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Chakroun et al., Rhéologie, Vol. 6, 67-73 (2004)
67
Modélisation du comportement vibratoire de la matière
cérébrale : modèle de Maxwell semi-linéaire
M. Chakroun, M. Zagrouba et I. Elloumi
Faculté des Sciences de Sfax. Laboratoire de Physique des Matériaux (LPM).
Equipe Physique &Technologie Médicales
B.P. 802, 3018 Sfax (Tunisie).
Fax: 216 - 74 27 44 37
E-mail: [email protected]
Reçu le 3 mars 2004 - Version finale acceptée le 19 août 2004
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Résumé : L'objectif de notre travail est de comprendre les modes de vibration de la matière cérébrale en situation de
choc afin d'assurer une bonne protection du cerveau humain lors des accidents. La courbe expérimentale du module de
la fonction de transfert en fonction de la fréquence de vibration a été réalisée. L'expression de la fonction de transfert
associée à un modèle multicouche de type Maxwell est déterminée. Les paramètres de ce modèle sont ajustés en
comparant la courbe du module de la fonction de transfert théorique avec les résultats des expériences, par vibrométrie
laser, réalisées sur des échantillons issus du cerveau de porc. Un modèle semi-linéaire, permettant un bon ajustement de
la fonction de transfert expérimentale, est proposé. Les paramètres internes de la matière cérébrale, module d'Young et
coefficient d'amortissement interne, donnés par ce modèle en fonction de la fréquence d'excitation, sont en accord avec
ceux de la littérature.
Mots-clés : Fonction de transfert, Vibrométrie laser, Modèle semi-linéaire, Module d'Young, Coefficient de viscosité.
1. Introduction
pour l’introduite dans le code de calcul des modèles
EF.
Les blessures crânio-encéphaliques forment une part
importante des lésions observées en cas d’accidents
de la circulation et du travail. D’où la nécessité
d’optimiser la protection de la tête vis-à-vis des
chocs, ce qui implique une bonne connaissance du
comportement mécanique de la structure à protéger
et en particulier la matière cérébrale. Bien
évidemment, il n’est pas possible d’étudier
expérimentalement l’influence d’un choc violent sur
une tête humaine vivante, pour accéder aux critères
de tolérance de la tête humaine. Les chercheurs ont
donc eu recours à la technique de la modélisation par
la méthode des éléments finis (MEF) de la tête
humaine.
En 1964, Nikerson et Drazic [5] ont tenté de mesurer
le module d’Young et l’indice de rupture de tissus
humain en effectuant des chargements statiques,
mais l’absence de portion linéaire dans les courbes
de contrainte-déformation obtenues a empêché cette
mesure.
Une
dizaine
de
modèles
numériques
tridimensionnels de types éléments finis sont
rapportés dans la littérature [1-4]. Ces modèles sont
tous fondés sur l'hypothèse d'homogénéité et
d'isotropie de la matière cérébrale
En 1972, Shuck et Advani [7] ont réalisé des tests de
cisaillement sur la matière cérébrale humaine. Ces
tests sont parmi les rares tests réalisés sur le cerveau
humain. La plupart des tests rapportés dans la
littérature sont effectués sur des cerveaux
d’animaux. Les tests de Shuck et Advani servent
jusqu'à nos jours de références aux chercheurs pour
modéliser la matière cérébrale humaine.
Plusieurs tests vibratoires concernant la matière
cérébrale sont rapportés dans la littérature. Le but de
ces tests a toujours été de caractériser cette matière
et de tenter de modéliser sa loi de comportement
En 1968, Jamison et al. [6] ont montré, par le biais
d’un test de fluage en traction sur la peau de porc et
de chamois, que des tissus mous pouvaient être
considérés comme des matériaux viscoélastiques. Ils
ont même développé une technique expérimentale
permettant d’obtenir des modèles viscoélastiques
discrets de tissus biologiques mous.
68
Miller et Chinzeit [8] réalisent, en 1996, une
expérience de relaxation en compression sur des
cerveaux de jeunes porcs et démontrent qu’il existe
une forte dépendance de la réponse de la matière
cérébrale à la vitesse de déformation.
