Page 1 Once upon a time, there were three gentlemen who had

Once upon a time, there were three gentlemen who had agreed to a three way duel subject to the following rules. They drew lots to determine who shot first, who shot second, and who shot third, and then this same shooting sequence would repeat until there was only one man left standing. Needless to say, a dead man would lose his turns in the shooting sequence. Gentleman H is a crack shot, with a 100% record of fatal shots on target. Gentleman E is a moderate shot, with an 80% record of fatal shots on target. Gentleman F is the weakest shot, with only a 50% record of fatal shots on target. These were three very clever gentlemen who were each able to work out his best strategy, and would adopt this best strategy in the duel. Our problem is to determine which of the three gentlemen had the best chance of survival. 1) Probabilités de survie dans le cas d’un duel (… à deux !) Désignons par « duel AB », un duel où A et B tirent alternativement (et où A commence). Soient « a » et « b » les probabilités respectives de faire mouche. Chaque fois que c’est au tour de A de tirer, les 3 cas suivants peuvent se produire : 
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Cas n°1 : A tire et fait mouche  A reste vivant Cas n°2 : A tire et rate, puis B tire et fait mouche  B reste vivant Cas n°3 : A tire et rate, puis B tire et rate  on se retrouve à la case départ Le cas n°1 a une probabilité « a » Le cas n°2 a une probabilité « (1‐a) b » Le cas n°3 a une probabilité « (1‐a) (1‐b) » Le cas n°3 donne naissance aux 3 mêmes cas au second tour, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’un des 2 tireurs fasse mouche. En posant d = (1‐a) (1‐b), la probabilité de survie de A lors d’un duel AB est donc : a + d a + d² a + d³ a + … = a / (1‐d) De même la probabilité de survie de B est : (1‐a) b + d (1‐a) b + d² (1‐a) b + d³ (1‐a) b + … = (1‐a) b / (1‐d) En considérant les duels possibles entre F, E, G et en tenant compte de l’habilité des tireurs, on obtient la table suivante : Duel FE Duel FH Duel EF Duel EH Duel HF Duel HE … de F 0.55555 0.5 0.11111 0 Probabilité de survie … … de E 0.44444 0.88888 0.8 0 … de H 0.5 0.2 1 1 Page 1 2) Stratégie des tireurs lorsque tous trois sont encore en lice Chacun des tireurs doit choisir sa stratégie de manière à aboutir à un duel (… à deux !) qui lui soit le moins défavorable possible. Tireur F L’observation de la table ci‐dessus montre que F doit éviter les duels où il n’a pas la main (càd les duels EF et HF). Donc, il doit absolument éviter de toucher l’un de ses adversaires … Pour cela, la stratégie de F consiste à tirer en l’air (tant que E et H sont encore en lice)! Tireur H Comme H fait mouche à tous les coups, il va automatiquement se retrouver avec un duel FH ou EH. Au vu de la table ci‐dessus, H veillera à éviter le duel EH. La stratégie de H consiste donc à viser E (qui sera touché). Tireur E Sachant que A tire en l’air et que H tirera d’office sur E (avec un taux de réussite de 100%), la stratégie de E consiste à viser H (en espérant le toucher sinon E est ‘condamné). 3) Les différents scénarios suivant l’ordre tiré au sort (en tenant compte des stratégies de chacun) 
Si l’ordre de départ est HEF ou HFE, le scénario est le suivant : H tire sur E et fait mouche … puis duel FH. Donc, la probabilité de survie de E est nulle, celle de F : 0.5 et celle de H : 0.5 
Si l’ordre de départ est FHE, F tirera en l’air et on se retrouve au cas HEF. Donc , la probabilité de survie de E est nulle, celle de F : 0.5 et celle de H : 0.5 
Si l’ordre de départ est EHF ou EFH, E visera H et : o Avec une probabilité de 80%, H est touché  duel FE (issue : 0.55555 / 0.44444) o Avec une probabilité de 20%, H n’est pas touché et on retrouve le cas HFE ou FHE Donc, la probabilité de survie de E est de : 0.8 x 0.44444 + 0.2 x 0 = 0.35555 Donc, la probabilité de survie de F est de : 0.8 x 0.55555 + 0.2 x 0.5 = 0.54444 Donc, la probabilité de survie de H est de : 0.8 x 0 + 0.2 + 0.2 x 0.5 = 0.1 
Si l’ordre de départ est FEH, F tirera en l’air et on se retrouve au cas EHF … avec les mêmes statistiques de survie. 4) Résultat global Les 6 ordres de départ possibles étant équiprobables, il y a lieu de faire la moyenne des probabilités de survie obtenues. Donc … 
La probabilité ‘globale’ de survie de E est de 17.777 % 
La probabilité ‘globale’ de survie de F est de 52.222 % 
La probabilité ‘ globale’ de survie de H est de 30% Donc, le tireur F a la plus grande chance de s’en tirer ! Page 2