Dérivation, continuité, convexité

TES - Accompagnement - révisions du prochain DS
(beaucoup de convexité, un peu de continuité et de dérivation)
Exercice 1
La courbe c ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction f définie sur [0; 20]. On a tracé les
tangentes à la courbe c aux points B, D et E d'abscisses respectives 0; 6 et 11.
1) Dresser le tableau de variation de la fonction f.
2) Dresser le tableau de signes de la fonction f ’.
3) Dresser le tableau de signes de la fonction f ’’.
4) Dresser le tableau de variation de la fonction f ’.
c
Exercice 2
Une entreprise fabrique des appareils électroménagers. Chaque jour, elle produit au maximum 1100
appareils et le coût, exprimé en euros, de la production journalière de x dizaines d'appareils est donné par la
4
fonction f définie par f(x) x 3 − 20x 2 + 64x + 600 sur [1; 10].
3
On arrondira les coûts à l'euro près.
1) Quel est le coût si on produit 50 appareils ?
2) Etudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation.
3) En déduire la production journalière qui rend les coûts minimaux. Quels sont alors ces coûts ?
4) a) Montrer que l'équation f(x) = 600 admet une unique solution α dans l'intervalle [2; 8].
b) Donner une valeur approchée à 0,01 près de α.
5) Montrer que la fonction f admet un point d'inflexion dont on précisera les coordonnées.
Exercice 3
f est une fonction définie sur l'intervalle [2; 8].
On a représenté ci-contre la courbe c représentant la dérivée
f ’ de la fonction f.
1) Etudier les variations de la fonction f.
2) Etudier la convexité de la fonction f.
c
Exercice 4
Dans une verrerie, le coût total, exprimé en
milliers d'euros, pour une production de x
centaines de flacons de cristal, est modélisé par
la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle
[1; 13] par f(x) = 0,012 x 3 − 0,18 x 2 + x + 1
On a représenté ci-contre la courbe c
représentant la fonction f.
1) a) A l'aide du graphique, conjecturer la
convexité de la fonction f.
La courbe c admet-elle un point d'inflexion ?
Si oui, quelle est son abscisse ?
b) Démontrer les conjectures émises à la question
1) a).
2) Etudier les variations de la fonction f sur
l'intervalle [1; 13] et dresser son tableau de
variation.
c
3) Le prix de vente d'un flacon est de 10 euros. On note B(x), défini sur [1; 13] et exprimé en milliers
d'euros, le bénéfice réalisé en vendant x centaines de flacons de cristal.
a) Montrer que B(x) = − 0,012 x 3 + 0,18 x 2 − 1
b) Etudier les variations de B et dresser son tableau de variation.
c) Indiquer pour combien de flacons vendus le bénéfice est maximal. Que vaut alors ce bénéfice ?
d) Montrer que l'équation B(x) = 0 admet une unique solution α sur l'intervalle [1; 13].
e) Déterminer une valeur approchée à 0,01 près de α.
f) En vous aidant des questions 3) b) et d), dresser le tableau de signes de la fonction B.
g) Pour combien de flacons vendus l'entreprise est-elle bénéficiaire ?
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Correction
Exercice 1
1) On regarde quand la courbe c monte ou descend:
x
variation de f
0
6
≈ 7,5
20
≈− 5
≈ 1,8
2) Quand la fonction f est croissante, sa dérivée f ’ est positive.
Quand la fonction f est décroissante, sa dérivée f ’ est négative.
Quand la tangente à la courbe c est horizontale, la dérivée est alors égale à 0 (c'est le cas au niveau du
point D).
D'où le tableau suivant:
x
signe de f ’(x)
0
6
0
+
20
−
3) Quand la fonction est convexe, sa dérivée seconde f ’’ est positive (courbe tournée vers le haut).
Quand la fonction est concave, sa dérivée seconde f ’’ est négative (courbe tournée vers le bas).
Lorsqu'il y a un point d'inflexion, la dérivée f ’’ est égale à 0 (E est un point d'inflexion car la courbe c
traverse sa tangente en ce point).
D'où le tableau suivant:
x
signe de f ’’(x)
0
−
11
0
20
+
4) f ’ est croissante si sa dérivée, c'est à dire f ’’ est positive.
f ’ est décroissante si sa dérivée, c'est à dire f ’’ est négative.
D'où le tableau suivant:
x
variation de f ’
0
11
20
Exercice 2
1) On calcule f(5) (attention !!!!! x désigne le nombre de dizaines d'appareils)
4
f(5) = × 53 − 20 × 52 + 64 × 5 + 600 ≈ 587
3
Le coût est de 587 euros (à 1 € près) si on produit 50 appareils.
4
× 3 x 2 − 20 × 2x + 64 = 4 x 2 − 40x + 64
3
∆ = 576 > 0 donc f ’(x) a deux racines égales à 8 et 2.
D'où le tableau suivant:
2) f ’(x) =
x
signe de f ’(x)
variation de f
1
2
0
≈ 659
+
α
−
8
0
10
+
≈ 573
600
≈ 645
≈ 515
3) Il faut produire 80 appareils ménagers (pour x = 8) par jour pour que les coûts soient minimaux. Ces
coûts sont alors égaux à 515 €.