En 1997, Bilston et al. [9] ont réalisé des tests de
relaxation sur des échantillons de substance blanche,
de diamètre 30 mm et d’épaisseur 1.5 mm. Ces
échantillons ont été prélevés à partir de cerveaux
frais de bœuf, obtenus immédiatement après le
sacrifice de l’animal. Tout les tests ont été effectués
dans les 8 heures qui ont suivi le prélèvement et à la
température de 37°C. Le but de ces tests était de
déterminer la limite viscoélastique linéaire du
cerveau de bœuf. Celle-ci a été obtenue en
soumettant l’échantillon à des oscillations de 1, 5 et
20 Hz et en augmentant graduellement, dans chaque
cas, l’amplitude de la déformation. Les modules de
stockage et de perte sont alors calculés à l’aide du
rhéomètre. La limite viscoélastique linéaire est
identifiée lorsque ces paramètres commencent à
dépendre de la déformation. Cette limite est trouvée
approximativement égale à 0.1 % et ne dépend pas
de la fréquence entre 1 et 20 Hz.
Willinger et al. [10] ont montré en 1998 à la base
d’une étude réalisée sur la matière cérébrale de
différentes espèces (humain, porc, primate, mouton
et bœuf) que les propriétés mécaniques du cerveau
humain se situent entre celles du cerveau de porc,
qui sont plus faibles, et celles du cerveau de primate,
de mouton et de bœuf, qui sont plus importantes. Ils
ont prouvé aussi que la congélation à -200c ne
semble pas affecter les caractéristiques mécaniques
du cerveau.
Chakroun et al., Rhéologie, Vol. 6, 67-73 (2004)
mordial de réaliser des mesures à l’intérieure de
cette bande de fréquence. Cependant, un rhéomètre
classique ne permet d’étudier la matière cérébrale
qu’à des fréquences ne dépassant pas les 300 Hz.
Pour accéder aux propriétés de cette matière à des
fréquences plus élevées, nous utilisons la technique
de vibromètrie laser.
2. Méthode
2.1 Vibromètrie laser
La technique consiste à imposer à un échantillon
prélevé sur des cerveaux de porc décongelés (le
choix du porc est dû d’une part à des raisons
éthiques, d’autre part c'est l’animal qui se rapproche
biologiquement le plus de l’homme [10]) une
sollicitation vibratoire normale de type tractioncompression, produite par un pot vibrant sur lequel
l’échantillon a été déposé. On impose à la surface
inférieure de l’échantillon un déplacement sinusoïdal
x0 = a exp (jω t), tout en gardant sa surface
supérieure libre. Le déplacement de la face
supérieure xp est mesuré par un capteur de
déplacement à laser. Un accéléromètre mis en
contact avec le plateau nous permet d’accéder à
&x& 0; une double intégration permet de déterminer
l’amplitude du déplacement x0 correspondant à
chaque fréquence d’excitation :
x0
=
&x&0
ω2
(1)
où ω est la pulsation du déplacement x0 .
2.1.1 Dispositif expérimental
Alors qu’il existe un grand nombre d’informations
dans la littérature concernant les propriétés
mécaniques in vitro du cerveau [11-17], du foie et
du rein [18-19] sous compression, indentation,
impact et dans une moindre mesure sous torsion,
Miller indique, qu’à sa connaissance, il n’existe
aucun résultat concernant les propriétés des tissus
mous en traction [16]. La raison de cette lacune est
qu’en plus des problèmes techniques liés à ce type
de sollicitation, il n’existe pas de relation analytique
reliant le déplacement de la machine de traction et la
déformation d’un échantillon de forme cylindrique.
Pour caractériser la matière cérébrale, beaucoup
d’auteurs ont donc eu recours aux rhéomètres
classiques. La durée typique de chargement dans les
accidents de la route est comprise entre 1 et 50 ms,
selon la rigidité de la surface impactée. Cet
intervalle correspond approximativement à une
bande de fréquence de 20 à 1000 Hz. Il est donc pri-
Figure 1 : Schéma du dispositif expérimental.
Le dispositif expérimental comprend les parties
suivantes (Figure 1) :
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- un pot vibrant : c’est un excitateur de vibration
à aimant permanent connecté à un générateur de
fréquences.
