Chapitre Prismes droits et cylindres de révolution

Chapitre
Prismes droits et cylindres de révolution
(CHAPITRE 15 « Espace » en 2008/2009 GR COM)
Prismes droits : description, vocabulaire, perspectives cavalières à main
levée, patrons.
Cylindres de révolution: description, vocabulaire, perspectives cavalières à
main levée, patrons.
Volumes des prismes droits et des cylindres de révolution
( retour sur les volumes et leurs unités)
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Chapitre
Prismes droits et cylindres de révolution
I Volume
Un volume peut désigner une figure dans l’espace ou une grandeur (définie ci-dessous).
1) Définition
Le volume d’un solide est une grandeur caractérisant la portion d’espace occupée par ce solide.
1
Le volume se mesure en « unités-cubes », qui sont des cubes
dont l’arête a pour longueur une unité de longueur.
1 unité-cube
1
2) Système métrique
1
3
L’unité légale est le mètre cube (m ).
kL
hL
daL
L
dL
cL
mm3
cm3
dm3
m3
dam 3
hm3
km3
Tableau de conversion
mL
Remarques :
Quand on passe d’une unité à l’unité immédiatement inférieure, la mesure du volume d’un solide est
multipliée par 1 000.
Exemple : 1 cm3 correspond à 1 000 mm3.
1cm 3
1 000 cubes d’arêtes 1 mm
Quand on passe d’une unité à l’unité immédiatement supérieure, la mesure du volume d’un solide est
divisée par 1 000.
Exemple : 1 000 cm3 correspondent à 1 dm3 .
Pour mesurer le volume d’un liquide, on utilise également le litre (L), ses multiples et sous-multiples :
1 kL correspond à 1 m3
1 L correspond à 1 dm3
1 mL correspond à 1 cm3
3) Formules connues
Pour appliquer une formule de volume, les longueurs doivent être exprimées dans la même
unité ; le volume est alors donné dans l’unité-cube correspondante.
Parallélépipède rectangle (« pavé droit »)
cube
a
a
a
b
a
c
V=a×a×a=a
3
V=a×b×c
1
II Prisme droit
1) Perspective cavalière
La perspective cavalière est une manière de représenter par le dessin, sur un plan,
les objets tels qu’ils apparaissent dans l’espace, en conservant le parallélisme des lignes.
En perspective cavalière les angles droits, les longueurs ne sont en général pas conservés.
Ainsi les faces latérales d’un prisme droit ne sont en général pas représentées par des rectangles
mais par des parallélogrammes
Exemples :
face avant
face avant
face avant
2) Définition: Prisme droit
Un prisme droit est un solide dont :
˜ deux faces (qui sont des polygones) sont superposables et situées dans des plans parallèles,
on les appelle « les bases »,
˜ les autres faces sont des rectangles, ce sont les faces « latérales ».
Exemple :
F
Les arêtes cachées sont
dessinées en pointillés
G
J
A
B
H
E
C
I
D
Ë Les bases sont des pentagones (polygones avec 5 côtés) : ABCDE et FGHIJ
Ë Les faces latérales sont des rectangles :ABGF ; BCHG ; CDIH ; DEJI ;EAFJ
Ë Il y a 10 sommets : A, B, C , D, E, F, G, H, I et J
Ë Il y a 15 arêtes : [AB] ; [BC] ; [CD] ; [DE] ; [EA]
côtés des bases
[FG] ; [GH] ; [HI] ; [IJ] ; [JF]
[AF] ; [BG] ; [CH] ; [DI] ; [EJ] arêtes latérales, parallèles et de même longueur ,
La longueur d’une arête latérale est « la hauteur du prisme ».
2
3)Patron d’un prisme droit
Une figure est le patron d’un prisme droit quand :
˜ deux faces sont superposables (les bases),
˜ les autres faces sont des rectangles (les faces latérales),
˜ en effectuant mentalement le pliage, les arêtes en contact sont de même longueur.
Exemple :
c
a
c
a
a
b
c
b
b
h
h
Aire latérale d’un prisme droit = Périmètre d’une base × hauteur
Exemple ci-dessus : Aire latérale = (a + b + c ) × h
Aire d’un prisme droit = aire des bases + aire latérale
Pour obtenir l’aire latérale, il faut
calculer la somme des aires des
rectangles formant les faces latérales.
Il y a deux bases
4) Volume
Le volume d’un prisme droit est le produit de l’aire d’une base par la hauteur :
Volume = Aire d' une base × hauteur
D
Exemple :
ABC est un triangle rectangle en B tel que :
AB = 3 cm , BC = 4 cm et CF = 5 cm ( hauteur )
Aire de la base ABC : A =
AB × BC 3 × 4
=
= 6 cm2
2
2
F
E
A
5
3
B
Volume du prisme droit : A × CF = 6 × 5 = 30 cm3
3
4
C
III Cylindre de révolution
1) Définition
Un cylindre de révolution est un solide dont :
˜ les deux bases sont des disques de même rayon situés dans des plans parallèles,
˜ la surface latérale est courbe (c’est un rectangle qui « s’enroule » autour des bases).
base
rayon
A
B
Remarque :
Le rectangle ABCD , en tournant autour de son côté [AD]
qui reste fixe, décrit un cylindre de révolution.
hauteur
surface latérale
D
C
2) Patron d’un cylindre de révolution
base R
a) Rappels :
Le périmètre d’un cercle de rayon R est donné par la formule :
Périmètre du cercle = 2 × π × R
Le patron de la surface latérale est un rectangle
surface latérale
base
b) Aire latérale :
Aire latérale d’un cylindre de révolution = Périmètre d’une base × hauteur
Aire latérale d ' un cylindre de révolution = ( 2 × π × R ) × h = 2 π R × h
Périmètre d’un disque de base
c) Aire totale :
Aire totale = 2 × Aire disque de base + Aire latérale
3) Volume
Le volume d’un cylindre de révolution est le produit de l’aire d’une base par la hauteur :
Volume = Aire d' une base × hauteur = ( π × rayon × rayon ) × hauteur
Exemple : Volume d’un cylindre de révolution de rayon R = 3 cm et de hauteur h = 10 cm :
V = π × R 2 × h = π × 3 2 × 10 = 90 π cm 3 ≈ 282,74 cm 3
Aire de la base qui est
un disque de rayon
R = 3 cm
4
hauteur = h
L’aire d’un disque de rayon R est donnée par la formule :
Aire du disque = π × R 2 = π × R × R
2π R