise, sinon il gagne le carré de sa mise.
1. On note la mise du joueur en euros. est un réel positif.
1. a. On appelle G la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
Déterminer en fonction de , la loi de probabilité de G , puis l’espérance de G .
1. b. Quelle mise maximale le casino doit-il autoriser pour que le jeu soit défavorable au joueur ?
2. Dans une autre salle, le casino possède une urne contenant 2 boules blanches et
boules rouges, avec entier
supérieur ou égal à 8. La mise est fixée à 5€ . Si le rouge sort, le joueur perd sa mise, sinon il gagne le carré de sa
mise. Le propriétaire du casino pense qu’en prenant suffisamment grand, il peut rendre l’espérance de gain du
casino aussi grande qu’il le désire. A-t-il raison ?
Ex3 Un magasin vend des salons de jardin. Une enquête statistique a montré que :
• 81 % des personnes qui entrent dans le magasin n’achète rien ;
• 83 % n’achètent pas de lot de chaises ;
• 90% n’achètent pas de table.
Une personne entre dans le magasin.
On note
l’événement : « la personne achète une table ».
On note
l’événement : « la personne achète un lot de chaises ».
1. Traduire les données. E
En déduire ( ) et ( )
2. Calculer la probabilité de ∩ , de
∩ , de
∪
, de
∩ ̅ et les interpréter par une phrase.
3. On sait que le directeur fait un bénéfice de 50 € par table vendue, et de 50€ par lot de chaises vendu
On note
la variable aléatoire qui désigne le gain par client.
3. a. Déterminer la loi de probabilité du montant du bénéfice réalisé par personne entrant dans le magasin.
3. b. Calculer l’espérance mathématique de B. Interpréter cette valeur.
Ex1
Les 300 personnes travaillant dans un immeuble de bureaux de trois niveaux ont répondu aux deux questions
suivantes :
– « À quel niveau est votre bureau ? »
– « Empruntez-vous l’ascenseur ou l’escalier pour vous y rendre ? »
Voici les réponses :
• 225 personnes utilisent l’ascenseur et, parmi celles-ci, 50 vont au 1er niveau, 75 vont au 2e niveau et 100 vont au
3e niveau.
• Les autres personnes utilisent l’escalier et, parmi celles-ci, un tiers va au 2e niveau, les autres vont au 1er niveau.
On choisit au hasard une personne de cette population.
1. Tableau de répartition de l’effectif.
N1
N2
N3
E
50
25
0
75
50
75
100
225
100
100
100
2. a. Déterminer la probabilité que la personne aille au 2e niveau par l’escalier.
( ∩ )=
=
il y a 25 personnes « favorables », elles vont au 2ème niveau par l’escalier
parmi les 300 personnes possibles
2. b. Montrer que les évènements N1, N2 et N3 sont équiprobables.
(
)= (
)= (
)=
= donc les évènements N1, N2 et N3 sont équiprobables.
2. c. Déterminer la probabilité que la personne emprunte l’escalier sachant qu’elle va au 2e niveau.
( )=
=
il y a 25 personnes « favorables », elles prennent l’escalier, parmi les 100 personnes
possibles qui vont au 2ème niveau.
Ex2
Un casino possède une urne contenant 2 boules blanches et 8 boules rouges.
Si le rouge sort, le joueur perd sa mise, sinon il gagne le carré de sa mise.
1° On note la mise du joueur en euros.
1.a. On appelle G la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
Déterminer en fonction de , la loi de probabilité de G , puis l’espérance de G .
1.b. Quelle mise maximale le casino doit-il autoriser pour que le jeu soit défavorable au joueur ?
1.a arbre pondéré :
Valeurs de G
²€
1/5
4/5
− €
Loi de probabilité de la variable aléatoire
Valeur de G : xi
Probabilité : pi
1.b. Jeu défavorable au joueur : ( ) ≤ 0
:
²
1/5
−
4/5
( )≤0⟺
1
4
× + (− ) × ≤ 0 ⟺
5
5
0
0
²−4
−4
≤0⟺
4
0
−
+
(
+∞
− 4) ≤ 0 ⟺ 0 ≤
≤4
Tant que le joueur mise moins de 4€, le jeu lui est défavorable.
2. Dans une autre salle, le casino possède une urne contenant 2 boules blanches et
boules rouges, avec entier
supérieur ou égal à 8. La mise est fixée à 5€ .
Le propriétaire du casino pense qu’en prenant suffisamment grand, il peut rendre l’espérance de gain du casino
aussi grande qu’il le désire. A-t-il raison ?
a. arbre pondéré :
Valeurs de G
25€
()
(
()
−5 €
Loi de probabilité de la variable aléatoire
Valeur de G : xi
Probabilité : pi
:
25
2
+2
−5
(
()
(
(
2.b. espérance de gain du joueur : ( ) = 25 × () + (−5) × () = () − () =
+ (
()
Pour des très grandes valeurs de : ( ) tend vers -5
Le joueur peut perdre jusqu’à 5€ par partie, le casino ne peut donc espérer gagner que 5€ par partie.
Ex3
• 81 % des personnes qui entrent dans le magasin n’achète rien ;
• 83 % n’achètent pas de lot de chaises ;
• 90% n’achètent pas de table.
Une personne entre dans le magasin.
On note
l’événement : « la personne achète une table ».
On note
l’événement : « la personne achète un lot de chaises ».
1. Traduire les données.
2. Calculer la probabilité de ∩ , de
∩ , de
∪
, de
∩ ̅ et les interpréter par une phrase.
3. On sait que le directeur fait un bénéfice de 50 € par table vendue, et de 50€ par lot de chaises vendu
On note
la variable aléatoire qui désigne le gain par client.
3. a. Déterminer la loi de probabilité du montant du bénéfice réalisé par personne entrant dans le magasin.
3. b. Calculer l’espérance mathématique de B. Interpréter cette valeur.
2. a)
( ∩ ,) =
-
( ̅ ) = 0,83 ( ) = 0,90
= 0,81
On en déduit ( ) = 1 − ( ̅ ) = 0,17 ( ) = 1 − ( ) = 0,10
Données :
est la réunion des événements
….. ( ∩ ) = 0,09
∩ ̅ et
∩
qui sont incompatibles,
La probabilité que le client n’achète pas de table et achète un lot de chaises est égale à 0,09.
b)
est la réunion des événements
∩
et
∩
qui sont incompatibles,….. ( ∩ ) = 0,08
La probabilité que le client achète une table et un lot de chaises est égale à 0,08.
c)
∪
a pour contraire ∩ , ….. ( ∪ ) = 0,19
La probabilité que le client achète une table ou un lot de chaises est égale à 0,19.
d)
est la réunion des événements
∩
et
∩ ̅ qui sont incompatibles,….. ( ∩ ̅ ) = 0,02
La probabilité que le client achète une table, mais pas de lot de chaises est égale à 0,02.
3° Le bénéfice réalisé peut être de 0€, 50€ ou 100€
•
•
•
( = 0) = ( ∩ ,) == 0,81
Les événements ∩ 34 ∩ , sont incompatibles et ont pour union l’événement ( = 50)
( = 50) = ( ∩ ) + ( ∩ ,) = 0,09 + 0,02 = 0,11
( = 100) = ( ∩ ) = 0,08
D’où la loi de probabilité :
Bénéfice 56
Probabilité
0
0,81
50
0,11
100
0,08
68
=7
68
6
× 56 = 0,81 × 0 + 0,11 × 50 + 0,08 × 100 ≈ 13,50.
Le commerçant peut espérer faire un bénéfice de 13,50€ par client entrant dans le magasin.