- un accéléromètre : c’est un accéléromètre
piézoélectrique qui a une sensibilité de 10.2mv/ms-2.
- un capteur de déplacement à laser (He-Ne) : il
s’agit d’un matériel de mesure qui permet de
déterminer le déplacement de surfaces vibrantes sans
contact (à distance).
- un ordinateur avec sa carte d’acquisition : il
enregistre simultanément les signaux correspondant
aux accélérations &x& 0 (signal de l’accéléromètre) et
aux déplacements xp (signal du laser).
2.1.2 Protocole expérimental
Le protocole expérimental comprend les étapes
suivantes :
- branchement : le schéma du montage est
présenté Figure 1. Le laser est monté sur une
colonne réglable en hauteur. Le pot vibrant est fixé
juste au-dessous de la tête optique du laser.
L’accéléromètre est fixé solidement sur le plateau
vibrant.
69
procurée par un pot vibrant (excitateur électrodynamique) sur lequel l'échantillon est déposé. Les
déformations résultantes de cette sollicitation
proviennent de la masse distribuée sur toute la
hauteur de l’échantillon. La fonction de transfert
Hp(ω) est définie comme le rapport du déplacement
de sa surface supérieure xp par le déplacement
imposé à sa surface inférieure x0. Les deux modèles
utilisés pour cette étude (Figure 2) sont de types
Kelvin-Voigt (KV) et Maxwell. Les ressorts et les
amortisseurs modélisent respectivement l’élasticité
et la viscosité de la matière cérébrale. La vibration
de l'échantillon est assimilée à la vibration de p
couches cylindriques superposées l'une sur l'autre.
Chaque couche est alors de hauteur hP de masse mP
et de diamètre d.
S
mp
Zp
xp
mp
Zp
h
mp
Zp
- découpage de l’échantillon : les dimensions de
l’échantillon découpé sont 3 mm pour la hauteur et
20 mm pour le diamètre.
x0 = a exp(jwt)
- mise en place de l’échantillon sur le plateau en
plexiglas.
- illumination de la surface supérieure de
l’échantillon par le laser He-Ne.
- lancement de la vibration du pot : cette
vibration a été effectuée, fréquence par fréquence,
pour des fréquences allant de 20 à 650 Hz. Au-delà
de 650 Hz, les déplacements x0 et xp ne sont plus
bien détectés par les appareils de mesure car ils sont
très faibles.
- acquisition des données expérimentales sous
HPVEE (logiciel d’acquisition).
- traitement des données par MATLAB.
2.2 Modèle multicouche
Pour pouvoir exploiter les résultats expérimentaux
obtenus par la technique de vibrométrie laser, nous
avons associé à l’échantillon d'étude un modèle
mécanique multicouche, permettant la mise en
équation de la vibration de l’échantillon d’étude.
L’échantillon est de forme cylindrique, de diamètre
d, de hauteur h et de masse M. Il est sollicité avec
une contrainte normale de type traction-compression
hP
kp
kp
Cp
Forme de Zp pour le
modèle de KV
Cp
Forme de Zp pour le
modèle de Maxwell
Figure 2 : Modèles utilisés pour cette étude
Les deux paramètres kp et Cp permettent de
caractériser la matière testée puisqu’ils sont reliés au
module d'Young E et à l'amortissement interne µ
par :
hpC p
hp k p
et µ =
pour le modèle de KV
E=
S
S
et par :
hpC p
hp k p
E=
et µ =
2S
2S
pour le modèle de
Maxwell.
kp est la raideur du ressort, Cp est le coefficient de
viscosité, S est la surface de la section de
l'échantillon et hp est la hauteur d'une couche.
70
Chakroun et al., Rhéologie, Vol. 6, 67-73 (2004)
En se basant sur ces modèles, nous avons pu
déterminer l’expression théorique modélisant la
fonction de transfert relative à chacun des deux
modèles :
x0
=
1
*
( p + n)! æç Z p
1+ å
n =1 ( pn )! ( 2n )! ç Z p
è
p
ö
÷
÷
ø
où Z *p = jm pω , Z p = C p +
de KV) et Zp = (
1
Cp
+
jω
kp
(2)
n
kp
jω
(pour le modèle
Après avoir tracé la courbe expérimentale du module
de la fonction de transfert, nous avons tenté de
modéliser ce résultat en utilisant les modèles de KV
et de Maxwell.
