Polynômes et second degré - La taverne de l`Irlandais.

Décombres d'une première S – Polynômes et second degré - Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l'Irlandais(www.tanopah.com)
A propos des polynômes et de leurs racines
Définition d'un polynôme
On appelle polynôme ou fonction polynomiale toute fonction P définie sur pouvant
s'écrire sous la forme :
Pour tout réel x, P ( x ) = a n × x n + a n −1 × x n −1 + … + a 2 × x 2 + a1 × x + a 0
Et on poursuit la manoeuvre avec le terme −7.x .
P ( x ) = 2.x × ( x − 3) −
7.x + 21 = 2.x × ( x − 3) +
Combien de
fois x −3 ?
−7 ) × ( x − 3) − 21
(
+ 21
=−7.x
On compense +21 par − 21
= 2.x × ( x − 3) + ( −7 ) × ( x − 3) =
Facteur...
Page 1 sur 2
...commun
x − 3) × ( 2.x − 7 )
(
P est bien factorisable par x −3
Une somme de puissances de x
où a 0 ;a1 ;a 2 ;… ;a n −1 et a n sont des réels fixés. Ce sont les coefficients du polynôme P.
Par exemple :
P ( x ) = 2.x − x + 5.x + 7 est un polynôme de degré 3. Plus haute puissance : 3.
3
2
Les fonctions affines f ( x ) =
a.x
+b
sont des polynômes de degré 1.
Avec a non nul
Les fonctions constantes f ( x ) = b sont des polynômes de degré 0 si b ≠ 0 .
Mais on dit que la fonction nulle f ( x ) = 0 est un polynôme de degré −∞ .
Définition de la racine d'un polynôme
Dire que le réel α est une racine du polynôme P signifie que α annule le polynôme P
Autrement dit, P( α ) = 0
La factorisation des polynômes du second degré f(x) = a.x² + b.x + c
Lorsque sa factorisation est possible, un polynôme du second degré f ( x ) = a.x 2 + b.x + c
s'écrit comme un produit de deux facteurs affines. Cette factorisation permet la résolution
de l'équation du second degré a.x 2 + b.x + c = 0 ou la connaissance du signe de f ( x ) .
Dans ce paragraphe, nous allons voir comment et dans quelle mesure il est possible de
factoriser une forme du second degré quelconque f ( x ) = a.x 2 + b.x + c .
Entamons les hostilités !
b
c

f ( x ) = a.x 2 + b.x + c = a ×  x 2 + .x + 
a
a

On commence par factoriser
par le coefficient dominant a qui est non nul !
2
Par exemple, 3 est une racine du polynôme du second degré P ( x ) = 2.x − 13.x + 21 .
2
En effet : P ( 3) = 2 × ( 3) − 13 × 3 + 21 = 2 × 9 − 39 + 21 = 18 − 39 + 21 = 0
2
Théorème admis
Dire que α est une racine du polynôme P équivaut à dire que P est factorisable par le
facteur affine x − α .
Ainsi comme notre polynôme P ( x ) = 2.x 2 − 13.x + 21 a pour racine 3, alors il est
factorisable par le facteur x − 3 . Voyons comment il est possible de factoriser P par x − 3 .
2.x 2 au total 2
P ( x ) = 2.x − 13.x + 21 = 2.x × ( x − 3) + 6.x − 13.x + 21 = 2.x × ( x − 3) − 7.x + 21
Par combien faut-il multiplier
2
x − 3 pour obtenir 2.x ?
Réponse : par 2.x
Sauf que : 2.x × ( x − 3) = 2.x 2 − 6.x
Pour compenser l'apparition du −6.x ,
on rajoute +6.x .
2
b
b 
b

 b 
= x2 + 2 ×
x 2 + .x est le début de l'identité remarquable :  x +
×x +
 .

