Exercices de soutien

Exercices de soutien
Exercice 1
Résoudre dans x les équations suivantes :
1. 3 x² +2 x −5=0
2. x² − x −1=0
3. x² +2 x +7=0
4. (3 x +5 ) ²=( x +1 ) ²
5. ( 2 x −1 ) ²− x ( 2 x −1)=4 x² −1
Exercice 2
Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes :
1. −2 x² +7 x −5⩽0
2. ( 4 x² −x −3 )( x² +2 x −3 )⩽0
3. ( x² +2 x +1 )<25
( x² −3 x +2 )
>0
4.
( x² −3 x −10)
Exercice 3
On donne le trinôme P défini par :
P ( x )=4 x² −( √ 6+4 √ 3 ) x + √ 18
√ 6 pour racine
1. Montrer que P admet
4
2. Trouver l'autre racine.
Exercice 4
Résoudre les équations suivantes suivantes :
2 x −5 x −1
x² − x +1
=
=2 x +3
et
x −1
x +1
x +2
Exercices de recherche
Exercice 5
Soit f la fonction définie par f(x)=-3x²+2x+1 sur ℝ
On note C la courbe représentative de f dans un repère ( O , ⃗i , ⃗j ) .
1. Préciser la nature de la courbe C et les coordonnées de son sommet.
2. Montrer que C coupe l'axe des abscisses en deux point A et B dont on
précisera les coordonnées.
3. Pour quelles valeurs de x la courbe C est-elle située au dessus de l'axe des
abscisses ?
Exercice 6
1. Peut on trouver trois carrées ayant pour côtés des entiers consécutifs et dont la
somme des aires est 15125 ? Si oui préciser les valeurs que doivent avoir les
côtés.
2. Même question pour 15127.
Exercice 7
On dispose d'un baguette de bois de 10 cm de long.
1. Où briser la baguette pour que les morceaux obtenus soient deux côtés
consécutifs d'un rectangle de surface 20 cm² ?
2. Même question ; où briser la baguette pour avoir un rectangle de 40 cm² ?
3. Avec cette baguette quelle est la surface maximale que l'on peut avoir pour le
rectangle ?
Exercice 8
Des fourmis se déplacent, en ligne droite, à la queue leu leu, à vitesse constante, en
formant une colonne de 50 cm de long.
La dernière fourmi du groupe décide d'aller ravitailler la fourmi chef et pour cela,
rejoint la tête de la colonne puis, sa mission accomplie, retourne aussitôt à la queue de
la colonne.
Sachant que, pendant cet aller-retour, la vitesse de la fourmi et de la colonne sont
resté constante et que la colonne a parcouru 50 cm, quelle est la distance parcoure par
la fourmi ravitailleuse.
Correction
Exercice 1
1. On a a =3 , b =2 et c =−5 , le discriminant vaut Δ=b² −4 ac .
Δ=4−4×3×(−5 )=64 , Δ>0 , il y a deux solutions réelles qui sont :
x 1=
−b − √Δ
−b + √ Δ
et x 2=
2a
2a
x 1=
5
−2−8
5
−2+8
=− et x 2=
=1 donc S = − ; 1
3
2×3
3
2×3
{
}
2. On a Δ=5 , Δ>0 , il y a deux solutions réelles qui sont :
x 1=
1−√ 5
1+√ 5
1−√ 5 1+ √ 5
;
et x 2=
donc S =
2
2
2
2
{
}
3. Δ=−24 , Δ<0 il n'y a pas de solution réelle.
4. (3 x +5 ) ²=( x +1 ) ² ⇔ ( 3 x +5 ) ²−( x +1 ) ²=0 ,
remarquable
⇔ ( 2 x +4 )( 4 x +6 )=0 ⇔ x =−2 ou x =−
on
retrouve
3
3
donc S = −2 ;−
2
2
{
une
identité
}.
5. ( 2 x −1 ) ²− x ( 2 x −1)=4 x² −1⇔ ( 2 x −1 ) ²− x (2 x −1 )=(2 x −1 )(2 x +1 )
⇔ ( 2 x −1 ) ²− x ( 2 x −1 )−( 2 x −1)( 2 x +1 )=0
⇔ ( 2 x −1 )( 2 x −1− x −( 2 x +1 ))=0
⇔ ( 2 x +1 )( x −2)=0
1
;2
2
{
Il vient que S = −
}
Exercice 2
On doit se ramener à une inéquation par rapport à 0 puis faire le tableau de signe du
membre non nul.