Les modèles adoptés pour effectuer la modélisation
comportent cinq couches massiques (p = 5). Les
paramètres de ces modèles (K et C) présentés sur les
Figures 4 et 5 ont été ajustés de manière à ce qu’ils
permettent d’obtenir le meilleur accord théorie/
expérience.
)-1 (pour le modèle de
Maxwell).
3. Résultats
Nous présentons en Annexe (Tableau 2) les valeurs
expérimentales des modules des déplacements xp et
x0 en fonction des fréquences d’excitations.
Nous présentons Figure 3 la variation du module de
la fonction de transfert expérimentale en fonction de
la fréquence d’excitation du pot vibrant.
Module de la fonction de transfert
xp
4. Discussion
1.4
Fréquence (Hz)
1èr pic de
résonance
Figure 4 : Superposition théorie/expérience
(Modèle de KV; p = 5, K = 3000 N/m, C =5 N.s/m;
E = 28.647 KPa, µ = 47.47 Pa.s)
1.2
2ème pic de
résonance
1
0.8
0.6
0.4
135
560
1
0.2
0
100
200
300
400
500
600
700
Fréquence (Hz)
Figure 3 : Courbe expérimentale du module de la fonction
de transfert en fonction de la fréquence d’excitation du
pot.
La courbe expérimentale du module de la fonction
de transfert présente un maximum au voisinage de
135 Hz et un autre au voisinage de 560 Hz. Ceci
peut indiquer que nous avons, dans la bande de
fréquences comprise entre 20 et 560 Hz, deux
fréquences de résonances relatives aux deux
premiers modes de vibration de la matière cérébrale.
Module de la fonction de transfert
Module de la fonction de transfert
1.6
Fréquence (Hz)
Figure 5 : Superposition théorie/expérience
(Modèle de Maxwell; p = 5, K = 5900 N/m, C = 4.2
N.s/m, E = 28.170 KPa, µ = 20.05 Pa.s)
Chakroun et al., Rhéologie, Vol. 6, 67-73 (2004)
Sur la Figure 4, on remarque que le modèle de KV à
5 couches permet de bien modéliser la courbe
expérimentale du module de la fonction de transfert
mais seulement jusqu’à 250 Hz. Le modèle prévoit
la première résonance à 135 Hz mais pas la
deuxième résonance à 560 Hz.
La Figure 5 montre que le modèle de Maxwell a
l’avantage par rapport au modèle de KV de prévoir
la deuxième résonance à 560 Hz.
Les deux modèles donnent un résultat similaire pour
la valeur du module d’Young E, déduite de la
modélisation. Les valeurs de l’amortissement interne
µ déduites à partir des deux modèles sont
différentes, mais elles sont dans le même ordre de
grandeur.
D'après les Figures 4 et 5, la courbe du module de la
fonction de transfert des deux modèles ne coïncide
pas avec la courbe expérimentale sur toute la gamme
de fréquence. On a alors proposé un modèle semilinéaire de type Maxwell (Figure 6). Dans ce
modèle, nous avons introduit une approche qui
considère que les propriétés de la matière cérébrale
varient par intervalle de fréquence.
Ce type de modélisation n’a pas donné de bons
résultats avec le modèle de KV. Ainsi, nous l’avons
appliqué seulement pour le modèle de Maxwell.
Pour ce faire, on a divisé l’intervalle d’étude en 4
zones : 20-300 Hz, 300-340 Hz, 340-500 Hz, 500650Hz.
Module de la fonction de transfert
La Figure.6 représente la superposition de la courbe
expérimentale avec la courbe théorique du modèle
semi-linéaire.
Fréquence (Hz)
Figure 6 : Superpositions de la courbe expérimentale (+)
et la courbe du modèle semi-linéaire (p = 5).
Les paramètres de ce modèle, ainsi que les valeurs
du module d’Young et de l’amortissement interne
71
déduites à partir de ces paramètres, sont présentées
dans le Tableau 1.
