Fondements axiomatiques de la théorie de la

Transcription

Microéconomie de l’incertain
Delphine Boutin
[email protected]
Présentation du cours
Cours d’outillage et de méthodes, appliqués aux décisions dans l’incertain
Objectifs:
Vous familiariser avec l’utilisation de modèles et méthodes de la microéconomie
contemporaine
Vous aider à construire des raisonnements à partir de ces modèles
Pré-requis:
Microéconomie L1 et L2
Notions de statistiques
Théorie de la decision en environnement incertain
2
Présentation du cours
Méthodes de travail:
Pendant le cours: Présentation des concepts + exercices
Après le cours: lire les chapitres et documents indiqués + refaire les exos
Slides et exo dispo:
Sur l’ENT
Sur mon site web (google: delphine boutin: https://delphineboutin.wordpress.com/)
Contact:
[email protected]
Bureau 24 (5ème étage)
3
Introduction:
De la microéconomie traditionnelle à la nouvelle
microéconomie
Delphine Boutin
[email protected]
Introduction
Microéconomie traditionnelle
Échange marchand entre des individus rationnels en situation de concurrence parfaite
Smith (1776): la poursuite d’intérêts égoïstes conduit à la réalisation de l'intérêt général
Les caractéristiques de la CPP (atomicité, homogénéité des produits, libre entrée,
transparence).
Cadre formalisé, utilisant des outils mathématiques.
Focus sur la rationnalité:
Rationalité individuelle : les individus agissent en utilisant au mieux les ressources dont
ils disposent, compte tenu des contraintes qu'ils subissent.
• L'individu (homo oeconomicus) est égoïste.
• Il constitue une unité de décisions autonome : son comportement n'est pas
déterminé par des habitudes sociales consciemment ou inconsciemment
assimilées.
• L'individu est maximisateur: il effectue des choix qui maximisent sa satisfaction.
5
Introduction
Nouvelle micro-économie
Critique certaines hypothèses de base de la micro-économie traditionnelle dans un univers
plus complexe et plus riche.
Objectif: étudier le comportement d'un individu rationnel, dans un monde où l'information
n’est pas parfaitement disponible, et où les décisions individuelles ne sont pas coordonnées
par un commissaire-priseur.
Nouveaux outils d’analyse:
la théorie des jeux (lorsque les décisions individuelles sont interdépendantes): cf cours
de V. Diequiedt.
l'économie de l'information (lorsque l’information n’est pas disponible, asymétrique ou
coûteuse)
• QUID de l’hypothèse de la rationalité lorsque les agents sont en situation risquée
ou incertaine?
• Théorie des contrats
6
Introduction
Nouvelle micro-économie
Les critiques spécifiques de l’économie des choix en incertain:
L’homo-oeconomicus est trop extreme
• Trop égoiste: qui maximise sa richesse? QUID altruisme, dons, bénévolat, etc.?
– Économie du bohneur
• Trop rationnel: qui utilise la règle de Bayes? QUID des biais cognitifs?
– Économie psychologique/behavorial economics/ expérimentation
7
Plan du cours
Partie 1 : Théorie de la décision en univers incertain
Fondements axiomatiques de la théorie de la décision
Le choix optimal
Les critiques de la théorie de l’utilité espérée
Partie 2 : Les attitudes par rapport au risque
Aversion, neutralité et préférence pour le risque
La mesure de l’aversion au risque
La mesure du risque: notion de dominance stochastique
Partie 3 : Introduction à l’assurance
Asymétrie de l’information et assurance
La demande d’assurance
Assurances climatiques
8
Première partie:
La théorie de la décision en
environnement incertain
Delphine Boutin
[email protected]
Chapitre 1:
Les fondements axiomatiques de la théorie de la
décision
Delphine Boutin
[email protected]
Section 1
Choix en univers certain (Rappels)
1. Choix en univers certain (Rappels)
La maximisation sous contrainte (1/2)
Quelques éléments de la théorie traditionnelle des choix du consommateur:



