Quadripôles électriques

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Quadripôles électriques
1 – Définition des quadripôles
De nombreux circuits peuvent être représentés par une « boîte » munie de deux bornes
d’entrée et de deux bornes de sortie, que l’on nomme quadripôle1.
I1
I2
U1
U2
Il est souvent possible de décomposer un dispositif
électrique ou électronique complexe en un ensemble de
modules fonctionnels qui sont des quadripôles. Ces modules
sont ensuite associés en cascade : les grandeurs de sortie de
l’un constituent les grandeurs d’entrée du suivant.
Fig. 1
L’étude des quadripôles linéaires est facilitée par l’usage du calcul matriciel. Cette
représentation des circuits est également bien adaptée aux méthodes de calcul numérique
modernes.
Quatre grandeurs électriques caractérisent un quadripôle : le courant I1 et la tension U1
d’entrée, le courant I2 et la tension U2 de sortie. Par convention, on donne le sens positif aux
courants qui pénètrent dans le quadripôle.
CAS PARTICULIER : Le tripôle
I1
I2
U1
U2
Une borne d’entrée est alors commune avec une borne de sortie.
Les transistors sont modélisables par des tripôles.
Fig. 2
2 – Exemples de quadripôles
" – Quadripôle série
I1
I2
Z
V2
V1
Fig. 3
Il contient une seule impédance. La loi des mailles donne :
V2 = V1 – Z.I1 et I2 = – I1
Soit sous forme matricielle :
 V2  1 Z  V1 
 I  = 0 1 .  − I 
 2 
  1
On peut noter que pour ce quadripôle, le déterminant de la matrice liant les grandeurs d’entrée
aux grandeurs de sortie est égal à 1.
" – Quadripôle parallèle
I1
I
I2
Z
V1
V2
Fig. 4
V2 = V1 ;
I1 + I2 = I ; I2 = V1/Z – I1
Soit sous forme matricielle :
 V2   1 0  V1 
 I  =  1 1. − I 
 2  Z
  1
Ici encore, le déterminant de la matrice est égal à 1.
1
Ne pas confondre avec les quadrupôles de l’électrostatique.
" – Transformateur idéal en régime sinusoïdal (cf § 8)
On néglige toutes les pertes (résistives et dues aux courants de Foucault).
I1
I2
M
L1
L2
V1
V2
V1 = L1.dI1/dt + M.dI2/dt
V2 = M.dI1/dt + L2.dI2/dt
V1 = jL1.ω.I1 + jM.ω.I2
V2 = jM.ω.I1 + jL2.ω.I2
 V2 
 L1
 V  = jω.  M
 1

M  I1
.
L 2  I 2 
Fig. 5
3 – Matrices représentatives des quadripôles
I1
I2
V2
V1
Fig. 6
Pour les quadripôles ne contenant que des dipôles linéaires les
4 grandeurs fondamentales V1, V2, I1 et I2 sont liées par des
équations linéaires.
Plusieurs représentations matricielles sont possibles et le choix
de l’une de celles-ci sera fait en fonction du problème étudié.
" Matrice impédance
 V1   Z11
V  = Z
 2   21
Z12   I 1 
.
Z 22  I 2 
On exprime les tensions en fonction des courants. Les éléments
de la matrice ont la dimension d’impédances.
" Matrice admittance
I 1 
I  =
 2
Y11 Y12   V1 
Y
.  
 21 Y22   V2 
On exprime les courants en fonction des tensions. Les éléments
de la matrice ont la dimension d’admittances.
" Matrice de transfert
 V2   T11
 I  = T
 2   21
T12   V1 
.
T22   − I 1 
On exprime les grandeurs de sortie en fonction des grandeurs
d’entrée. T11 est un nombre, T12 est une impédance, T21 une
admittance et T22 un nombre.
☞ Bien noter dans cette représentation le signe moins affecté à I1.
La matrice inverse de la matrice de transfert donne les paramètres d’entrée en fonction des
paramètres de sortie.
" Matrice hybride
L’intérêt de cette représentation apparaît lors de l’étude des
 V1   H 11 H 12   I 1 
. 
transistors.
 I  = H

