Obligation convertible (Vernimmen) L`obligation convertible est une

Obligation convertible (Vernimmen) L'obligation convertible est une obligation qui donne à son
détenteur, pendant la période de conversion, la possibilité de l'échanger contre une ou plusieurs
actions de la société émettrice. C'est un produit d'une grande souplesse d'utilisation puisque le
taux d'intérêt
peut
être
fixe,
variable,
indexé,
flottant,
révisable,
etc.,
toute
condition
d'amortissement pouvant par ailleurs être envisagée. L'obligation convertible s'assimile à une
obligation classique avec une option d'achat sur des actions nouvelles de l'émetteur.
Valeur nue d'une obligation convertible (pour plus de détail voir page 559)La valeur d'une
obligation convertible s'analyse comme la somme de la valeur d'une obligation classique et de la
valeur d'une option d'achat d'actions. On appelle valeur nue d'une obligation convertible, ou
plancher actuariel, la valeur de cette obligation classique. Elle se calcule en actualisant les flux
futurs liés à l'obligation au taux du marché.
1
I - MODEL 1 PAR ARBRE
Modèle Binomial : Cox Ross Rubinstein (1979)
Soit b le cost and carry exponentiel supposé constant
b=r
b =r−q
Donne la Formule de Black et Scholes (1973)
Donne la formule de Merton (1973) : option européenne sur une action payant un
dividende continu q.
S
la valeur de l’action initiale
T


1 2

Pour une action de Cost and Carry b, la diffusion vaut : S T = S 0 EXP bT − σ T + σdWt 


2
0


∫
Pour la première période de l’arbre :
Sens de construction de l’arbre :
u S avec la probabilité p
S
d S avec la probabilité 1-p
Dans l’univers risque neutre,
 S − S0
E  dt
 S0

uS − S
dS − S
 = e bdt − 1 =
p+
(1 − p ) = (u − 1) p + (d − 1)(1 − p )

S
S

On en déduit p =
e bdt − d
u −d
2
Dans l’univers risque neutre :
S
E (ln dt
 S0
2
2

1
 ) = E  bdt − σ 2 dt + σW dt  = σ 2 dt

2



donc

σ 2 dt =  Ln


σ 2 dt =  Ln

2
2
2
2
Su
S
S 


 p +  Ln d  (1 − p ) = (ln u )2 p − (ln d ) 2 (1 − p)
S 


Su
S
S 


 p +  Ln d  (1 − p ) = (ln u )2 p − (ln d ) 2 (1 − p)
S 


en générale on choisit u =
1
d
1
u
σ 2 dt = (ln u )2 p − (ln ) 2 (1 − p) = (ln u )2 ⇒ ln u = σ dt
u=
1
= eσ
d
dt
Pour le call :
Le call est une fonction du sous jacent, donc sa probabilité de hausse et de baisse est identique
(distribution d’un fonction d’une variable aléatoire)
Sens de construction de l’arbre :
CU = Max(u S - K , 0) avec la probabilité p
C
Cd = Max(d S - K , 0) avec la probabilité 1-p
−rdt
DONC
C =e
( pCu + (1 − p)Cd ) AVEC
p =
e bdt − d
u − d
3
ARBRE A N PAS ( DT = T/N ) SOUS JACENT
SENS DE CONSTRUCTION DE L’ARBRE
U
U
N-1
N
S
S
U
N-1
D S
U
N-2
D S
N
U DS
2
…….
N-I
I
N-I-1
D S
U D S
U
N-I-1
I
DS
U
I+1
2
U S …………
US
S
UDS ………..
DS
2
D S ………..
2
UD
UD
N-1
N-1
S
S
UD
D
N-2
N-1
S
S
N
D S
DEBUT
FIN (N+1 BRANCHE)
4
ARBRE A N PAS ( DT = T/N ) CALL EUROPEEN DE STRIKE K
SENS DE CONSTRUCTION DE L’ARBRE
N
CU =MAX(UNS-K,0)
CU
CU
(
)
(
)
CU = e−rdt pCu2 + (1− p)Cud
N-1
N-2
D=MAX(U
2
N-1
D =MAX(U
DS-K,0)
N-2
2
D S-K,0)
C = e−rdt( pCu + (1− p)Cd )
Cd = e−rdt pCud + (1− p)Cd2
2
N-2
=MAX(U D
N-1
=MAX(UD
CU D
CUD
N
2
N-2
N-1
S-K,0)
S-K,0)
N
CD =MAX(D S-K,0)
FIN
DEBUT (N+1 BRANCHE)
5
ARBRE A N PAS ( DT = T/N ) CALL AMERICAIN DE STRIKE K
SENS DE CONSTRUCTION DE L’ARBRE
N
CU =MAX(UNS-K,0)
CU
CU
N-1
N-2
D=MAX(U
2
N-1
D =MAX(U
DS-K,0)
N-2
2
D S-K,0)
Cu n− j d j −i = Maxe−rdt  pCu n− j+1d j−i + (1 − p)C n− j j −i+1 , Max(u n − j d j −1S − K )