Chaque individu effectue un ensemble de choix sous contraintes.
De manière formelle: un ensemble d’alternatives X s’offre à chaque individu.
Parmi l’ensemble des choix sous contrainte X qui s’offre à lui, l’individu a certaines
préférences:

>= est une préférence faible,

> une préférence stricte,

∼ une indifférence.
12
La maximisation sous contrainte (1/2)
Cela suppose que:
•
L’ind. est capable d’exprimer des préférences sur des paniers de biens.
•
Les préférences des individus sont égoïstes (selfish) ou encore individualistes
(= non affectées par la consommation d’autrui ou autre facteur).
•
•
Chaque type de bien est supposé être disponible en n’importe quelle quantité,
positive ou nulle (=un bien est un nombre réel positif ou nul).
Les « paniers de biens » sont représentés par des vecteurs.
13
Axiomes des préférences
Les préférences des agents sont supposées respecter un certain nombre de propriétés
(axiomes):
•
Complétude des préférences (des classements): l’individu peut classer les biens
selon la satisfaction qu’ils lui procurent. Ce classement a une cohérence interne.
→ Ordre complet sur les préférences (X≻Y, Y≺X ou X≈Y)
•
•
•
•
Transitivité: X est préférée à Y, et si Y est préférée à Z, alors X est préférée à Z.
Cette propriété signifie que les individus font preuve de cohérence dans leurs
préférences.
La désirabilité ou saturation (les individus préfèrent « avoir plus que moins »)
La continuité (des variations infinitésimales de la composition des paniers de biens
ne bouleversent pas l’ordre des préférences )
La convexité des préférences (préférences pour les moyennes plutôt que les
extrêmes)
Si l’ensemble des axiomes de préférences sont vérifiés, alors il existe une fonction
d’utilité mesurable qui représente ces préférences.
14
Section 2
Choix en univers risqué et incertain
2. Choix en univers risqué ou incertain
Risque et incertitude (1/3)
En univers certain, toutes les décisions sont faciles à prendre, puisque leurs conséquences
sont connues.
Or, l’incertain est partout:
Tout acte humain a des conséquences imprévisibles.
Même une décision banale comporte un risque d’incertitude.
Knight (1921) et Keynes (1923, 1936) ont ouvert la voie à un débat essentiel:
peut-on donner une représentation de l’incertitude dans la vie économique?
16
Le risque: situation où on peut probabiliser les évènements possibles, de manière
objective
L’incertitude: non probabilisable.
• La Nature décide de tout ce qui n’est pas sous le contrôle de l’individu
• Les conséquences des décisions dépendent à la fois des décisions de l’individu et
des décisions de la Nature (« états de la Nature » ou « scénarios »).
« La différence pratique entre les deux catégories, le risque et l’incertitude, est que, s’agissant de
la première, la distribution du résultat parmi un ensemble de cas est connue (soit par le calcul a
priori, soit par des statistiques fondées sur les fréquences observées), tandis que ceci n’est pas vrai
de l’incertitude en raison de l’impossibilité de regrouper les cas, parce que la situation à traiter
présente un degré élevé de singularité » .
Knight (1921)- Risk, Uncertainty and Profit, p.233.
17
Une situation est risquée quand la prévision peut se faire à partir de:
probabilité mathématiques (nombre de cas favorables/nombre de cas total)
probabilités fréquentistes (à partir d’un grand nombre d’observations d’un évènement
qui se répète avec une certaine fréquence).
Ce sont dans les deux cas des probabilités objectives.
Une situation incertaine est considérée comme unique, donc non probabilisable.
La prévision repose alors sur un double exercice de jugement:
D’abord formuler une estimation subjective (expérience, croyance).
Puis mesurer la validité du jugement effectué (degré de confiance):
Ce sont des probabilités épistémiques.
18
Concepts de base
La théorie des choix en situation d’incertitude (ou risquée) est un raffinement de la théorie
des choix:
•
Les préférences des individus s’expriment par une relation binaire >= sur un ensemble
donné d’alternatives X.
•
Il existe une fonction d’utilité u telle que :
L’approche du problème change:
•
X n’est plus un ensemble d’objets « certains »
•
Les éléments x ϵ X ne seront plus des « paniers de biens certains »
les éléments x ϵ X devront représenter des perspectives incertaines (ou risquées).
 Comment représenter de manière mathématique les perspectives incertaines?
19
Un exemple (tiré de Cayette, 2004- 1/3)
Soit un producteur avec une fonction de production 𝑞 = 2 𝑙,
q désigne la quantité produite
l la quantité de travail utilisée