2.a 
a
2 .a

 2.a 
En fait, pour tout réel x, nous avons :
2
2
2
b
b   b 
b 
b2


−
=
+
−
x 2 + .x =  x +
x

a
2.a   2.a 
2.a 


4.a 2
Injectons cette égalité dans f ( x ) . Il vient :
 
2
c
 b 
b2
c

2 b

f ( x ) = a ×  x + .x +  = a ×  x +
−
+

a
a 
2.a 
4.a 2 a 



2
2


b 
b2
4.a.c 
b   b2
4.a.c  


= a ×  x +
−
+
=
a
×
x
+
−
−



2.a 
2.a   4.a 2 4.a 2  


4.a 2 4.a 2 

2
2


b 
b 
b 2 − 4.a.c 
∆ 
 = a ×  x +

= a ×  x +
−
−


2.a 
2.a 


4.a 2 
4.a 2 
En posant ∆= b 2 − 4.a.c
Nous allons devoir envisager trois cas suivant le signe de ce réel ∆.
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Quelques termes importants avant de poursuivre notre action...
Les conséquences de cette factorisation : ce qu'il faut retenir...
Le réel ∆ = b 2 − 4.a.c est le discriminant de la forme du second degré f.
Le discriminant du polynôme du second degré f ( x ) = a.x 2 + b.x + c est défini par :
2


b 
 est appelée forme canonique de f
L'écriture f ( x ) = a ×  x +
+
Un
réel
2.a 


Si le discriminant ∆ est strictement positif alors ∆ est un carré : celui de
2

∆ 
b 

−
∆ est le carré de sa racine ∆
f ( x ) = a ×  x +

2.a 

4.a 2 
∆ = b 2 − 4.a.c
L'équation a.x 2 + b.x + c = 0 a deux solutions distinctes :
−b − ∆
−b + ∆
x2 =
2.a
2.a
Le polynôme f est factorisable et a deux racines distinctes : x1 et x 2 .
x1 =
∆.
2

2

2
2
∆ 
b 
b   ∆ 



= a ×  x +
−
 = a ×  x + 2.a  −  2.a  
2.a 

 
 
( 2.a )2 




( )
Si ∆ est
strictement
positif alors...
Différence de deux carrés...

b   ∆   
b   ∆ 
= a ×  x +
+
×  x +
−




2.a   2.a   
2.a   2.a  

La racine x1
est supposée
inférieure à x 2

b+ ∆  
b− ∆ 
= a×x +
 ×  x +


2.a  
2.a 

Forme factorisée de f ( x )...
2
Si ∆ est un réel strictement négatif alors les choses vont s'arrêter rapidement !
∆
négatif
−∆
=
est alors négatif. Donc son opposé
est positif.
Le quotient
2
positif
4.a
4.a 2
a
Quantité
non
nulle
×
−∞
x1
+∞
x2
a
Signe
de a
Signe
de a
Signe
de a
x − x1
–
+
+
x − x2
–
–
f (x)
Signe
de a
Signe
0 contraire
0
de a
0
0
+
Signe
de a
b
2.a
Le polynôme f ( x ) est factorisable et a pour unique racine x1 .
b 

a × x +

2.a


Forme factorisée de f(x).
Car un carré est un produit...
Pour tout réel x, le produit f ( x ) =
x
L'équation a.x 2 + b.x + c = 0 a une unique solution : x1 = −
Si ∆ = 0 alors l'écriture f ( x ) se simplifie grandement !
2
2



b 
0 
b 


−
=
×
+
− 0 =
f ( x ) = a ×  x +
a
x



2
2.a 
2.a 



4.a 

b+ ∆  
b− ∆ 
f (x) = a × x +
 ×  x +
 = a × ( x − x1 ) × ( x − x 2 )

2.a  
2.a 

Le tableau de signe de la forme du second degré f ( x ) est :
2

−∆ 
b 
 x +

+

2.a 

4.a 2 
2
b 

2
= a × ( x − x1 )
f (x) = a × x +

2.a 

Si ∆ est nul
alors...
x
est non nul.
Facteur strictement positif
car somme de deux termes positifs
dont l'un l'est strictement.
Donc le polynôme du second degré f n'a pas de racine puisqu'il ne s'annule jamais !
Par conséquent, f n'est pas factorisable car sinon on pourrait en extraire un facteur
affine. Et ce n'est pas le cas...car il n'a pas de racine.
Le tableau de signe de la forme du second degré f ( x ) est :
Si ∆ est
strictement
négatif alors...
−∞
+∞
x1
a
Signe de a
( x − x1 )2
f (x)
+
0
+
Signe de a
0
Signe de a
Signe de a
L'équation a.x 2 + b.x + c = 0 n'a pas de solution.
Le polynôme f ( x ) = a.x 2 + b.x + c n'est pas factorisable
f ( x ) est toujours du signe de son coefficient dominant a.