Correction du DM n°10

Première ES
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DM n°10
Correction
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3
Espérance mathématiques d’une variable aléatoire
Exercice de synthèse
Exercice 3. Romain propose le jeu suivant à Abdel. Un sac contient n boules noires (N) et
une boule blanche (B) avec n ⩾ 1. Abdel tire une boule au hasard, note sa couleur, la remet
dans le sac, puis tire un nouvelle boule.
Exercice 1. Une urne contient 5 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules blanches. Un
joueur tire au hasard une boule dans l’urne. Il gagne 1 e s’il tire une boule rouge, 2 e s’il
tire une boule verte et 4 e s’il tire une boule blanche. On appelle X la variable aléatoire qui
donne le nombre d’euros gagnés par le joueur.
1) Calculer l’espérance E(X) mathématiques de la variable aléatoire X.
● Si les deux boules tirées sont noires, Romain donne 1 e à Abdel.
● Si elles sont blanches, Romain donne 10 e à Abdel.
● Si elles sont de couleurs différentes, Abdel donne 3, 50 e à Romain.
a) Dans la 1ère ligne, vous devez simplement remplir les valeurs xi que peut
prendre la variable aléatoire X (nombre d’euros gagnés par le joueur).
Soit G la variable aléatoire qui associe le gain d’Abdel (compté négativement si Abdel perd).
b) Ensuite, dans 2 ligne, vous devez remplir les probabilités que X soit égale aux
nombre de cas favorables
xi en utilisant la formule :
nombre de cas au total
c) À la manière d’une pondérée, dans la 3e ligne, vous devez calculer les produits xi × P (X = xi ). Les notes sont ici les valeurs xi et les coefficients sont les
probabilités P (X = xi ).
e
xi
1
P (X = xi )
xi ×P (X = xi )
E(X)
=
2
1) Recopier sur votre copie l’arbre
ci-contre et compléter-le avec les
issues et les probabilités.
Issues
5
= 0, 5
10
3
= 0, 3
10
2
= 0, 2
10
0, 5
0, 6
0, 8
0, 5 + 0, 6 + 0, 8
=
1
n+1
n
n+1
1, 9 e
2) Est-ce intéressant de jouer à ce jeu sachant qu’une partie coûte 1, 5 e ?
Si vous jouez à ce jeu, vous allez en moyenne gagner 1, 9 − 1, 5 = 0, 4 e par
partie. Même si ce n’est pas grand chose, il est intéressant d’y jouer.
2
Exercice 2.
P (B) = P ( M S ) + P ( SM ) = 0, 08
P (C) = P ( M M ) = 0, 01
P (D) = P ( P S ) + P ( SP ) = 0, 32
P
0, 5
0, 4
P
PP
S
PS
0, 1 M
(n + 1)
2
PM
0, 4 S
0, 5 P
0, 4
SP
S
SP
0, 1 M
SM
0, 5 P
0, 4
MP
B
NB
n N
n+1
NN
N
(n + 1)
S
MS
MM
(n + 1)
n2
(n + 1)
E(G)
2
2
2
2n
2
2
(n + 1)
(n + 1)
10
− 7n
n2
2
− 3, 5
1
(n + 1)
gi × P (G = gi )
n
10
n2
P (G = gi )
2
(n + 1)
2
(n + 1)
n2 − 7n + 10
=
2
(n + 1)
E(G) = 0
⇐⇒
2
n
− 7n + 10
⇐⇒
0, 25
0, 20
0, 05
2
= 0
(n + 1)
Le jeu est équitable
0, 20
0, 16
0, 04
⇐⇒
n2 − 7n + 10 = 0
⇐⇒
n = 2 ou n = 5
4b) Pour quelles valeurs de n, le jeu est-il favorable à Romain ?
Le jeu est favorable à Romain
0, 1
M
1
2
Le jeu est équitable
0, 5
0, 1 M
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BN
(n + 1)
n
Issues Proba.
1) Représenter cette expérience aléatoire par
un arbre pondéré.
P (A) = P ( P P ) = 0, 25
N
gi
1
BB
B
n
n+1
1
n+1
Proba.
4a) Pour quelles valeurs de n, le jeu est-il équitable ?
Répétition d’expériences identiques et indépendantes
2) À l’aide de l’arbre, calculer la probabilité
des événements suivants :
1
n+1 B
4
2) Recopier sur votre copie le tableau cicontre. Compléter les différents gains
gi d’Abdel et les probabilités P (G = gi ).
0, 05
0, 04
0, 01
Le jeu est favorable à Romain
Page 1/1
⇐⇒
E(G) < 0
⇐⇒
n ∈]2; 5[
⇐⇒
n = 3 ou n = 4
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