w le taux de salaire est certain, mais pas le prix de vente p.
Supposons que l’opinion du producteur sur ce prix soit représentable par la loi de
probabilité suivante:
10 12 16
𝑝=
0,4 0,5 0,1
20
Un exemple (2/3)
En univers certain, la demande de travail serait:
𝑝
𝑙 𝑑 = (𝑤)2 ,
où p serait le prix au certain.
En posant par exemple, w=2, on peut déterminer les quantités demandées 𝑙 𝑑 et le
profit maximal Π ∗ d’univers certain pour chacun des prix possibles:
• Si p=10, alors 𝑙 𝑑 =25 et Π ∗ =50
• Si p=12, alors 𝑙 𝑑 =36 et Π ∗ =72
• Si p=16, alors 𝑙 𝑑 =64 et Π ∗ =128
21
Un exemple (3/3)
En univers incertain:
il ne suffit plus de choisir un niveau de salaire pour avoir un profit donné.
• A chaque niveau de salaire retenu correspondent trois profits possibles.
• La matrice d’information:
– Colonnes: toutes les valeurs possibles du prix de vente p
– Lignes: toutes les valeurs possibles de la demande de travail l
e1
e2
e3
p=10
p=12
p=16
…
…
…
…
l=25
50
70
110
…
…
…
…
l=36
48
72
120
…
…
…
…
l=64
32
64
128
22
A retenir de l’exemple précédent
1.
2.
En univers certain:
1. Dire que le producteur maximise son profit a un sens parce que parmi tous les profits
possibles, il y en a généralement un qui est le plus élevé.
En univers incertain:
•
A une demande de travail donnée correspondent plusieurs montants possibles de
profit= l’expression maximiser son profit perd de sons sens.
•
Pour savoir le comportement du producteur, il faut connaître ses préférences sur
l’ensemble des actions possibles  connaître sa fonction d’utilité
23
Partie 3
En univers risqué
3. Choix en univers risqué
La notion de loterie
Pour simplifier l’analyse:
on suppose que les individus sont en mesure d’affecter une probabilité aux
différents événements possibles : incendie de leur maison, hausse de 10% du cours
des actions, probabilité de mourir avant 40 ans, etc…
permet d’interpréter toute situation risquée en termes de loterie
Définition loterie:
Une loterie représente l’ensemble des gains possibles, caractérisés par une
probabilité d’occurrence.
Plus précisément, une loterie assimile aux événements des probabilités « objectives »
correspondantes, sur lesquelles s’accordent les agents.
En univers risqué, les probabilités précèdent donc les préférences.
25
Exemple de loterie
Si vous possédez une action qui a une chance équiprobable de générer une plus-value de
100 ou une moins-value de 50
Alors tout se passe comme si vous étiez tenu de jouer à un « jeu », une loterie, où vous
pouvez gagner 100 € ou perdre 50€.
Si l’on possède une maison non assurée d’une valeur de 500 000 € qui a une chance sur 10
000 de brûler:
loterie dans laquelle on a une chance sur 10 000 de perdre 500 000 €.
Achat d’une action qui a 15% de chances d’augmenter de 100€ et 85% de chances de ne pas
augmenter:
Achat d’un billet de loterie où l’on a 15% de chances de gagner 100€.
Prendre l’avion, c’est jouer à une loterie où vous avez petite chance (par exemple une chance
sur 100 000) de mourir.
26
Mesure de la loterie
Les loteries définies en termes monétaires (comme les 3 premiers exemples) illustrent de très
nombreuses situations économiques.
Statistiquement, une loterie correspond à une variable aléatoire définie:
•
par l’ensemble des gains ou des pertes possibles en €
•
par les probabilités correspondantes.
Supposons qu’il y ait n événements élémentaires possibles, on notera ainsi :
𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 … ; 𝑝1 , 𝑝2 , … )
Avec 𝑥𝑖 désignant le gain ou la perte associée à l’état de nature i et 𝑝𝑖 la probabilité
d’occurrence de l’état de nature i ( 𝑖 𝑝𝑖 = 1).
27
Mesure de la loterie-Notation
On notera de manière traditionnelle:
Espérance de 𝑥 (ou valeur espérée de la loterie):
Variance de 𝑥 :
Ecart-type de 𝑥 :
𝐸 𝑥 =
𝑉 𝑥 =
𝑖 𝑝𝑖 𝑥𝑖
𝑖 𝑝𝑖 (𝑥𝑖 − 𝐸 𝑥
𝜎𝑥 =
2
𝑉 𝑥
Les deux derniers indicateurs sont des mesures du risque de la loterie. L’écart-type est
parfois préféré à la variance parce qu’il a l’avantage d’être mesuré dans la même unité que le
gain ou la perte (ici en €).
Exemple: La possession d’une action qui a une chance équiprobable de générer une plus-value
de 100 ou une moins-value de 50 équivaut à la loterie :
1 1
𝑥 = (100, −50; , )
2 2
𝐸 𝑥 = (0,5 × 100€) + (0,5 × −50€) = 25 €
𝑉 𝑥 = 0,5 (100-75)² + 0,5×-50-75)² = 75
𝜎𝑥 = 75 = 8, 66€
28
Mesure de la loterie-Généralisation mathématique
On peut représenter les données d’un problème simple par une matrice d’information qui
contient les quatre éléments suivants : les états de la nature, leurs probabilités, les
actions et les conséquences des actions selon l’état de la nature qui se réalise.