1. a =−2 , b =7 et c =−5 . On a Δ=9 ; Δ>0 , il y a deux racines réelles qui sont :
x 1=
5
et x 2=1
2
x
1
−∞
−2 x² +7 x −5
−
0
+
5
2
0
5
;+∞ .
2
2. On doit étudier le signe de chacun des deux polynômes.
[
On a S =]−∞ ;1 ] ∪
[
+∞
−
3
et x 2=1
4
Pour x² +2 x −3 , on trouve Δ ' =16 , on a x 1' =1 et x 2' =−3 .
On obtient :
Pour 4 x² −x −3 , on trouve Δ=49 , on a x 1=−
x
4 x² −x −3
x² +2 x −3
Produit
]
S = −3;−
−
−3
−∞
+
+
+
+
0
0
3
4
0
−
−
0
+
−
-
1
+∞
+
+
+
0
0
0
3
∪{ 1 }
4
]
3. ( x² +2 x +1 )<25 ⇔ ( x² +2 x +1 ) −25<0 ⇔ ( x² +2 x −4 )( x² +2 x +6 )<0
−2− √ 20
=−1−√ 5 et
Pour x² +2 x −4 , on trouve Δ=20 , on a x 1=
2
(−1+√ 20 )
x 2=
=−1+√ 5 .
2
Pour x² +2 x +6 , on trouve Δ=−20 , Δ<0 il n'y a pas de racine.
On obtient :
x
−1−√5
0
−∞
−1+√5
0
+∞
−
x² +2 x −4
+
x² +2 x +6
+
+
−
Produit
+
0
0
S =]−1−√ 5; −1+√ 5[
4. Pour x² −3 x +2 on a Δ=1 , on a x 1=1 et x 2=2
Pour x² −3 x −10 on Δ=49 , on a x 1=−2 et x 2=5
On obtient :
x
-2
−∞
x² −3 x +2
+
x² −3 x −10
+
1
+
0
−
−
Quotient
+
S =]−∞ ;−2 [∪[ 1; 2 ]∪ ] 5; +∞ [
Exercice 3
(√ )
6
4
1. Calculons P
√6
√6
( ) ( ( ))
√
P(
)
P
4
= 4
4
:
2
−( √ 6+4 √ 3 )
√6 +√ 18
4
6
4×6 6 4 √18
=
− −
+√ 18=0
4
16
4
4
0
2
−
0
−
0
+
+
+
+
5
+
−
0
−
+∞
+
0
+
+
√6
4
est bien une racine de P.
2. Le calcul du discriminant n'est pas la meilleur solution.
P ayant au moins une racine on a Δ⩾0 donc P peut s'écrire :
P ( x )=a ( x −x 1 )( x – x 2 ) en développant cette expression on obtient :
P ( x )=ax² +a ( −x 1 – x 2 ) x +a ×x 1× x 2 par identification il vient
a =4 ; a (−x 1 –x 2 )= √ 6+4 √3 et a × x 1 ×x 2 =√ 18 .
Grâce à la dernière expression on trouve
x 2=
√18
4× √ 6
d'où x 2= √ 3 .
4
Exercice 4
2 x −5 x −1
=
, on commence par rechercher les valeurs interdites, il s'agit des
x −1
x +1
valeurs qui annulent les dénominateurs.
Ici on trouve 1 et −1 comme valeurs interdites.
2 x −5 x −1
=
⇔ ( 2 x −5 )( x +1 )=( x −1 )2
x −1
x +1
⇔ x 2− x −6=0
a =1 , b =−1 et c =−6 . On a Δ=25 d'où x 1=−1 et x 2=
valeurs interdites donc S =
{ 32 } .
x² − x +1
=2 x +3 , on a pour valeur interdite −2 .
x +2
x² − x +1
=2 x +3 ⇔ x² − x +1=( 2 x +3 )( x +2 )
x +2
⇔ −x 2 +6 x −5=0 .
a =−1 , b =6 et c =−5 . On a Δ=16 d'où x 1=5 et x 2=1 .
S ={1 ;5 } .