4) a) La fonction f est continue et décroissante sur l'intervalle [2; 8].
De plus, 600 est compris entre f(2) = 659 et f(8) = 515 donc l'équation f(x) = 600 admet une unique
solution sur l'intervalle [2; 8].
b) On utilise le menu GRAPH de la calculatrice
Attention !!! La fonction à entrer dans la calculatrice est f(x) − 600
x min = 2
x max = 8
ymin = − 100
ymax = 100
On obtient:
α = 4,63 à 0,01près
5) f ’’(x) = 4 × 2x − 40 = 8x − 40
8x − 40 = 0 si 8x = 40 c'est à dire si x =
40
=5
8
D'où le tableau suivant:
x
signe de f ’’(x)
1
−
5
0
10
+
f ’’ s'annule en changeant de signe pour x = 5 donc la fonction f admet un point d'inflexion de coordonnées
(5; f(5)) = (5; 587)
Exercice 3
1) Lorsque la courbe c est située au dessus de l'axe des abscisses, cela signifie que la dérivée f ’ est
positive et que, par conséquent, la fonction est croissante.
Lorsque la courbe c est située en dessous de l'axe des abscisses, cela signifie que la dérivée f ’ est négative
et que, par conséquent, la fonction est décroissante.
On a donc le tableau suivant:
x
signe de f ’(x)
variation de f
2
+
3
0
−
7
0
8
+
2) Lorsque la courbe c "monte", cela signifie que la dérivée f ’ est croissante et que, par conséquent, que la
fonction f est convexe.
Lorsque la courbe c "descend", cela signifie que la dérivée f ’ est décroissante et que, par conséquent, que
la fonction f est concave.
On a donc le tableau suivant:
x
variation de f ’
2
convexité de f
5
f est concave
8
f est convexe
point
d'inflexion
Exercice 4
1) a) f semble être concave sur l'intervalle [1; 5]
(la courbe c est orientée vers le bas) et convexe
sur l'intervalle [5; 13] (c orientée vers le haut)
c semble admettre un point d'inflexion
d'abscisse 5 (voir tangente rouge tracée cicontre).
b) f ’(x) = 0,012 × 3 x 2 − 0,18 × 2x + 1
f ’(x) = 0,036 x 2 − 0,36x
f ’’(x) = 0,036 × 2x − 0,36
f ’’(x) = 0,072x − 0,36
c
0,072x − 0,36 = 0 si 0,072x = 0,36 c'est à dire si
0,36
x=
=5
0, 072
On a donc le tableau suivant:
x
signe de f ’’(x)
convexité de f
1
−
f concave
5
0
13
+
f convexe
point
d'inflexion
On a bien démontré les conjectures précédentes.
2) f ’(x) = 0,036 x 2 − 0,36x + 1
a = 0,036
b = − 0,36
c=1
∆ = − 0,0144 < 0: f ’(x) n'a donc pas de racine et est toujours du même signe que a
x
signe de f ’(x)
variation de f
1
13
+
9,944
1,832
3) a) Soit R(x) la recette (en milliers d'euros) réalisée lors de la vente de x centaines de flacons.
10 × 100
x = x (on multiplie le prix d'un flacon par 100 pour 100 flacons et on divise par 1000 pour
R(x) =
1000
obtenir des milliers d'euros)
B(x) = R(x) − f(x) = x − (0,012 x 3 − 0,18 x 2 + x + 1) = x − 0,012 x 3 + 0,18 x 2 − x − 1
B(x) = − 0,012 x 3 + 0,18 x 2 − 1
b) B'(x) = − 0,012 × 3 x 2 + 0,18 × 2x = − 0,036 x 2 + 0,36x
a = − 0,036
b = 0,36
c=0
∆ = 0,1296 > 0 donc on a deux racines égales à 0 et 10
x
signe de B'(x)
variation de B
1
10
0
5
α
+
13
−
0
− 0,832
3,056
c) Le bénéfice est maximal si on vend 1000 (= 10 centaines) de flacons. Ce bénéfice est alors égal à 5 000 €
(= 5 milliers d'euros)
d) Sur l'intervalle [1; 10]: B est continue et strictement croissante
De plus, 0 est compris entre B(1) = − 0,832 et B(10) = 5
Par conséquent, l'équation B(x) = 0 admet une unique solution α sur [1; 10]
Sur l'intervalle [10; 13], le minimum de la fonction B est égal à 3,056 donc l'équation B(x) = 0 n'a pas de
solution sur cet intervalle.
Conclusion: L'équation B(x) = 0 admet bien une unique solution α sur l'intervalle [1; 13].
e) On utilise le menu GRAPH de la calculatrice:
α = 2,59 à 0,01 près
f) D'après le tableau de variation de la fonction B, on peut construire le tableau suivant:
x
signe de B(x)
1
−
α
0
13
+
g) L'entreprise est bénéficiaire si le bénéfice est positif, donc, d'après le tableau précédent, si on vend entre
259 flacons (= 2,59 centaines) et 1300 flacons (= 13 centaines).