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1ère BT S DOM OT IQU E Variables aléatoires continues Lundi 04 mai 2009 Devoir surveillé n˚7 Tous les résultats seront arrondis à 10−2 . EXERCICE no 1 On note X la variable aléatoire qui, à chaque homme prélevé au hasard, associe sa taille en centimètres. On suppose que X suit la loi normale de moyenne 178 et d’écart-type 10. 1. Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants : (a) A : « Un homme prélevé au hasard a une taille supérieure strictement à 180 ». (b) B : « Un homme prélevé au hasard a une taille inférieure ou égale à 150 ». (c) C : « Un homme prélevé au hasard a une taille comprise entre 160 et 185 inclus ». 2. (a) Déterminer le réel a tel que P (X ≥ a) = 0, 80. Interpréter ce résultat. (b) Déterminer le réel b tel que P (176 − b ≤ X ≤ 180 + b) = 0, 68. Interpréter ce résultat. (c) Déterminer une estimation de la taille en dessous de laquelle se situe la moitié de la population. EXERCICE no 2 Soit X et Y des variables aléatoires. X suit la loi normale N ( 2 ; 0, 1 ), Y suit la loi normale N ( 3 ; 0, 2 ). 1. Déterminer la loi de la variable aléatoire Z = −2X + 3. 2. Déterminer la loi de la variable aléatoire U = X − Y . http://nathalie.daval.free.fr -1- Variables aléatoires continues 1ère BT S DOM OT IQU E Lundi 04 mai 2009 Correction du DS n˚7 EXERCICE no 1 1. On pose T = X − 178 , T suit alors la loi normale centrée réduite N ( 0 ; 1 ) et X = 10T + 178. 10 (a) Calcul de P (A) : P (X > 180) = P (10T + 178 > 180) = P (T > 0, 2) = 1 − P (T ≤ 0, 2) = 1 − Π(0, 2) = 1 − 0, 5793 = 0, 4207. P (A) = 0, 42 2. On a toujours T = (a) (b) Calcul de P (B) : P (X ≤ 150) = P (10T + 178 ≤ 150) = P (T ≤ −2, 8) = P (T ≥ 2, 8) = 1 − P (T < 2, 8) = 1 − P (T ≤ 2, 8) = 1 − Π(2, 8) = 1 − 0, 9974 = 0, 0003. P (B) = 0, 003 (c) Calcul de P (C) : P (160 ≤ X ≤ 185) = P (160 ≤ 10T + 178 ≤ 185) = P (−1, 8 ≤ T ≤ 0, 7) = P (T ≤ 0, 7) − P (T < −1, 8) = Π(0, 7) − P (T > 1, 8) = Π(0, 7) − [1 − P (T ≤ 1, 8)] = Π(0, 7) − 1 + Π(1, 8) = 0, 7580 − 1 + 0, 9641 = 0, 7221. P (C) = 0, 72 X − 178 et X = 10T + 178. 10 P (X ≥ a) = 0, 80 (b) P (176 − b ≤ X ≤ 180 + b) = 0, 68 ⇐⇒ P (10T + 178 ≥ a) = 0, 80 ⇐⇒ P (176 − b ≤ 10T + 178 ≤ 180 + b) = 0, 68 a − 178 −2 − b 2+b = 0, 80 ⇐⇒ P T ≥ ≤T ≤ = 0, 68 ⇐⇒ P 10 10 10 a − 178 2+b ⇐⇒ 1 − P T < = 0, 80 ⇐⇒ 2Π − 1 = 0, 68 10 10 a − 178 2+b ⇐⇒ P T < = 0, 20 ⇐⇒ Π = 0, 84 10 10 a − 178 2+b 0, 20 < 0, 5 donc, <0 or, Π(0, 99) = 0, 84 donc = 0, 99 10 10 −a + 178 ⇐⇒ b = 10 × 0, 99 − 2 = 7, 9 ⇐⇒ P T > = 0, 20 10 b = 7, 90 soit : 68% des hommes ont une taille −a + 178 comprise entre 168, 1 cm et 187, 9 cm. ⇐⇒ 1 − P T ≤ = 0, 20 10 −a + 178 ⇐⇒ Π = 0, 80 (c) 178 étant la moyenne de cette loi normale, la moitié 10 de la population à une taille inférieure à 178 cm. −a + 178 Or, Π(0, 84) = 0, 80 donc : = 0, 84 10 ⇐⇒ a = 178 − 10 × 0, 84 = 169, 6 a = 169, 60 soit : 80% des hommes ont une taille supérieure ou égale à 169, 6 cm. EXERCICE no 2 1. Z suit la loi normale de paramètres : Donc : Z m = −2E(X) + 3 = −2 × 2 + 3 = −1 σ = | − 2|σ(X) = 2 × 0, 1 = 0, 2 ( m = E(X) − E(Y ) =p 2−3 = −1 p 2 2 2 2 σ = σ(X) + σ(Y ) = 0, 1 + 0, 2 = 0, 22 N ( −1 ; 0, 2 ) . 2. U suit la loi normale de paramètres : Donc : U ( N ( −1 ; 0, 22 ) . http://nathalie.daval.free.fr -2-