3
, or −1 est une des
2
Exercice 5
1. f est un polynôme du second degré C sera une parabole. Pour déterminer le
2
sommet on doit écrire f sous forme canonique. f ( x )=a ( x −α ) +β
On a a =−3 , α=−
(
f ( x )=−3 x −
1
3
b
1
4
= et β=f ( α )= .
2a 3
3
2
)
+
4
, le somme est donc le point de coordonnées
3
( 13 ; 43 ) .
2. Si la courbe coupe l'axe des abscisses, cela revient à chercher les antécédents de
0 de f ; donc de trouver les racines de f .
1
. Les points
3
−1
;0 .
d'intersection avec l'axe des abscisses sont les points A ( 1; 0 ) et B
3
Le discriminant vaut Δ=16 , il y a bien 2 racines x 1=1 et x 2=−
(
)
3. On cherche les valeurs de x tels que f ( x )>0 . On dresse le tableau de signes
de f.
x
f (x )
−
−∞
−
0
1
3
1
+
0
+∞
−
]
La courbe de f se situe au dessus de l'axe des abscisses sur −∞ ;−
1
3
[ et sur
] 1 ;+∞ [ .
Exercice 6
1. On considère les trois entiers consécutifs suivants n−1 , n et n+1 . La mise en
équation du problème nous donne :
( n−1 )2+n2 +( n+1 ) 2=15125
⇔ 3 n² =15123
⇔ n 2=5041
⇔ n=71 (n est un entier positif)
Les trois carrés ont des côtés qui mesurent 70, 71 et 72.
15125
2. Pour 15127 on obtient comme équation n² =
, qui n'admet pas de solution entière.
3
Exercice 7
1. On note l la largeur et L la longueur, l'énoncé nous permet d'avoir le système
suivant :
, la première équation nous donne L =10−l , en substituant L dans
{ll +× LL =10
=20
la seconde on obtient : l (10−l )=20 ⇔ l 2 −10 l +20=0 .
Le calcul du discriminant nous donne Δ=20 , il y a deux solutions réelles qui
sont : l 1 =
( 10+ √20 )
2
=5+√5 et l 2 =
10+ √20
=5− √5 .
2
Grâce à L + l =10 on obtient les longueurs associées : L 1 =5−√ 5 et L 2 =5+√ 5 .
Il faut donc séparer la baguette de façon a avoir un morceau de 5+√ 5 et l'autre
de 5 – √ 5 .
2. Pour un rectangle de 40 cm² on a le système
, qui permet d'obtenir comme équations :
{ll +× LL =10
=40
L =10−l et l 2 −10 l +40=0 . Le calcul du discriminant du polynôme du second
degré nous donne Δ=−60 , il n'y a pas de solution réelle. On ne peut pas
réaliser un rectangle de 40 cm² avec un demi-périmètre de 10 cm.
3. On pose x l'aire du rectangle formé. On retrouve comme équation du second
degré : l 2 −10 l + x =0 , le discriminant est Δ=100−4 x , pour avoir des solutions
il faut que Δ⩾0 donc 100−4 x ⩾0 ⇔ x <25 .
L'aire maximale que l'on peut obtenir sera donc de 25 cm², elle s'obtient en
coupant la baguette en 2 morceaux égaux et donc en formant un carré.
Exercice 8
Rappel : vitesse =distance ×temps
On pose d la distance parcourue par la colonne entre le départ de la fourmi
ravitailleuse et le moment où elle atteint la fourmi chef. La fourmi ravitailleuse aura
elle parcouru d +50 .
On pose V f la vitesse de la fourmi et V C la vitesse de la colonne, les deux
vitesses sont constantes.
Comme le temps de marche de la fourmi
trouve dans une situation de proportionnalité
V f ( d +50)
=
parcourues on a :
.
VC
d
Pendant le temps que mets la fourmi pour aller
aura parcouru une distance égale à d , dans le
parcourt le distance qu'il lui manque soit 50−d
voir schéma
ou de la colonne est le même on se
entre les vitesses et les distances
de la tête de la colonne à la fin, elle
même moment la colonne de fourmi
On se trouve toujours dans une situation de proportionnalité entre les vitesses et les
distances on peut écrire :
Vf
d
=
.
V C 50−d
d +50
d
=
avec les deux rapports on en déduit que
, cette relation devient après
d
50−d
simplification d² =1250 soit d =25 √ 2 ( d ≈35,4 m ), la fourmi a donc parcouru
d +50+d =50+50 √2 (d ≈120 ,8 m ) .