Utiliser un intervalle de fluctuation pour estimer une proportion par

2de - STATISTIQUES - Fiche 1
Savoir UTILISER UN INTERVALLE DE FLUCTUATION
POUR ESTIMER UNE PROPORTION PAR ENCADREMENT
Situation probabiliste, avec un objet aléatoire :
● Pour un type d'objet aléatoire (dé, pièce, jeu de cartes, etc...), on connaît la probabilité p d'un certain
évènement.
● On dispose d'un objet aléatoire du même type avec lequel on fait n épreuves.
L'échantillon est de taille n .
L'évènement y est représentée par une fréquence f .
Attention, contrairement à la fiche ST02, on ne doute pas de cet objet...
 n  25
● Sous les conditions  0,2  p  0,8 , on sait qu'il y e 95 % de chances que la fréquence f soit dans l'intervalle

1
1
de fluctuation IF = [ p ‒
;p+
].
n
n
Situation statistique, avec des populations :
● Dans une grande population, on connaît la proportion p d'individus ayant une certaine caractéristique.
● On dispose d'un échantillon dans lequel la représentation de la caractéristique est conforme à la population.
Il est de taille n .
La caractéristique y est représentée par une fréquence f .
Attention, contrairement à la fiche ST02, on ne doute pas de cet échantillon...
 n  25
● Sous les conditions  0,2  p  0,8 , on sait qu'il y e 95 % de chances que la fréquence f soit dans l'intervalle

1
1
de fluctuation IF = [ p ‒
;p+
].
n
n
Méthode :
1) Travail préparatoire :
Repérer
quel est le type d'objet aléatoire et quel évènement est étudié

 quelle est la grande population et quelle caractéristique y est étudiée.
Présenter
 la probabilité de cet évènement : c'est p
 la proportion de cette caractéristique : c'est p .
p est en général connue dans une situation usuelle ou donnée dans l'énoncé.
Présenter
 le nombre d'épreuves faites avec l'objet aléatoire : c'est n

la taille de l'échantillon : c'est n .
2) Vérifier les conditions n  25 et 0,2  p  0,8 .
3) En déduire le droit d'utiliser un intervalle de fluctuation IF .
4) Calculer les bornes p ‒
1
1
‒3
et p +
de IF (arrondies à 10 si non précisé).
n
n
5) En déduire l'encadrement de la fréquence f .
6) Éventuellement, en déduire l'encadrement de l'effectif en multipliant par n .
1.
Un camion livre à tous les magasins de jouets de la région des sets de 5 dés cubiques pour jouer au yam.
Les sets sont conditionnés par cartons de 160 sets. Il restait dans le camion 312 cartons lorsqu'il s'est renversé brutalement.
Le chauffeur s'en est tiré indemne mais les cartons et les sets se sont tous ouverts et ont déversé tous les dés sur la route...
a.
Donner une estimation par encadrement de la fréquence des valeurs paires affichées par tous les dés sur la route.
Préciser le risque d'erreur commis en faisant cette estimation.
b.
En déduire une estimation par encadrement du nombre de valeurs paires affichées par tous les dés sur la route.
2.
En France, le pourcentage de filles à la naissance est de 51,56 %.
En un an, une ville de 350 000 habitants va enregistrer 4 300 naissances.
Donner une estimation par encadrement du nombre de nouveaux nés filles que l'on peut attendre.
3.
4.
Chaque hiver, une épidémie de grippe frappe la France, avec plus ou moins de gravité.
Une année, une épidémie partie du nord-est du pays a infecté les premières régions en touchant 27 % de la population.
Les services de Sécurité Sociale d'un département du sud doivent prévoir une estimation du coût qui sera engendré par cette
épidémie, en supposant que le taux d'infection sera le même dans le sud que dans le nord.
Ce département compte 587 430 habitants. Les frais à rembourser (médicaments, consultation, indemnités journalières de
congé maladie, ...) sont en moyenne de 103,45 € par malade.
a.
Au seuil 0,95, donner un encadrement de la proportion de malades que l'on peut attendre dans ce département.
Les bornes seront données à 0,01 %.
b.
En déduire un encadrement du coût à prévoir.
Pour qu'une huître perlière crée une perle, la technique consiste à lui insérer un greffon autour duquel elle déposera des
couches de nacre qui formeront la perle.
Un tiers des huîtres rejettent le greffon et un cinquième des huîtres greffées produisent une perle inutilisable. Seuls trente
pour cent de greffons donnent une perle commercialisable. Les autres meurent après la greffe, immédiatement ou dans les
deux ans qui suivent la greffe.
a.
Calculer la proportion d'huîtres donnant une perle commercialisable dans un lot d'huîtres qui ne sont pas mortes après
la greffe.
b.
Un perliculteur tahitien compte 450 huîtres prêtes à être récoltées cette année.
Sachant qu'il vend en moyenne une perle 120 €, est-il certain d'atteindre un bénéfice de 18 000 € ?