Plus courts chemins : Algorithme A*

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Algorithmique Avancée
Année 2005-2006
Plus courts chemins : Algorithme A*
Safia Kedad-Sidhoum
[email protected]
Algorithmique AvancéeAnnée 2005-2006 – p. 1/19
Chemins de coût minimum
Plus court chemin à origine unique
Plus court chemin à destination unique
Plus court chemin pour un couple de sommets donné
Plus court chemin pour un couple de sommets donné
Plus court chemin pour tout couple de sommets
Soit G = (S, A) un graphe orienté avec
|S| = n (n est le nombre de sommets),
|A| = m (m est le nombre d’arcs).
Chaque arc (x, y) est valué par réel positif ou nul c(x, y)
appelé coût de l’arc (x, y).
Chaque arc (x, y) est valué par réel positif ou nul c(x, y)
appelé coût de l’arc (x, y).
Coût d’un chemin µ = (x1 , x2 , · · · , xq ) noté c(µ) est défini
par:
q−1
X
c(xi , xi+1 )
i=1
Un sommet source s étant fixé, on note:
C(x) l’ensemble des chemins de s à x dans G ;
E(x) l’ensemble des chemins élémentaires de s à x
dans G.
Un sommet source s étant fixé, on note:
C(x) l’ensemble des chemins de s à x dans G ;
E(x) l’ensemble des chemins élémentaires de s à x
dans G.
On pose :
λx = inf {c(µ) | µ ∈ C(x)}
Problème
• λx est-il défini ?
Problème
• Si λx est défini, est-il fini ?
Problème
• Si λx est fini, existe-t-il un chemin γ(x) tel que
c(γ(x)) = λx ?
γ(x) est alors un chemin de coût minimum de s à x dans G
Problème
• Si λx est fini, existe-t-il un chemin γ(x) tel que
c(γ(x)) = λx ?
γ(x) est alors un chemin de coût minimum de s à x dans G
• Comment calculer γ(x) associés aux sommets x pour
lesquels un tel chemin existe ?
Existence des chemins de coût
minimum
De tout chemin on peut extraire un chemin élémentaire
(Lemme de Koenig).
minimum
(Lemme de Koenig).
Si µ0 ∈ E(x) est extrait de µ ∈ C(x) alors c(µ0 ) ≤ c(µ)
(Non-négativité des coûts).
minimum
(Lemme de Koenig).
Si µ0 ∈ E(x) est extrait de µ ∈ C(x) alors c(µ0 ) ≤ c(µ)
(Non-négativité des coûts).
λx est défini si et seulement si E(x) 6= ∅
Si E(x) 6= ∅, alors λx = min {c(µ) | µ ∈ E(x)} et il existe au
moins un chemin de coût λx .
Algorithme de Dijkstra
Les valeurs λx pour les sommets x tels que E(x) 6= ∅ sont
calculées successivement lors des étapes d’un parcours
de G à partir du sommet s.
Les valeurs λx pour les sommets x tels que E(x) 6= ∅ sont
calculées successivement lors des étapes d’un parcours
de G à partir du sommet s.
Parcours interrompu dès que l’on rencontre le premier
point de régénération distinct de s.
Règle de choix du sommet si pour i ≥ 2.
Propriétés de l’Algorithme de Dijkstra
On associe à tout sommet de B({s1 , · · · , si−1 } , G) une
valeur ei−1 (y) appelée évaluation de y au début de l’étape
i.
ei−1 (y) =
min
x∈{s1 ,··· ,si−1 }∩PG (y)
λx + c(x, y)
avec PG (y) ensemble des prédécesseurs du sommet y
dans G.
Règle de choix du sommet si pour i ≥ 2 :
Sommet d’évaluation minimale si ∈ B({s1 , · · · , si−1 } , G) tel
que :
∀y ∈ B({s1 , · · · , si−1 } , G) ei−1 (si ) ≤ ei−1 (y)
que :
∀y ∈ B({s1 , · · · , si−1 } , G) ei−1 (si ) ≤ ei−1 (y)
Théorème 2. Si le sommet si est choisi à l’étape i, alors
λsi = ei−1 (si ).
(l’évaluation correspond au coût minimum d’un chemin de s à si )
que :
∀y ∈ B({s1 , · · · , si−1 } , G) ei−1 (si ) ≤ ei−1 (y)
Théorème 3. Si le sommet si est choisi à l’étape i, alors
λsi = ei−1 (si ).
(l’évaluation correspond au coût minimum d’un chemin de s à si )
Propriété 3. Soit L = (s1 , · · · , sp ) un parcours de l’algorithme de
Dijkstra, on a λs1 ≤ λs2 · · · ≤ λsp . (Preuve)
procédure Dijkstra(G : Graphe, s : sommet)
Init(G, s)
