Références - Maison de la Simulation

Offre de stage Master 2 Mathématiques Appliquées
Mars 2012 - Septembre 2012
Etude d’estimateurs a posteriori espace/temps pour les méthodes de type éléments finis.
Contact : Emmanuel Creusé, [email protected]
Descriptif : On s’intéresse dans ce travail à la modélisation des champs électromagnétiques s’instaurant dans les conducteurs (the "eddy current model"). En effectuant l’hypothèse quasi-statique, on
aboutit, après une semi-discrétisation temporelle, à une équation de type elliptique dont l’inconnue peut
être le champ électrique à un instant donné, ou le potentiel scalaire et/ou vectoriel. Cette équation est
alors résolue par une méthode de type éléments finis. Durant ce stage de Master 2, l’étudiant travaillera
sur les points suivants :
1. Tout d’abord, la compréhension de la méthode des éléments finis P1-conformes multi-D, ainsi que
son analyse a posteriori résiduelle pour le cas de l’équation de Laplace [1]. Ce premier point permettra de découvrir et de se familiariser avec certains outils usuellement utilisés dans le domaine.
2. Deuxièmement, la façon dont ces estimateurs peuvent se généraliser au cas de l’espace/temps, dans
le cadre d’une application à l’équation de la chaleur [5, 2], et l’étude d’estimateurs de reconstruction plus récents pour l’équation de la chaleur [3]. Certains de ces estimateurs auront alors à être
implémentés dans un code de calcul du MATLAB du L2EP, afin de tester leur pertinence sur des
cas réels.
Et, en fonction du temps restant et de la vitesse d’avancement :
3. Troisièmement, l’utilisation de la méthode des éléments finis pour l’approximation des champs
électromagnétiques intervenant comme inconnues dans les équations de Maxwell, faisant intervenir
les éléments finis d’arêtes ou de facettes pour l’approximation des espaces fonctionnels ad-hoc [4].
4. Quatrièmement, une étude bibliographique sur les estimateurs disponibles en formulation spatiotemporelle pour les équations de l’électromagnétismes utilisées par EDF R&D, ou pour des équations
proches.
5. Finalement, le développement d’estimateurs d’erreur a posteriori avec comme objectif un remaillage
en espace/temps pour la résolution des équations de Maxell utilisées par le L2EP et EDF R&D.
Aspects pratiques : Le stage sera indemnisé par EDF. Il se déroulera dans les locaux du L2EP à
Villeneuve d’Ascq, avec une semaine à Clamart chez EDF R&D. Il donnera lieu à la réalisation d’un
mémoire rendant compte du travail effectué. Ce stage est susceptible de pouvoir déboucher sur une thèse
avec collaboration industrielle EDF/L2EP, dans la même thématique de recherche.
Références
[1] Mark Ainsworth and J. Tinsley Oden. A posteriori error estimation in finite element analysis. Pure
and Applied Mathematics (New York). Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], New York, 2000.
[2] Stefano Berrone. Robust a posteriori error estimates for finite element discretizations of the heat
equation with discontinuous coefficients. M2AN Math. Model. Numer. Anal., 40(6) :991–1021 (2007),
2006.
[3] Alexandre Ern and Martin Vohralík. A posteriori error estimation based on potential and flux reconstruction for the heat equation. SIAM J. Numer. Anal., 48(1) :198–223, 2010.
[4] Peter Monk. Finite element methods for Maxwell’s equations. Numerical Mathematics and Scientific
Computation. Oxford University Press, New York, 2003.
[5] R. Verfürth. A posteriori error estimates for finite element discretizations of the heat equation. Calcolo,
40(3) :195–212, 2003.