[ ]. [ ] ] [ par f(x)

TSMS
€
Correction Evaluation
2/
Exercice I
Partie A
Une entreprise fabrique et vend une quantité x d’objets, elle peut fabriquer au
maximum 21 objets. Le coût total de la fabrication de x objets, exprimé en euros, est
donné par :
C(x) = 2x 3 − 54 x 2 + 470x + 80 .
Chaque objet est vendu 200 euros.
3
2
1/ coût de fabrication : C(10) = 2 ×10 − 54 × 10 + 4700 + 80 = 1380
la recette
€ 200 × 10 = 2000
bénéfice : 2000 − 1380 = 620
2/ R(x) et B(x)€désignent respectivement la recette et le bénéfice pour x objets vendus.
a)
€ R(x) = 200x
3
2
3
2
b)
€ B(x) = 200x − C(x) = 200x − (2x − 54 x + 470x + 80) = −2x + 54 x − 270x − 80 .
3/ On considère la fonction B définie sur [0;21] par : B(x) = −2 x 3 + 54x 2 − 270x − 80 .
€ a) pour tout x ∈ [0;21] , B′(x) = −6x 2 + 108x − 270
b) pour tout x ∈ [0;21] : 6(−x + 3)(x − 15) = −6 x 2 + 108x − 270 = B ′(x) .
c)
€
€
€
€
x
15
0
3
21
€
€
0
-x+3
+
x-15
-
B’(x)
-
0
+
0
+
0
-
3/ nombre minimum : 8
nombre maximum : 20
4/a) voir repère.
b) valeurs possibles de x permettant un tel bénéfice : x ∈ [12;17]
Exercice II
3x −1
.
B
x −2
-458
-458
équation de la tangente à Cf au point d’abscisse 4 :
On
a y = f ′(4)(x − 4) + f (4)
d) le bénéfice est maximal pour 15 objets fabriqués et vendus. Le bénéfice maximal est
11 €
alors de 1270 euros.
€
de plus f (4) =
2
Partie B
La production est en réalité au moins égale à 6 objets. On étudie donc la fonction B de€ or pour tout x ∈ ]2;+∞ [ , f ′(x) = 3(x − 2) − (3x − 1) = −5
2
2
(x − 2)
(x − 2)
ce fait sur l’intervalle [6;21] .
−5
1/
€ d’où : f ′(4) =
4
x
6
7 8
9
10 11 12
13 14 15 16 17
18 19 20 21
€€
5
11
5
21
ainsi y = − €(x − 4) + = − x + .
€
4
2
4
2
B(x) -188 -10 192 406 620 822 1000 1142 1236 1270 1232 1110 892 566 120 -458
-80
1270
€=
Soit f la fonction définie sur ]2;+∞ [ par f (x)
€
© M.G. source In f(x) Venenum
http://www.infx.info
€