Répéter n − 1 fois
Choisir un sommet ouvert x d’évaluation ∆(x) minimale
Examiner(x)
FinRépéter
Algorithme de Dijkstra - suite
procédure Examiner(x : Sommet)
Pour tout successeur y de x faire
Si ∆(x) + c(x, y) < ∆(y) alors
Ajuster − Arborescence(x, y)
Ouvrir(y)
Finsi
Finpour
F ermer(x)
procédure Ajuster-Arborescence(x, y : Sommet)
∆(y) ← ∆(x) + c(x, y)
p(y) ← x
Chaque sommet peut être dans trois états : libre, ouvert ou
fermé.
∆ : S → IR ∪ {+∞} est une fonction d’évaluation.
p : S → S est une fonction de précédence.
fermé.
La procédure Init(G, s) « ouvre » le sommet s, « libère »
tous les autres sommets de G et initialise ∆(s) à zéro et
∆(x) à +∞ pour tout sommet x de G différent de s.
fermé.
La procédure Init(G, s) « ouvre » le sommet s, « libère »
tous les autres sommets de G et initialise ∆(s) à zéro et
∆(x) à +∞ pour tout sommet x de G différent de s.
Un sommet est ouvert chaque fois que son évaluation
décroît. Il est fermé à l’issue de chaque exécution de la
procédure Examiner. Un sommet reste libre tant qu’il n’a
pas été évalué.
Exemple - Algorithme de Dijkstra
1
10
2
s
3
9
5
4
6
7
2
1
10
2
s
3
9
0
5
4
6
7
2
1
10
10
2
s
3
9
0
4
6
7
5
5
2
1
14
8
10
2
s
3
9
0
5
4
6
7
77
5
2
1
8
13
10
2
s
3
9
0
4
6
7
5
77
5
2
1
8
8
9
10
3
2
s
9
0
5
4
6
7
77
5
2
Arborescence des plus courts chemins
1
8
8
9
10
3
2
s
9
0
4
6
7
5
77
5
2
Principe de l’algorithme A*
A* : Variante de l’algorithme de Dijkstra.
Calcul d’un chemin de coût minimum entre un sommet
origine s et un sommet destination p.
Fonction d’évaluation par défaut h(x) du coût minimum
d’un chemin entre x et p.
Utile pour les graphes de grande dimension.
Utile pour les graphes de grande dimension.
Associer à chaque sommet x une approximation f (x) qui
tient compte de h(x) et examiner en priorité un sommet
ouvert d’approximation minimale.
Algorithme A*
procédure A*(G : Graphe, s : sommet)
Init(G, s)
f (s) ← h(s)
x←s
TantQue x 6= p faire
Examiner ∗ (x)
Choisir un sommet ouvert x d’approximation f (x) minimale
FinTantQue
Algorithme A* - suite
procédure Examiner*(x : Sommet)
Pour tout successeur y de x faire
Si ∆(x) + c(x, y) < ∆(y) alors
Ajuster − Arborescence(x, y)
Ouvrir(y)
f (y) ← ∆(y) + h(y)
Finsi
Finpour
F ermer(x)
procédure Ajuster-Arborescence(x, y : Sommet)
∆(y) ← ∆(x) + c(x, y)
p(y) ← x
Exemple - Algorithme A*
6
2
0
4
1
6
2
3
3
5
5
6
76
1
3
5
4
4
1
0
0
5
0
Sommet examiné : 1
66
2
0
4
1
1
6
2
3
5
4
4
76
1
35
3
5
5 10
6
0
0
5
0
Sommet examiné : 3
66
2
0
4
1
1
6
2
3
5
4
47
76
1
35
3
5
5 10
6
0
0
5
0
Sommet examiné : 2
66
2
0
4
1
1
6
2
3
5
4
47
76
1
354
3
5
5 10
6
0
0
5
0
Sommet examiné : 3
66
2
0
4
1
1
6
2
3
5
4
476
76
1
354
3
5
5 10
6
0
0
5
0
Sommet examiné : 6
66
2
0
4
1
1
6
2
3
5
4
476
76
1
354
3
5
5 10
6
08
0
5
0
Sommet examiné : 7
66
2
0
4
1
1
6
2
3
5
4
476
76
1
354
3
5
5 10
6
08
0
5
0
Complexité de l’Algorithme A*
Structures de données adéquates pour rechercher le
sommet d’approximation minimale.
Utilisation d’un Tas T pour gérer l’évolution de B(V, G).
V étant l’ensemble des sommets visités
La priorité d’un élément y du tas T est l’approximation
courante du sommet y.
La priorité d’un élément y du tas T est l’approximation
courante du sommet y.
Si les additions et comparaisons portant sur les coûts sont
de complexité O(1), la complexité de la procédure A∗ (G, s)
est O(n + mlogn).
Algorithme PAPS
Coûts : Nombre réels quelconques.
Examen du sommet ouvert "le plus ancien".
Utilisation d’une file pour la gestion des sommets
ouverts.
Algorithme.
Exemple.
Complexité.

Plus courts chemins : Algorithme A*

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