Formulation et coupes valides pour le problème de tournées

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Introduction
Etat de l’art
Formulation proposée
Inégalités valides
1ers Résultats
Formulation et coupes valides pour le problème de
tournées de véhicules avec postes de livraison
intermédiaires
Sandra Ulrich NGUEVEU
Roberto Baldacci, Roberto Wolfler Calvo
LAAS-CNRS / LIPN / University of Bologna
[email protected]
13/02/2013
Sandra U. Ngueveu
ROADEF2013
MOGISA - LAAS - CNRS 1/ 28
Introduction
Etat de l’art
1ers Résultats
Plan
1
Introduction
2
Etat de l’art
3
4
5
1ers Résultats
Sandra U. Ngueveu
ROADEF2013
Introduction
Etat de l’art
1ers Résultats
Problème
Le problème de tournées de véhicules avec postes de livraison
intermédiaires consiste à trouver un ensemble de tournées
réalisables où chaque client est :
soit visité par une tournée
soit affecté à un poste de livraison intermédiaire visité par une
tournée qui y livre la demande du client.
L’objectif est de minimiser la somme des coûts de tournées et des
coûts d’affectation.
Sandra U. Ngueveu
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Introduction
Etat de l’art
1ers Résultats
Exemple de solution
2.000(*)
0
Sandra U. Ngueveu
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Introduction
Etat de l’art
1ers Résultats
Différence avec des problèmes de la littérature
VRPIF vs 2-echelon vehicle routing problem (2E-VRP)
2.000(*)
0
Source : Perboli, Tadei, Vigo 2008
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Introduction
Etat de l’art
1ers Résultats
VRPIF vs multiple traveling purchaser problem
2.000(*)
0
Source : Riera-Ledesma, Salazar-Gonzalez 2012
Sandra U. Ngueveu
ROADEF2013
Introduction
Etat de l’art
1ers Résultats
Transport scolaire : VRPIF vs school bus routing problem
2.000(*)
0
Source : Schittekat, Sevaux, Sorensen, 2006
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Introduction
Etat de l’art
1ers Résultats
Cas particulier où les demandes sont unitaires : Le CmRSP
CmRSP = Capacitated m-Ring Star Problem :
introduit par Baldacci et al en 2007
problème de design de réseaux de télécommunications
Sandra U. Ngueveu
ROADEF2013
Introduction
Etat de l’art
1
Introduction
2
Etat de l’art
3
4
Inégalités en cardinalité ou de séparation polynomiale
Inégalités RCI
Linéarisations des contraintes de capacité RCII
5
1ers Résultats
Sandra U. Ngueveu
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1ers Résultats
Introduction
Etat de l’art
1ers Résultats
Etat de l’art
R. Baldacci, M. Dell’Amico and J. Salazar-González.
The Capacitated m-Ring-Star Problem.
Operations Research, 55(6) :1147–1162, 2007.
E. A. Hoshinoa and C. C. de Souza.
A branch-and-cut-and-price approach for the capacitated
m-ring–star problem.
Discrete Applied Mathematics, 160 :2728–2741, 2012.
A. Mauttone, S. Nesmachnow, A.O.F.Robledo Amoza.
Solving a Ring Star Problem generalization.
CICM2006
Sandra U. Ngueveu
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Introduction
Etat de l’art
1
Introduction
2
Etat de l’art
3
4
Inégalités RCI
5
1ers Résultats
Sandra U. Ngueveu
ROADEF2013
1ers Résultats
Introduction
Etat de l’art
1ers Résultats
Formulation à 2 indices
Données
Graphe mixte G = (V , E ∪ A) :
V = {0} ∪ VC ∪ VF est l’ensemble des noeuds (= depot +
clients + postes de livraison intermédiaire potentiels)
E est l’ensemble des arêtes utilisables par les tournées
A est l’ensemble des arcs représentant les affectations possibles
de clients à des postes de livraison intermédiaires
Chaque client i ∈ VC a une demande qi à satisfaire
m : nombre MAX de véhicules disponibles
Chaque véhicule a une capacité Q
Chaque arête e = i, j ∈ E a un coût d’utilisation re = rij
Chaque arc a un coût d’affectation dij.
Autre notation : Fi ensemble des postes de livraison auxquels le
client i peut être affecté.
Sandra U. Ngueveu
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Introduction
Etat de l’art
1ers Résultats
Variables de décisions
xe : binaire : = 1 si l’arête e est utilisée et 0 sinon
wi : binaire := 1 ssi le noeud i ∈ VC ∪ VF est visité par une
tournée
zij : binaire := 1 ssi le client i est affecté au poste de livraison j
Sandra U. Ngueveu
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Introduction
Etat de l’art
1ers Résultats
Minimiser le coût total = somme des dates d’arrivées
X
X
(FF) min
re xe +
dij zij
e∈E
s. c. Degré des nœuds
X
(1)
(i ,j)∈A
xe ≤ 2m
(2)
e∈δ(0)
X
xe = 2wi ,∀i ∈ V 0
(3)
e∈δ(i )
Obligation de service des clients
wi +
X
zij = 1,∀i ∈ VC
(4)
j∈Fi
Capacité