Exemple avec trois états de la nature E = {e1, e2, e3} et trois actions A = {a1, a2, a3}. Les
probabilités sont attachées aux états de la nature, on pose donc pj = Pr [e = ej] et 𝑗 𝑝𝑗 = 1
a1
a2
a3


e1
p1
x11
x12
x13
e2
p2
x21
x22
x23
e3
p3
x31
x32
x33
Choisir une action ai revient à choisir des gains xij quand l’état de la nature ej se réalise,
sachant que cet évènement aura lieu avec une probabilité pj.
Dans la mesure où l’on possède des informations sur les conséquences xij et les probabilités
des états de la nature, on n’a pas besoin de la liste explicite des états de la nature=on
interprète chaque ligne comme une loterie.
29
Mesure de la loterie-Exemples
Décision bancaire:
Défaillant
Non défaillant
Accepter
…
…
Refuser
…
…
Accepter sous garanti
…
…
Quels sont les états de la nature?
Quels sont les actions possibles?
30
Mesure de la loterie-Généralisation mathématique (suite)
Par exemple pour la première ligne, on notera :
𝑥11 𝑥12 𝑥13
𝑎1 𝑝 𝑝 𝑝
11 12 13
ce qui signifie que l’action a1 apportera le gain x11 avec probabilité p1, le gain x12 avec
probabilité p2 et le gain x13 avec probabilité p3.

Ces informations sont a priori suffisantes pour prendre des décisions dans l’incertain.