u
d


2
N-2
=MAX(U D
N-1
=MAX(UD
CU D
CUD
N
2
N-2
N-1
S-K,0)
S-K,0)
N
CD =MAX(D S-K,0)
FIN
RANG J
DEBUT (N+1
BRANCHE)
Dans notre exemple, il s’agit de remplacer à chaque nœud Le strike K par le prix forward de
l’obligation restant à vivre à ce nœud.
6
II -
MODEL 2 PAR FORMULE EXPLICITE APPROCHEE
OC = Obligation + Call sur action
Obligation = somme des flux obligataires actualisés aux taux de marché en tenant compte
éventuellement du risque de défaut.
Pr ixpleincoupon =
nbrcoupon
∑ tauxcoupon × No min al × base(t − t ) × ZC (t )(1 − Pr obaDefaut )
)× (1 − Pr obaDefaut
)
+ No min al × ZC (t
)× Pr obaDefaut
+ TauxRecovery × No min al × ZC (t
i −1
i
i
tI
i =1
nbrcoupon
nbrcoupon
nbrcoupon
nbrcoupon
Call (américain ou européen selon les circonstances) sur action par CoxRossRobinstein (CF Chap. I)
Comparaison Valorisation OC Strike 100
800
700
600
500
400
300
200
100
0
662
602
542
482
422
362
302
242
182
122
62
Stock ( S )
PRIX OC CP
PRIX OC ACTION
7
Zoom comparaison Valorisation OC
200
180
160
140
120
100
80
179
170
161
152
143
134
125
116
107
98
89
80
71
62
53
44
35
OC CP
OC BlackScholes
8
III - MODELE D’AUGROS
On envisage une entreprise qui, jusqu’à ce jour t 0 , n’était financée que par des actions ordinaires.
Soit V la capitalisation boursière de la firme, V = NS , S désignant le cours de l’action et N le
nombre d’actions ordinaires émises.
On admet que V suit un processus brownien géométrique caractérisé par son écart type
(volatilité) σ V .
En t 0 , la firme émet m obligations convertibles au prix Q, telle que l’émission des obligations laisse
inchangé le cours des actions. On suppose que le produit de l’émission est immédiatement investi
dans des actifs assimilables à ceux de la firme existants avant l’émission.
^
Soit
V la valeur totale
^
V = V + mQ = NS + mQ .
de
la
capitalisation
boursière
aussitôt
après
l’émission.
On postule que chaque obligation convertible peut être convertie en w actions et ce, à chaque
instant, pendant toute la durée τ des obligations.
Si elles ne sont pas convertis à l’échéance, les obligations sont alors remboursées par l’émetteur au
prix K par obligation, sauf s’il y a défaillance de l’entreprise. En cas de défaillance, les obligations
sont prioritaires sur la capitalisation boursière par rapport aux actions.
avant l'émission
V
NS
après l'émission
V
+Mq
NS
+Mq
^
V
9
A une date quelconque t* entre t 0 et τ
Premier cas : wS * > K (seuil de conversion atteint avant l’échéance)
Les titulaires des obligations convertibles ont intérêt à convertir leur titre. S’ils convertissent tous
ensembles, ils reçoivent aussitôt après la conversion
^
V*
S* =
N + mw
^
^
V*
K
Ils exercent donc les OC dès lors que wS * > K c’est à dire wS * = w
> K soit V * > (N + mw)
N + mw
w
^
deuxième cas : wS * < K (seuil de conversion non atteint avant l’échéance) et V * > mK
Les titulaires des obligations convertibles demandent à l’échéance le remboursement de leur
emprunt.
Il est intégralement remboursée si la capitalisation boursière de la firme est supérieur à mK, la
valeur des remboursement prévue.
^
troisième cas : wS * < K (seuil de conversion non atteint avant l’échéance) et V * < mK
Il y a défaillance de l’émetteur et les valeurs des actions sont alors nulles.
10
Grâce à black-Scholes en utilisant σ V = σ S en t0.
On a
NS = C1 −
mw
mw
C 2 et mQ = V − C1 +
C2
N + mw
N + mw
Avec
C1 = VN (d1 ) − mKe − rτ N (d 2 )
1
 V  