 2   21 H 22   V2 
H11 est une impédance, H12 est un nombre, H21 un nombre et H22 une admittance.
On utilise parfois la matrice [G] = [H]–1
Les relations étant linéaires, il est facile de déduire les coefficients d’une représentation à
partir de ceux d’une autre.
" Caractéristiques des quadripôles passifs
Ce sont les réseaux de courbes qui représentent les variations des tensions en fonction des
courants. Par exemple, pour le réseau V1 = g(I1), on prendra I2 ou V2 comme paramètre :
chaque courbe de ce réseau est tracée pour une valeur donnée et constante de I2 (ou de V2).
" Propriété des quadripôles passifs
Soit un quadripôle passif dont la tension d’entrée est E et le courant de court-circuit en
sortie est IS. D’après le théorème de réciprocité, le courant dans l’entrée en court-circuit est
IE = IS si la tension de sortie est E.
Is
I1
I2
Ie
E
E
Fig. 7
Les relations entrée ⇔ sortie pour la matrice de transfert s’écrivent :
V2 = T11 V1 − T12 I 1
I 2 = T21 V1 − T22 I 1
Sortie en court-circuit :
0 = T11E − T12 I1
I S = T21E − T22 I1
Entrée en court-circuit :
E = 0 − T12 I E
I 2 = 0 − T22I E
L’égalité IE = IS implique que : ∆(T) = T11.T22 – T12.T21 = 1.
Des calculs analogues montrent que pour un quadripôle passif on a aussi :
Z21 = Z12 et H21 = – H12
4 – Associations de quadripôles
" Association en cascade
Les deux sorties du premier sont reliées aux deux entrées du second. On utilise les matrices de
transfert [T1] et [T2] des deux quadripôles associés.
I1
I0 I'1
Q1
V1
V0
Q2
V'1
I2
I1
V2
V1
I2
Q
V2
Fig. 8
[ ]. −VI 

V2 
 I  = T2
 2
V’1 = V0
I’1 = – I0
 V0 
 I  = T1
 0
1

1
[ ]. −VI'' 
[ ][ ]
 V2 
 V1 
 I  = T2 . T1 . − I  ⇒
 2
 1
1

1

[T ] = [T ]. [T ]
Eq
2
1
La matrice de transfert du quadripôle équivalent est donc égale au produit de la seconde
matrice de transfert par la première. Attention car ce produit n’est pas commutatif !
APPLICATIONS :
♦ Quadripôle en T
On considère l’association de trois quadripôles en cascade et on recherche la matrice de
transfert équivalente.
[TEq] = [T3].[T2].[T1] (Attention à l’ordre !)
I1
Z1
U1
Z3
U2
Z2
T1
T2
Fig. 9
I2
T3
[T ] = 10
1

Z1 
1 
[T ] =  1
2

1
Z2
0
1
[TEq ]
 Z3
1 + Z
2
=
1

 Z 2
Z1Z 3 
Z2 

Z1

1+

Z2
Z1 + Z 3 +
♦ Quadripôle en Π
[TEq] = [T3].[T2].[T1]
I1
I2
Z2
[T ] =  1
1
Z1
Z3
U2
U1
T1
T2
[TEq ]
T3
Fig. 10