Prenons un cas particulier de l’exemple précédent:

a1
a2
a3
e1
0,1
z1
z2
z3
e2
0,4
z2
z1
z3
e3
0,5
z3
z1
z3
Cette matrice d’information définit les trois loteries suivantes :
•
•
•
𝑧1 𝑧2 𝑧3
𝑎1 = 0,1 0,4 0,5
𝑧2 𝑧1
𝑎2 = 0,1 0,9
𝑧
𝑎3 = 3 (loterie certaine)
1
31
Mesure de la loterie-Généralisation mathématique (cas continu)
On utilise alors une fonction de répartition, ou une densité, à la place des probabilités. Dans
ce cas, il n’est pas nécessaire d’utiliser la notation précédente puisque la fonction de
répartition contient toute l’information nécessaire. On aura simplement :
𝐹𝑎 𝑧 , 𝑧 ∈ 𝐴
où A est l’ensemble des réalisations possibles z de la variable aléatoire Z, qui dépend de la
loterie, et :
𝐹𝑎 𝑥 = Pr 𝑍 ≤ 𝑧
Si l’on utilise une densité fa(z) , on aura :
𝐹𝑎 𝑧 =
𝑧
𝑓𝑎 𝑥 𝑑𝑥
−∞
32
Mesure de la loterie-Applications
Exemple 1 (Assurance partielle): Un ménage veut assurer sa voiture de valeur v sachant que la probabilité
d’accident est p. Le ménage s’assure pour un montant z ≤ v et doit payer une prime d’assurance égale à βz,
avec β ∈ ]0, 1[ . En cas d’accident, son capital sera égal au montant remboursé z moins la prime d’assurance
βz. S’il n’y a pas d’accident, son capital sera de v moins la prime d’assurance. Ceci correspond à la loterie :
𝑎 𝑧 =
1−𝛽 𝑧
𝑝
𝑣 − 𝛽𝑧
1−𝑝
on note la loterie a = a (z) afin de montrer que le résultat de la loterie dépend de la décision z prise par le
ménage.
Exemple 2 (Jeu d’argent): Une personne achète un jeu à gratter d’un montant m. Il peut gagner le montant
x ≥ m avec une probabilité p = 0, 25. La loterie correspondant à ce jeu est donnée par :
𝑥−𝑚
−𝑚
𝑎 𝑧 = 0,25
0,75
Exemple 3 (Risque de chômage): Une personne peut être au chômage avec probabilité p. Si elle travaille son
salaire est w, sinon il est égal à γw, avec 0 ≤ γ < 1. La cotisation chômage est égale à τw, 0 < τ < 1. La loterie
correspondante est donnée par :
γw
1−τ w
𝑎=
𝑝
1−𝑝
33
Partie 4
En univers incertain
4. Choix en univers incertain
Exemple: confection d’une omelette
A={Saladier, Poubelle, Bol}
E={Bon, Mauvais}
c
Bon
Mauvais
Saladier
O. de 6
Pas d'O.
Poubelle
O. de 5
O. de 5
Bon
O. de 6+ un bol à laver O. de 5 + un bol à laver
Remarques:
Pas de probabilités
Goûts et croyances
Possibilité d’acquérir de l’information (expérimentation)
35
Axiomes des préférences (1/2)
Capacité à exprimer les préférences entre plusieurs couples de loteries L*  La relation
binaire de préférence doit donc être complète.
∀ 𝐿, 𝐿′ 𝜖 L∗
𝐿 ≿ 𝐿′ ou L′ ≿ 𝐿
Transitivité: Cohérence dans le classement des loteries
∀ 𝐿, 𝐿′ , 𝐿′′ 𝜖 L∗
𝑠𝑖 𝐿 ≿ 𝐿′ et L′ ≿ 𝐿′′ 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝐿 ≿ 𝐿′′
36
Axiomes des préférences (2/2)
Continuité des préférences: L,L’ et L’’ sont des ensembles fermés (pas d’inversion brutale