ln
 +  r + σ 2 τ
2
mK  


d1 =
σ τ
d 2 = d1 − σ V τ
V
C 2 = VN (d 1 ) −
N + mw − rτ
Ke N (d 2 )
w




V

 +  r + 1 σ 2 τ
ln
 N + mw  
2

K

w

d1 = 
σ τ
d 2 = d1 − σ V τ
V
Comparaison Modèles OC
180
160
140
120
100
80
PRIX OC CP
PRIX OC ACTION
155
146
137
128
119
110
101
92
83
74
65
56
47
38
29
20
11
Stock ( S )
60
Prix OC Augros
11
IV - MODELE DE ZHOU AND ALLS
Source: MPRA Paper No 7421 Zhou and Alls
Hypothèses du modèle
•
Modèle de Black-Scholes pour l’action
•
Le marché est parfait et efficient (chaque intervenant possède toutes les informations et
trouve toujours un acquéreur ou un vendeur)
•
L’effet dilution de l’action est déjà dans les cours de celle-ci.
Notations
•
CCB : Callable convertible Bond
•
BF
: Nominal de l’obligation
•
BC
: prix d’exercice de l’option
•
P1
•
Ratio de conversion =
•
τ i , Ri
•
T
•
Pv(T , C )
: la valeur présente de tous les coupons tombée jusqu’à l’échéance T
•
Fv(T , C )
: la valeur future en T de tous les coupons tombée jusqu’à l’échéance T
•
τ*
: Date d’émission des obligations convertibles
•
St
: valeur de l’action à la date t
•
B(T , C )
•
P2 = Sτ * =
: Prix de conversion
BF
P1
,
: respectivement dates de tombée de coupon et taux de coupon
: date d’échéance =
τN
: valeur de l’obligation ordinaire
Bc
P1
BF
12
Théorème



 CN 
i
 P1 , P2 
 (B F / P1 ) ABC (S 0 , T , P2 − P1 , P2 ) + (B F / P1 )UOC  S 0 , T , 1 +

BF 




CCB(S 0 , T , C ) = 
+ ABC i (S 0 , T , B F , P2 ) − ABC d (S 0 , T , B F , P2 )

+ ABC i (S 0 , T , Fv(τ * , C ), P2 ) − ABC d (S 0 , T , Fv(T , C ), P2 )

+ B (S 0 , T , C )