X
e∈δ(S)
xe ≥
2
Q
 X



i ∈VC (S)
qi wi +
X
(i ,j)∈A:
j∈VF (S)


qi zij  ,

∀S ⊆ V 0 : S 6= ∅
(5)
Domaine des variables
xe ∈ {0, 1}/xe ∈ {0, 1, 2}/zij ∈ {0, 1}/wi ∈ {0, 1}
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(6)
Introduction
Etat de l’art
1ers Résultats
Sous condition d’intégrité des variables de décisions xe , wi et zij les
contraintes
de capacité (5) assurent
qu’au moins
lP
m
P
i∈S qi wi +
(i,j)∈A:j∈S qi zij tournées assurent sont affectées
pour visiter les clients inclus dans S ou affectés à des noeuds dans
S.
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Introduction
Etat de l’art
1
Introduction
2
Etat de l’art
3
4
Inégalités RCI
5
1ers Résultats
Sandra U. Ngueveu
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1ers Résultats
Introduction
Etat de l’art
1ers Résultats
Inégalités en cardinalité polynomiale
x{i,j} ≤ wj ,
x{i,j} ≤ wj ,
∀i ∈ VC , ∀j ∈ VC , i 6= j
(7)
∀i ∈ VF , j ∈ V 0 , i 6= j
(8)
x{i,j} + zij ≤ wj ,
Sandra U. Ngueveu
∀i ∈ VC , ∀j ∈ Fi
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(9)
Introduction
Etat de l’art
1ers Résultats
Contraintes de connectivité


X
X
xe ≥ 2 wi +
e∈δ(S)
zij  ,
∀S ⊆ V 0 , ∀i ∈ VC (S), S 6= ∅
(10)
j∈VF (S)∩Fi
Principe de séparation :
1) rendre le membre de droite constant :

X
xe +
e∈δ(S)
X
j∈VF (S)∩Fi

zij ≥ 2 wi +
X
zij  ,
∀S ⊆ V 0 , ∀i ∈ VC (S), S 6= ∅ (11)
j∈Fi
2) rechercher coupe s-t sur graphe auxiliaire où : 0 = s et i = t
chaque arête xe a un coût xe (ou xe + zij
Sandra U. Ngueveu
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Introduction
Etat de l’art
1ers Résultats
Contraintes multistar


X
xe ≥
e∈δ(S)
2
Q
 X



qi wi +
i ∈VC (S)
X
qi zij +
(i ,j)∈A:
j∈VF (S)
X
X
i ∈VC (S) j∈S


qi x{i ,j}  , ∀S ⊆ V 0 , S 6= ∅

(12)
Ces contraintes dominent les contraintes de capacité initiales (5).
Principe de séparation :
Idem q pour les contraintes de capacité
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Introduction
Etat de l’art
1ers Résultats
Inégalité RCI

X
qi

 i∈S:Fi ⊆S
xe ≥ 2 

Q

e∈δ(S)

X



,



∀S ⊆ V 0 , VC (S) 6= ∅
(13)
Principe de séparation : heuristique Multi-Start Local Search
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Introduction
Etat de l’art
1ers Résultats
Inégalité RCII
!

P


xe ≥ 2 


e∈δ(S)


i ∈VC (S)
qi wi +
X
P
(i ,j)∈A:
j∈VF (S)
Q
qi zij


,




∀S ⊆ V 0 , S 6= ∅
(14)
Ces contraintes sont non-linéaires.
Proposition de linéarisation basées sur le lemme suivant :
Lemme :
Soient v , y et b trois entiers non négatifs, avec v > b et
mod (v , b) 6= 0. Alors
l m
v
y
v −y
≥
−
.
b
b
mod (v , b)
Sandra U. Ngueveu
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(15)
Introduction
Etat de l’art
1ers Résultats
Linéarisation*
En remarquant que le terme de droite équivaut à :




 X

q(VC )−

qi wi +
X
(i ,j)∈A:
j∈VF (S)
i ∈VC (S)





qi zij  ou q(VC (S))−




X
X
qi zij −
(i ,j)∈A:
i ∈VC (S),
j∈VF (S)
(i ,j)∈A:
i ∈VC (S),
j∈VF (S)



qi zij 



(16)
On peut donc utiliser le lemme 1 pour obtenir :

