CORRIGE LONDON EYE

CI3 Le mouvement dans les mécanismes
CORRIGE LONDON EYE
La grande roue installée sur les bords de la Tamise en 1999 porte le nom de EDF Energy
London Eye (135m : la plus grande d’Europe). La roue comporte 32 nacelles, climatisées et
fermées qui peuvent embarquer environ vingt-cinq personnes. La rotation complète dure 30
minutes. Le mouvement des nacelles n’est pas étudié.
Problématique :
la vitesse permet-elle aux passagers d’embarquer sans arrêter la roue?
Classes d’équivalence cinématique
Le CEC {0} constitue le bâti
CEC
{0} socle
{1} bras
Repère
𝑅0 (𝑂, 𝑥⃗0 , 𝑦⃗0 , 𝑧⃗0 )
𝑅1 (𝐴, 𝑥⃗1 , 𝑦⃗1 , 𝑧⃗1 )
Paramétrage
𝑦⃗1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉𝐵∈1⁄0
𝐵
𝑥⃗1
𝛼
𝐴
𝑦⃗0
𝑧⃗0
𝑥⃗0
La grande roue (640 tonnes) a un rayon R de 58m et fait une révolution en 30 minutes.
Calcul de la vitesse ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉𝐵∈1⁄0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
V𝐵∈1⁄0 = [
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝐵
]
𝑑𝑡
=[
/𝑅0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝐴𝐵
]
𝑑𝑡
Paramétrage de l’orientation de la base
(𝐱⃗⃗𝟏 , 𝐲⃗𝟏 , 𝐳⃗𝟏 )
Pour orienter la base (𝑥⃗1 , 𝑦⃗1 , 𝑧⃗1 ) par rapport à la base
(𝑥⃗0 , 𝑦⃗0 , 𝑧⃗0 ) un seul paramètre angulaire suffit :
/𝑅0
⃗⃗𝟎 , 𝒙
⃗⃗𝟏 )
𝜶 = (𝒙
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑅𝑟 . 𝑥⃗1
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 est exprimé dans la base B1, on utilise la dérivation vectorielle
pour calculer la vitesse du point B.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝐴𝐵
𝑑𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
V
=[
+ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ω1⁄0 ⋀𝐴𝐵
]
]
𝐵∈1⁄0 = [
𝑑𝑡 /𝑅
𝑑𝑡 /𝑅
0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜔 . ⃗𝑧⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
V𝐵∈1⁄0 = ⃗⃗⃗
0 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ω1⁄0 ⋀𝐴𝐵
10 1
𝑦⃗1
𝑦⃗0
1
𝑥⃗1
⋀𝑅𝑟 . ⃗𝑥⃗⃗1 = 𝑅𝑟 . 𝜔10 . ⃗𝑦⃗⃗1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
V𝐵∈1⁄0 = 𝑅𝑟 . 𝜔10 . 𝑦
⃗⃗1
𝑧⃗0 = 𝑧⃗1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‖V
B∈1⁄0 ‖ = R 𝑟 . 𝜔10
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
A.N. ‖V
B∈1⁄0 ‖ = 58.
2.π 1
.
60 28
= 0,22m/s
A
𝑥⃗0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ω1⁄0 = 𝛼̇ . 𝑧⃗1 = 𝜔10 . 𝑧⃗1 vecteur rotation de la base
(𝑥⃗1 , 𝑦⃗1 , 𝑧⃗1 ) par rapport à la base (𝑥⃗0 , 𝑦⃗0 , 𝑧⃗0 )
La vitesse au point B est de 22 cm/s
Cette vitesse permet aux passagers d’embarquer en cabine sans devoir arrêter la roue.
Denis Guérin
crédits : S. Genouël
1/1
TSI Eiffel Dijon