Fréquence
(Hz)
k(N/m)
E (kPa)
C (N.s/m)
µ (Pa.s)
20-300
300-340 340-500 500-650
5900
28.170
4.2
20.05
6800
32.467
2.95
14.08
4000
19.098
2.65
12.65
Tableau 1 : Propriétés internes de la matière cérébrale :
modèle semi-linéaire.
Les résultats issus de la littérature concernant le
module d’Young de la matière cérébrale avec
l’hypothèse d’un matériau viscoélastique sont très
rares. Parmi ces résultats, on note ceux de Galford et
McHelaney [13] en 1969, qui donnent un module
d’Young E = 72.8 kPa pour le cerveau de porc à 34
Hz et E = 107,1 kPa pour le cerveau de singe à 31
Hz. La comparaison de nos résultats avec ceux de la
littérature n’est pas directement possible, vu qu’à
notre connaissance il n’existe aucun résultat
concernant le cerveau de porc dans le domaine
fréquentiel de notre étude.
5. Conclusions
Vu que les modèles de KV et Maxwell n’ont pas pu
modéliser le comportement de la matière cérébrale
sur tout l'intervalle de fréquence d'étude, nous avons
utilisé la modélisation semi-linéaire. Cette
modélisation n’a pu fonctionner qu’avec le modèle
de Maxwell. L’inconvénient de ce modèle semilinéaire est qu’il ne peut pas décrire le
comportement vibratoire de la matière cérébrale
dans l’intervalle compris entre 340 et 500 Hz.
Néanmoins, les résultats issus de cette modélisation
restent importants car ils donnent une bonne
approximation des propriétés de la matière cérébrale
de porc. Cependant, il est à noter que dans la
littérature la plupart des tentatives de modélisation
sont effectuées à partir de test de cisaillement
(torsion des échantillons à l’aide d’un rhéomètre
avec enregistrement simultané du module de
cisaillement complexe) et dans des bandes de
fréquence ne dépassant pas les 350 Hz. En plus de
ça, il n’existe pas d'homogénéité ni dans les
conditions expérimentales adoptées par les auteurs,
ni dans les espèces testées. Par ailleurs, il a été
montré qu'une différence de l’ordre de 40 % existe
entre les propriétés mécaniques des différentes
espèces [10]. L'extrapolation des résultats d’une
espèce à un autre n’est donc pas évidente. Tout ceci
rend la tâche difficile, car toute comparaison entre
les résultats présentés par les différents auteurs doit
être faite avec beaucoup de précautions, surtout que
72
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ces derniers ne détaillent pas très bien les protocoles
et les conditions expérimentales de réalisation de
leurs tests.
Remerciement
Ce travail a été effectué dans le cadre d’un projet
CMCU (00F/1119) en collaboration avec le
Laboratoire des Systèmes Biomécaniques et
Cognitifs (LSBMC) de l’Institut de Mécanique des
Fluides de Strasbourg (IMF) dirigé par le Pr. R.
Willinger.
Annexe : valeurs expérimentales des modules des
déplacements x0 et xp.
Fréquences
(Hz)
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
240
260
280
300
320
340
360
380
400
420
440
460
480
500
520
540
560
580
600
650
Modules des
Modules des
déplacements x0 déplacements xp
(µm)
(µm)
803,0735
546,4484
414,9024
327,7935
266,1464
216,3125
174,8784
141,5470
114,0713
93,3016
76,6179
64,1890
54,4451
46,9761
40,8433
35,5550
31,0939
27,3441
24,2154
21,6546
19,1886
15,5142
12,8019
10,7196
9,1034
7,8908
6,9583
6,2150
5,6549
5,0879
4,5934
4,2022
3,8359
3,4899
3,2670
2,9918
2,7109
2,4553
2,2601
2,1688
1,7451
781,8750
553,1250
427,5000
350,0000
284,3750
232,8516
193,8281
159,2188
131,9766
110,7031
91,9336
85,6128
66,8516
56,8828
49,2318
42,1777
36,2760
31,8001
28,1673
25,5664
21,7904
17,0508
12,8955
10,2995
7,5537
5,7117
4,0259
2,6257
1,7450
1,1993
1,2677
1,6119
2,0825
2,1245
2,1838
2,1771
2,0021
1,9030
1,7420
1,6498
1,3143
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