X 1
xe ≥
2
e∈δ(S)
q(VC )
Q

 X
1

−

mod(q(VC ), Q) 
qi wi +
i ∈VC (S)
X 1
q(VC (S))
1
xe ≥
−
2
Q
mod(q(VC (S)), Q)
e∈δ(S)
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Pas de relations de dominance
Sandra U. Ngueveu
X
(i ,j)∈A:
j∈VF (S)


qi zij  ,

(17)
qi zij
(18)
X
(i ,j)∈A:
i ∈VC (S),j∈VF (S)
Introduction
Etat de l’art
1
Introduction
2
Etat de l’art
3
4
Inégalités RCI
5
1ers Résultats
Sandra U. Ngueveu
ROADEF2013
1ers Résultats
Introduction
Etat de l’art
1ers Résultats
Implémentation et Instances*
Implémentation
C + Cplex (Cutting Plane)
Intel Core 2Duo, 2.66 GHz
4Go de RAM
Instances :
CmRSP :
VRPIF : génération à partir d’instances LRP
1. corrected
Sandra U. Ngueveu
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Introduction
Etat de l’art
1ers Résultats
1ers Résultats sur CmRSP*
instance CmRSP
A01-n026-m03.dat
A02-n026-m04.dat
A04-n026-m03.dat
A05-n026-m04.dat
A06-n026-m05.dat
A10-n051-m03.dat
A11-n051-m04.dat
A12-n051-m05.dat
A23-n076-m04.dat
A24-n076-m05.dat
A34-n101-m03.dat
A35-n101-m04.dat
A36-n101-m05.dat
LB
242
261
300
339
374
242
261
286
381
439
363
410
439
UB
242
261
301
339
375
242
261
286
385
448
363
415
448
LB/UB
100.00
100.00
99.67
100.00
99.73
100.00
100.00
100.00
98.96
97.99
100.00
98.80
97.99
s
0.15
0.09
0.96
1.61
1.44
0.61
0.17
0.12
21.5
37.84
10.02
225.92
92.3
litérature
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
98.55
97.48
100
99.3
100.00
Résultats compétitifs avec la littérature, bien que notre algorithme n’ait pas été affiné
pour ce cas particulier.
1. corrected
Sandra U. Ngueveu
ROADEF2013
Introduction
Etat de l’art
1ers Résultats
1ers Résultats sur CmRSP*
instance CmRSP
B01-n026-m03.dat
B02-n026-m04.dat
B03-n026-m05.dat
B04-n026-m03.dat
B05-n026-m04.dat
B06-n026-m05.dat
B10-n051-m03.dat
B11-n051-m04.dat
B12-n051-m05.dat
B22-n076-m03.dat
B23-n076-m04.dat
B24-n076-m05.dat
B34-n101-m03.dat
B35-n101-m04.dat
B36-n101-m05.dat
LB
1684
1827
2041
2091
2360
2611
1681
1821
1972
2160
2568
2977
2434
2732
2930
UB
1684
1827
2041
2104
2370
2615
1681
1821
1972
2253
2620
3059
2434
2782
3009
LB/UB
100.00
100.00
100.00
99.38
99.58
99.85
100.00
100.00
100.00
95.87
98.02
97.32
100.00
98.20
97.37
s
0.09
0.19
0.1
0.98
1.48
1.55
0.98
0.88
0.12
31.76
25.06
33.34
344.29
320.15
152.1
litérature
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
96
97.17
97.17
99.85
98.79
97.73
Résultats compétitifs avec la littérature, bien que notre algorithme n’ait pas été affiné
pour ce cas particulier.
1. corrected
Sandra U. Ngueveu
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Introduction
Etat de l’art
1ers Résultats
Résultats préliminaires sur VRPIF
Instances
Perl83-12x2.dat
ppw-20-5-0-a.dat
ppw-20-5-2-a.dat
Gaskell-21x5.dat
cr30x5a-1.dat
cr30x5a-2.dat
cr30x5a-3.dat
cr30x5b-1.dat
Gaskell-32x5.dat
Gaskell-36x5.dat
Christ-50x5.dat
Christ-50x5_B.dat
ppw-50-5-0-a.dat
ppw-50-5-2-a.dat
Perl83-55x15.dat
Christ-75x10.dat
Perl83-85x7.dat
ppw-100-10-0-a.dat
ppw-100-10-3-a.dat
ppw-100-5-0-a.dat
ppw-100-5-3-a.dat
Sandra U. Ngueveu
LB
100
252
238
367
630
654
551
726
559
407
505
516
614
552
437
734
581
1084
960
1240
1020
UB
100
253
247
371
636
664
578
726
565
411
515
533
ROADEF2013
LB/UB
100.00
99.60
96.36
98.92
99.06
98.49
95.33
100.00
98.94
99.03
98.06
96.81
s
0.09
2.61
2.82
4.84
5.11
7.59
6.26
4.35
10.58
9.8
38.59
43
128.3
84.93
124.83
269.08
352.33
597.2
600.15
602.89
598.52
Introduction
Etat de l’art
1ers Résultats
Formulation et coupes valides pour le problème de
tournées de véhicules avec postes de livraison
intermédiaires
Sandra Ulrich NGUEVEU
Roberto Baldacci, Roberto Wolfler Calvo
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