Exercices sur les vecteurs corrigé
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Exercices sur les vecteurs corrigé
Date : _______________ Nom : _____________________________________________________ Groupe : _____________ Résultat : ________ / 40 Exercices sur les vecteurs Module 3 : Des phénomènes mécaniques Objectif terminal 1 : Le mouvement 1. Détermine les composantes des vecteurs suivants. ________ / 8 a) b) Réponse : ________________________ 2. Réponse : ________________________ Détermine la norme et l’orientation des vecteurs suivants. ________ / 8 r a) v = (− 2, 3) Réponse : ________________________ r b) w = (4, − 5) Réponse : ________________________ 3. Une petite embarcation, dont le moteur génère une vitesse de 40 km/h, traverse de la rive sud à la rive nord d’une rivière coulant vers l’est avec un courant de 15 km/h. L’embarcation se dirige avec un angle de 50° par rapport au rivage d’une rivière vers un quai situé légèrement à l’est de son point de départ. Quelle est la vitesse réelle de l’embarcation sachant qu’elle correspond à l’addition vectorielle de la vitesse du bateau avec celle du courant? ________ / 4 Réponse : ________________________ 4. Quelle est la somme des vecteurs suivants? ________ / 4 r v = (− 2, − 4 ) et r w = (1, 6 ) Réponse : ________________________ 5. Quel est le déplacement résultant d’un marcheur qui fait un trajet de 2,5 km vers le nordest, puis 5,1 km vers l’ouest et, finalement, 7,3 km à 40° sud-ouest? ________ / 4 Réponse : ________________________ Exercices sur les vecteurs 1 6. r r Quelles sont la norme et l’orientation du vecteur 2a , si a = (2, − 3 ) ? ________ / 4 Réponse : ________________________ 7. Julie essaie de faire avancer son chien contre sa volonté. Pour ce faire, elle tire avec une force de 10 N sur la laisse du chien, qui possède une orientation de 35° par rapport au sol. De combien de newton dispose-t-elle pour faire avancer son chien, si la force efficace pour le déplacement du chien est la composante horizontale de la force dans la laisse? ________ / 4 Réponse : ________________________ 8. Suite aux efforts de Julie, qui tire sur la laisse de son chien avec une force de 10 N et une orientation de 35° par rapport au sol, le chien subit un déplacement de 3 m. Quelle énergie a été dépensée par Julie sachant qu’il s’agit du produit scalaire du vecteur force avec le vecteur déplacement? (Note : 1 J = 1 N·m) ________ / 4 Réponse : ________________________ Exercices sur les vecteurs 2 Corrigé Exercices sur les vecteurs Module 3 : Des phénomènes mécaniques Objectif terminal 1 : Le mouvement 1. a) (2,75 cm, 2,56 cm) ∆x = vecteur cos θ ∆x = 3,76 cm × cos (43°) ∆x = 2,75 cm ∆y = vecteur sin θ ∆y = 3,76 cm × sin(43° ) ∆y = 2,56 cm b) (-2,62 cm, -3,33 cm) θ = 180° + 51,8° θ = 231,8° ∆x = vecteur cos θ ∆x = 4,24 cm × cos(231,8°) ∆x = −2,62 cm ∆y = vecteur sin θ ∆y = 4,24 cm × sin(231,8° ) ∆y = −3,33 cm 2. a) 3,6 et 123,7° Norme r v = v x2 + v y2 r v = ( − 2 )2 + 3 2 r v = 3, 6 Orientation θ = tan −1 vy vx 3 θ = tan −1 −2 θ = −56 ,3° Le vecteur est dans 2e quadrant, car vx est négatif et vy positif. Exercices sur les vecteurs (Corrigé) 1 Il faut donc additionner 180° à θ. 180° + (-56,3°) = 123,7° b) 6,4 et 308,7° Norme r w = w 2x + w 2y r w = 4 2 + (− 5)2 r w = 6, 4 Orientation θ = tan −1 wy wx −5 θ = tan −1 4 θ = −51,3° Le vecteur est dans 4e quadrant, car wx est positif et wy négatif. Il faut donc additionner 360° à θ. 360° + (-51,3°) = 308,7° 3. 51 km/h à 37° Recherche de l’angle entre le vecteur vitesse du courant et le vecteur vitesse de l’embarcation φ = 180° − 50° = 130° Recherche de la norme du vecteur résultant r v r2 = v c 2 r + ve 2 r r − 2 v c ⋅ v e cos φ v r2 = (15 km/h )2 + ( 40 km/h )2 − 2 × 15 km/h × 40 km/h × cos 130° v r2 = 2596,3 km2 / h 2 v r = 50 ,95 km/h Exercices sur les vecteurs (Corrigé) 2 Recherche de l’orientation du vecteur résultant sin θ sin φ r = r ve vr sin θ sin130 ° = 40 km/h 50,95 km/h sin θ = 0 ,601 θ = 36,97° 4. (-1, 2) ( ( ) r v = v x , v y = ( − 2, − 4 ) r w = w x , w y = (1, 6 ) ) ( r r v + w = v x + w x , v y + wy r r v + w = (− 2 + 1, − 4 + 6 ) r r v + w = (− 1, 2 ) 5. ) 9,4 km à 198,1° Conversion des coordonnées géographiques 2,5 km NE = 2,5 km à 45° 5,1 km O = 5,1 km à 180° 7 ,3 km 40° SO = 7 ,3 km à 220° Recherche des composantes du vecteur résultant (déplacement) Vecteurs 1 2 3 Angle (par rapport à l'horizontale) 2,5 km 45° 5,1 km 180° 7,3 km 220° Somme des composantes: Norme ∆x ∆y 1,77 km -5,10 km -5,59 km -8,92 km 1,77 km 0,00 km -4,69 km -2,92 km Recherche de la norme du vecteur déplacement r ∆s = ( ∆x r , ∆y r ) = ( − 8 ,92 km, − 2,92 km ) r ∆s = ∆x r2 + ∆y r2 r ∆s = ( − 8,92 km)2 + ( − 2,92 km)2 r ∆s = 9,4 km Recherche de l’orientation du déplacement θ = tan −1 θ = tan −1 ∆y r ∆x r − 2,92 km − 8 ,92 km θ = 18 ,1° Exercices sur les vecteurs (Corrigé) 3 Le vecteur déplacement est dans le 3e quadrant, car ses deux composantes sont négatives, il faut donc ajouter 180° à l’angle obtenu. 180° + 18,1° = 198,1° 6. 7,2 à 303,7° Recherche des composantes du vecteur r r b = 2 a = 2 ( 2, − 3 ) = (2 × 2, 2 × −3 ) = ( 4 , − 6 ) Recherche de la norme et de l’orientation du vecteur Norme : r b = b 2x + b y2 r b = 4 2 + (− 6 )2 r b = 7 ,2 Orientation : θ = tan −1 by bx −6 θ = tan −1 4 θ = −56 ,3° Le vecteur est dans 4e quadrant, car bx est positif et by négatif. Il faut donc additionner 360° à θ. 360° + (-56,3°) = 303,7° 7. 8,19 N r F = 10 N à 35° r Fx = F cos θ Fx = 10 N × cos35° Fx = 8 ,19 N 8. 24,6 J r ∆ x = 3 m à 0° r F = 10 N à 35° r r r r E = F ⋅ ∆x = F × ∆x cos θ E = 10 N × 3 m × cos 35° E = 24 ,6 J Exercices sur les vecteurs (Corrigé) 4