des préférences)
𝛼𝜖 0,1 : 𝛼𝐿 + 1 − 𝛼 𝐿′ ≿ 𝐿′′ ⊂ 0,1 ,
𝛼𝜖 0,1 : 𝐿′′ ≿ 𝛼𝐿 + 1 − 𝛼 𝐿′ ⊂ 0,1
Indépendance (ou linéarité): si une loterie est préférée à une autre alors le fait de
mélanger dans les mêmes proportions avec une troisième loterie ne change pas l’ordre
initial des préférences;
∀𝐿, 𝐿′ , 𝐿′′ 𝜖𝐿 ∗ 𝑒𝑡 𝛼 0,1
𝐿 ≿ 𝐿′ ⇔ 𝛼𝐿 + 1 − 𝛼 𝐿′′ ≾ 𝑎𝐿′ + 1 − 𝛼 𝐿′′
Ne marche pas forcément pour les biens ordinaires!
37
Axiomes des préférences-Justification de l’axiome d’indépendance
38
Exercices
Exercice 1
Soit la matrice d’information suivante :
e1
e2
e3
e4
p=0,1
p=0,25
p=0,4
p=0,25
a
A
C
D
B
b
A
B
D
C
a. Ecrivez- les deux actions possibles sous forme de loteries.
b. Que pouvez-vous dire sur l’ordre de préférence sur ces deux actions ?
40
Exercice 2
Un étudiant hésite entre deux masters A et B,
S’il choisit le master A, il a une chance sur deux d’obtenir un job en moins de 3 mois, avec
un salaire de 2500 euros. S’il choisit le master B, il a 9 chances sur 10 d’obtenir un job en
moins de 3 mois, avec un salaire de 1850 euros.
a. Ecrivez l’action sur les salaires de choisir le master A et celle de choisir le master B.
b. Supposons maintenant qu’il est certain au bout d’un an d’obtenir une augmentation de 200
euros avec le job issu du Master A, et de 400 euros avec le job issu du Master B. Ecrivez la
nouvelle action de choisir A et celle de choisir B, e, intégrant un taux d’actualisation r.
41
Correction Exercice 1
Soit la matrice d’information suivante :
e1
e2
e3
e4
p=0,1
p=0,25
p=0,4
p=0,25
a
A
C
D
B
b
A
B
D
C
a. Ecrivez- les deux actions possibles sous forme de loteries.
𝑎={
𝐴
𝐵
0,1 0,25
𝐶
0,25
𝐷
0,4
et
b= {
𝐴
𝐵
0,1 0,25
𝐶
0,25
𝐷
0,4
b. Que pouvez-vous dire sur l’ordre de préférence sur ces deux actions ?
Les conséquences sont identiques et ont les mêmes probabilités. Donc, quelles que soient
leurs préférences, tous les agents sont indifférents entre les deux actions.
42
Exercice 2
Un étudiant hésite entre deux masters A et B,
S’il choisit le master A, il a une chance sur deux d’obtenir un job en moins de 3 mois, avec
un salaire de 2500 euros. S’il choisit le master B, il a 9 chances sur 10 d’obtenir un job en
moins de 3 mois, avec un salaire de 1850 euros.
a. Ecrivez l’action sur les salaires de choisir le master A et celle de choisir le master B.
0 2500
𝐴={
0,5 0,5
0 1850
𝐵={
0,1 0,9
b. Supposons maintenant qu’il est certain au bout d’un an d’obtenir une augmentation
de 200 euros avec le job issu du Master A, et de 400 euros avec le job issu du Master B.
Ecrivez la nouvelle action de choisir A et celle de choisir B, e, intégrant un taux
d’actualisation r.
0 2500 + 2700/𝑟
𝐴={
0,5
0,5
0 1850 + 2250/𝑟
𝐵={
0,1
0,9
43

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