1
Z1
0
1 
[T ] = 10
2
Z

1+ 2

Z1
=
 1 + 1 + Z2
 Z 3 Z1 Z1 Z3

Z2 
1 

Z2 

Z2 
1+
Z 3 
" Association en série
Dans ce cas, il y a additivité des tensions aux bornes des quadripôles ; les courants sont
identiques. On en déduit simplement la matrice impédance équivalente.
[V’] = [Z’].[I’]
Q'
V'
[V’’] = [Z”].[I”]
V
[V] = [V’] + [V”]
V''
[I] = [I’] = [I”]
Q''
Fig. 11
[Z] = [Z’] + [Z”]
" Association en parallèle
I
Il y a additivité des courants et identité des tensions :
la matrice admittance du quadripôle équivalent est
la somme des matrices admittance des 2
quadripôles :
Q'
I'
I''
Q''
Fig. 12
[Y] = [Y’] + [Y”]
5 – Grandeurs fondamentales des quadripôles
Il est possible de définir pour un quadripôle des grandeurs caractéristiques comme les
impédances d’entrée et de sortie, et les gains en tension, courant et puissance.
" Impédance d’entrée
C’est l’impédance ZE = VE /IE vue à l’entrée quand la sortie est chargée par une impédance ZU.
On utilise la matrice impédance du quadripôle.
I2
I1
V1
V2
Fig. 13
Zu
V1 = Z11.I1 + Z12.I2
V2 = Z21.I1 + Z22.I2 = – ZU.I2
I2(ZU + Z22) = – Z21.I1
I2 = – Z21.I1/(Z22 + ZU)
V1 = I1.{Z11 - Z12.Z21/(Z22 + ZU)}
Z E = Z11 −
Z12 . Z 21
Z 22 + Z U
" Impédance de sortie
C’est l’impédance ZS = VS /IS vue à la sortie quand l’entrée est fermée par une impédance ZG
qui est l’impédance du générateur.
I1
I2
Zg
V1
Un calcul analogue au précédent donne :
V2
Z S = Z 22 −
Z 12. Z 21
Z 11 + Z G
Fig. 14
" Gain en tension
C’est le quotient de la tension de sortie par la tension d’entrée : AV = V2 / V1
V2 = T11.V1 – T12.I1
Or : V2 = – ZU.I2
I2 = T21.V1 – T22.I1
T22.I1 = T21.V1 – I2 = T21.V1 + V2/ ZU
V2 = T11.V1 – (T12.T21 / T22).V1 – T12.V2 / T22.ZU
Cas particulier : les quadripôles passifs
On a alors : ∆(T) = 1

T12
V2  1 +
 T22 .Z U
 T .T − T12 .T21  V1

 =
 = V1  11 22
T22

 T22

Av =
ZU
Z U .T22 + T12
Si ZU = ∞ (quadripôle non chargé) alors : AV = 1 / T22.
6 – Schémas équivalents des quadripôles linéaires
On remplace le quadripôle étudié par un circuit équivalent (dont les équations sont les
mêmes que celles du circuit étudié), mais dans lequel entrée et sortie sont séparées. Plusieurs
schémas de quadripôles équivalents sont utilisés :
" Paramètres « impédances »
I1
Z 11
Z 22
I2
V1
V2
Z 12.I 2
Z21.I 1
Le circuit équivalent comporte des impédances et des
générateurs de tension.
V1 = Z11.I1 + Z12.I2
V2 = Z21.I1 + Z22.I2
Fig. 15
" Paramètres « admittances »
I1
V1
I2
Y11
Y12.V 2
Y22
Y21.V 1
Fig. 16
" Paramètres « hybrides »
Le circuit équivalent comporte des admittances et des
générateurs de courant.
V2
I1 = Y11.V1 + Y12.V2
I2 = Y21.V1 + Y22.V2
I1
H 11
I2
Pour le modèle hybride, on obtient :
V1 = H11.I1 + H12.V2
1/H 22
V1
V2
H12.V 2
H 21.I 1
I2 = H21.I1 + H22.V2
Attention aux dimensions des paramètres :
H11 = Impédance, H12 = Nombre…
Fig. 17
" Modèle amplificateur d’un quadripôle linéaire
I2
I1
Dans ce modèle, le circuit d’entrée est réduit à
l’impédance d’entrée ZE. Celui de sortie comporte un
Zs
générateur de tension de f.e.m. AV.VE en série avec
V1
V2
Ze Av.V1
l’impédance de sortie ZS.
V1 = ZE.I1
Fig. 18
V2 = AV.V1 + ZS.I2
7 – Schémas équivalents des quadripôles non linéaires
Les composants utilisés en électronique sont très souvent non linéaires et une étude
analytique rigoureuse du circuit est alors impossible. Pour étudier le comportement du circuit,
on peut utiliser des méthodes graphiques.
Supposons connues les caractéristiques d’un quadripôle non linéaire : ce sont les réseaux de
courbes V1 = f(I1, I2) et V2 = g(I1, I2). Par exemple dans le plan V1, I1 on trace le réseau des
courbes V1 = f(I1) en prenant la valeur du courant I2 comme paramètre. De même dans le plan
V1, I2 , on trace le réseau des courbes V1 = g(I2) en prenant la valeur de I1 comme paramètre.
On impose à l’entrée les valeurs de V1 et de I1 ; les valeurs de sortie sont V2 et I2. Ces 4
valeurs définissent le point de repos ou point de fonctionnement. Comment évolue ce point si
I1 varie de dI1 ?
V1
V
Au voisinage du point de repos, on peut écrire les variation
des valeurs « statiques » :
 ∂V 
 ∂V 
dV1 =  1  .dI1 +  1  .dI 2
 ∂I 1  I 2 =C
 ∂I 2  I1 =C
v1
i1
PF
I2 = cte
I
Fig. 19
I1
 ∂V 
 ∂V 
dV2 =  2  .dI 1 +  2  .dI 2
 ∂ I1  I 2 = C
 ∂I 2  I 1 = C
 ∂V 
Les dérivées partielles  i  sont les pentes des tangentes aux caractéristiques au voisinage
 ∂I i  PF
du point de repos et ont la dimension d’une impédance :
dV1 = z 11 .dI 1 + z 12 .dI 2