Avec
P2 = BC * P1 / BF
[
( MU 1+ MU 3 ) / σ é
ABC i (S 0 , T , P2 − P1 , P2 ) = (P2 − P1 )(P2 / S 0 )

 C
UOC  S 0 , T , 1 + N
BF


( MU 1− MU 3) / σ é
N (− a1) + (P2 / S 0 )
]
N (− a 2 )


 P1 , P2  =



(S N(d 1 ) - ( 1 + R) P1 Exp(-r T) N(d 1 - σ- σ T )
-(S N(d 2 ) - ( 1 + R) P1 Exp(-r T) N(d 2 - σ- σ T )
(S (P 2 / S)
-(S (P 2 / S)
( 2 MU 2 / (σ 2 )
N(-d 3 ) - ( 1 + R)P1Exp(-r T)(P 2 / S) ( 2 * MU 1 / (σ
( 2 MU 2 / (σ 2 )
N(-d 4 ) - ( 1 + R)P1Exp(-r T)(P 2 / S)
2
)
N(-d 3 + σ T ))
( 2 * MU 1 / (σ 2 )
N(-d 4 + σ T ))
2
BF ((P 2 / S) ^ ((MU 1 + MU 3 ) / (σ )) * N(-A1 )
ABC (S 0 , T , BF , P2 ) =
2
+ (P 2 / S) ^ ((MU 1 - MU 3 ) / (σ )) * N(-A2 ))
i
ABC d (S 0 , T , BF , P2 ) = BF Exp(-rT)((P 2 / S) ^ ( 2 MU 1 / (σ
2
))
* N(-A3 ) + N(-A4 ))
(P 2 / S) ^ ( 2 MU 1 / (σ )) * N(-A3 ) + N(-A4 )
ABC (S 0 , T , Fv(τ * , C ), P2 ) = ∑ RBF Exp (−rτ i )
2
i =1
− (P 2 / S) ^ ( 2 MU 1 / (σ )) * N(-A5(i ) ) + N(-A6(i ) )
2
N −1
i
ABC d (S 0 , T , Fv(T , C ), P2 ) = Pv(T, C) * ((P2 / S) ^
(2 * MU1 / (σ
2
))
* N(-A3) + N(-A4))
13
MU1 = r - sigma ^ 2 / 2
MU2 = r + sigma ^ 2 / 2
MU3 = Sqr(MU1 ^ 2 + 2 * r * sigma ^ 2)
A1 = (Log(P2 / S) + MU3 * T) / (sigma * Sqr(T))
A2 = (Log(P2 / S) - MU3 * T) / (sigma * Sqr(T))
A3 = (Log(P2 / S) + MU1 * T) / (sigma * Sqr(T))
A4 = (Log(P2 / S) - MU1 * T) / (sigma * Sqr(T))
A5(i) = (Log(P2 / S) + MU1 *
A6(i) = (Log(P2 / S) - MU1 *
τ i ) / (sigma * τ i
τ i ) / (sigma * τ i
)
)
d1 = (Log(S / ((1 + tauxfacial) * P1)) + MU2 * T) / (sigma * Sqr(T))
d2 = (Log(S / P2) + MU2 * T) / (sigma * Sqr(T))
d3 = (Log(P2 * P2 / ((1 + tauxfacial) * S * P1)) + MU2 * T) / (sigma * Sqr(T))
d4 = (Log(P2 / S) + MU2 * T) / (sigma * Sqr(T))
Comparaison Valorisation OC
350
300
250
200
150
100
50
PRIX OC ACTION
Prix OC Augros
Prix OC Zhou
317
296
275
254
233
212
191
170
149
128
107
86
65
44
23
Stock ( S )
PRIX OC CP
14
Comparaison Valorisation OC Temporelle
120
115
110
105
100
95
90
50
110
Prix OC Augros
170
230
290
350
PRIX OC ACTION
410
470
530
590
650
710
Durée Call en jour
PRIX OC CP
Prix OC Zhou
15