Mr X possède une maison rectangulaire de 12m de longueur au

2nde. DM2 - Problème d’optimisation
♣ pour le 15-10-12
Mr X possède une maison rectangulaire de 12 m de longueur au bord d’une rivière et souhaite créer devant celle-ci un
jardin rectangulaire qu’il entourera avec la totalité d’un rouleau de 60 m de grillage .
Bien évidemment, aucun grillage ne sera nécessaire ni le long de la maison de Mr X ni le long de la rivière : il suivra le
trajet ABCD représenté sur la figure.
Mr X se pose une question :
« Quelles doivent-être les dimensions de son jardin pour qu’il ait la plus grande aire possible et quelle sera cette aire ? ».
Première partie
1. On suppose, dans cette question, que AB = 10 m.
Calculer alors les longueurs CD puis BC, puis vérifier qu’alors l’aire du jardin est égale à 616 m2 .
2. On désigne par x la longueur AB en mètres.
a. Exprimer, en fonction de x, la longueur CD.
b. Exprimer, en fonction de x, la longueur BC.
c. Justifier que x prend ses valeurs dans l’intervalle [0 ; 24].
d. On désigne par f (x) l’aire, en m2 , du jardin. Exprimer f (x) en fonction de x
et vérifier que f (x) peut s’écrire sous la forme : f (x) = −2x 2 + 24x + 576
Deuxième partie
3. À l’aide de votre calculatrice, compléter le tableau de valeurs de la fonction f ci-dessous :
x
0
f (x)
576
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
4. Tracer la courbe représentative C f de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 24].
unités choisies : en abscisses 1cm pour 2m ; en ordonnées 1cm pour 32m2 .
5. À l’aide de la courbe précédente, conjecturer la valeur de x, pour laquelle le jardin de Mr X aura la plus grande aire.
Troisième partie
6.
a. Montrer que, pour tout réel x ∈ [0 ; 24], on a : f (6) − f (x) = 2 (x − 6)2 .
b. Comparer alors, pour tout réel x ∈ [0 ; 24], f (x) et f (6).
c. Répondre alors à la question de Mr X.