dV2 = z 21 .dI 1 + z 22 .dI 2
Les paramètres zij sont les dérivées des paramètres « statiques » Zij au voisinage du point de
repos : ce sont des paramètres « dynamiques ». Cette notation des différentielles est
rigoureuse mais lourde à utiliser.
☞#
En électronique, on note la différentielle dA de la grandeur A avec la lettre
minuscule a.
La minuscule a correspond à la variation de la grandeur statique représentée par A.
Ainsi, en posant v1 = dV1 ; i1 = dI1 … , on obtient pour la matrice impédance :
v 1 = z11 .i 1 + z 12 .i 2

v 2 = z 21 .i1 + z 22 .i 2
Dans une région où les caractéristiques sont linéaires, ce modèle permet une représentation
correcte des propriétés du quadripôle. Il est également possible de modéliser le quadripôle par
un circuit linéaire équivalent dont les valeurs sont celles du quadripôle au voisinage du point
de fonctionnement. Ainsi pour le modèle hybride, on obtient (comparer avec la figure 17) :
i1
h 11
i2
v1 = h11.i1 + h12.v2
1/h 22
v1
i2 = h21.i1 + h22.v2
v2
h 12.v
2
h 21.i
Ne pas confondre les Hij et les hij.
1
Fig. 20
8 – Exemple de quadripôle : le transformateur idéal
On admet que les inductances sont des solénoïdes de section S ayant N1 et N2 spires, des
longueurs !1 et !2 et que les pertes sont négligeables. Si Φ1 est le flux d’induction à travers
l’enroulement primaire, on a :
µN1I1
µN2I 2
Φ1 = L1I1 + MI2 = N1B1S + N1B2S ; B1 =
; B2 =
!
!
2
µSN 1
µSN 1 N 2
L1 =
; M=
; ⇒ L1 = k. N 21 M = k. N 1 N 2 = L1 L 2
!
!
Avec ces hypothèses, on obtient en régime sinusoïdal :
I1
L1
U1
V1 = jL1.ω.I1 + jM.ω.I2
V2 = jM.ω.I1 + jL2.ω.I2
I2
M
Zu
L2
U2
 V2 
 L1
=
ω.
j
V 
M
 1

M  I1
.
L 2  I 2 
A partir de l’expression de la matrice Z du transformateur, on détermine l’expression de
l’impédance vue à l’entrée quand le transformateur est chargé par une impédance Zu.
Z Z
M2ω 2
jL1ωZu
ZE = Z11 − 12 21 = jL1ω +
. Soit : ZE =
Z22 + Zu
jL2ω + Zu
Zu + jL2ω
Cette impédance est équivalente à une impédance Zu.L1/L2 en parallèle avec une
impédance jL1ω. Si le produit L1ω est assez grand, l’impédance présentée par le
transformateur chargé est donc Zu.L1/L2 = Zu.(N1/N2)2 = Zu.n2. (n = N1/N2 est le rapport de
transformation).
Le transformateur permet donc l’adaptation en puissance des impédances entre une source
d’impédance Zs et une charge d’impédance Zu. Il suffit d’utiliser un transformateur de rapport
n2 = Zs/Zu.
REMARQUE : Comme on néglige les pertes, ce quadripôle passif possède un gain en puissance
égal à 1. Le gain en tension peut être supérieur ou inférieur à 1 (transformateur élévateur ou
abaisseur de tension).
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