Cercles et ellipses

COURS
TERMINALE STD2A
CERCLE ET ELLIPSE
A. Enroulement autour du cercle
On considère un repère orthonormé (O; 1i ; 1j ) du plan et le cercle de centre O et
de rayon 1 ; il y a deux sens de parcours possible du cercle ; l'un des deux est
appelé sens direct et l'autre sens indirect. Le sens direct est l'inverse du sens des
aiguilles d'une montre.
Ce cercle orienté est appelé le cercle trigonométrique.
On considère la droite (d) d'équation x = 1 et le point A(1 ; 0) de (d).
On enroule la droite (d) autour du cercle. A chaque point N de la droite
d'ordonnée 23431, on associe un point M du cercle.
5 a pour longueur |2|.
L'arc AM
On définit alors le cosinus et le sinus de tout nombre réel comme étant les
coordonnées du point M ; on a alors M(cos(2); sin(2)).
Voir : enroulement.ggb
Propriétés :
on vérifie aisément : pour tout réel 2,
cos2(2) + sin2(2) = 1 ; – 1 6 cos(2) 6 1 ;
– 1 6 sin(2) 6 1.
5 et l'angle 5
On obtient une correspondance entre la longueur de l'arc AM
AOM :
Longueur de l'arc
5
AM
0
7
6
7
4
7
3
7
2
27
3
37
4
57
6
7
27
Angle 5
AOM en degré
0
30
45
60
90
120
135
150
180
360
On définit ainsi une nouvelle mesure d'angle, appelé angle en radian qui est un nombre réel.
7
Exemples :
radians = 90° ; 1 radian 8 57,3° ; 7 radians = 180°.
2
Si 2 est positif, on tourne dans le sens direct, sinon on tourne dans le sens indirect.
B. Paramétrage d'un cercle :
a) Soit M(x ; y) un point du cercle de centre O(0 ; 0) et de rayon R et A(R ; 0).
x BRCcos DEF
Soit 2 l'angle 9
; ainsi, pour tout point M du cercle, on peut écrire
AOM en radian, on a alors :
y BRCsinDEF
A
A
x Dt FBRCcos Dt F
, avec t 431, appelé paramétrage du cercle de centre O et de rayon R.
y Dt FBRCsinDt F
b) Soit M(x ; y) un point du cercle de centre (x0 ; y0) et de rayon R. On a alors
x Dt FB x0 RCcos DtF
, avec t 431, appelé paramétrage du cercle de centre et de rayon R.
y Dt FB y 0 RCsinDt F
A
On peut prendre t 43[0 ; 27 [ ou dans ] – 7 ; 7] .
Paramétrage d'un arc de cercle :
Un arc de cercle est paramétré par les mêmes équations, sauf que t
appartient à un intervalle contenu
dans [0 ; 27] ou dans ] – 7 ; 7] .
Exemples :
a) L'arc de cercle de centre S(2 ; 5) et de rayon 7 situé entre les points A(9 ;
5) et B(2 ; 12) a pour paramétrage :
x t B27 cos t 7
, avec t 43[0 ;
].
y t B57 sin t 2
A
9 ci-contre a pour paramétrage :
b) L'arc de cercle AB
x Dt FB3 4 cosDt F
7
, avec t 43[ 2 ;
].
y Dt FB14 sinDt F
2
A
Raccordement de deux cercles :
On traitera le raccordement de deux arcs de cercle en exercice.
C. Équation cartésienne du cercle
On considère le cercle de centre (x0 ; y0) et de rayon R.
Pour tout point M(x ; y) du cercle, alors la distance M est égale au rayon
du cercle R, soit M2 = R2 , soit (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2 .
Cette relation est l'équation cartésienne du cercle de centre (x0 ; y0) et de rayon R.
Exemples : a) déterminer une équation cartésienne du cercle de centre (2 ; – 1) et de rayon 3.
b) déterminer une équation cartésienne du cercle de centre ( – 4 ; – 5) et passant par le point A(1 ; – 2).
c) déterminer une équation cartésienne du cercle de diamètre [AB] avec A( – 3 ; 2) et B(7 ; – 6).
Les équations suivantes sont-elles des équations de cercle ? Si oui, tracer le cercle.
a) x2 + 2x + y2 + 8y – 1 = 0.
b) x2 + 5x + y2 – 10y + 7 = 0.
c) x2 – x + y2 + 2y + 3 = 0.
D. Intersection d'une droite et d'un cercle
On a trois cas :
a) La droite ne coupe pas le cercle : l'intersection est vide.
b) La droite est tangente au cercle : l'intersection est un point ; dans ce cas la tangente est perpendiculaire au rayon
du cercle au point de tangence.
c) La droite coupe le cercle : l'intersection est formée de deux points.
Exemples : Déterminer l'intersection de la droite et du cercle dans chacun des cas suivants :
a) Le cercle de centre (2 ; 1) et de rayon 3 avec la droite (AB) tel que A( – 2 ; 6) et B(4 ; 2).
b) Le cercle de centre ( – 1 ; 4) et de rayon 1 avec la droite (AB) tel que A( – 2 ; 6) et B(4 ; 2).
c) Le cercle de centre ( – 1 ; 1) et de rayon 13 avec la droite (AB) tel que A( – 2 ; 6) et B(4 ; 2).
d) Le cercle de centre ( – 2 ; 1) et de rayon 5 avec la droite (AB) tel que A( – 1 ; 8) et B(5 ; 0).
E. Notion d'ellipse :
Une ellipse est une courbe obtenue comme l'intersection d'un cône et d'un plan contenant toutes les génératrices du
cône et ne passant pas par le sommet.
Autre façon de définir une ellipse : On considère une droite (d) et un nombre réel k non nul.
L'affinité orthogonale de base (d) et de rapport k est l'application du plan dans lui-même qui à un point M du plan
associe le point point M' tel que si H est le projeté orthogonale de M sur (d), alors HM ' = k HM .
L'ellipse est l'image d'un cercle par une affinité orthogonale.
L'ellipse est définie par ses axes, le grand axe de longueur a et le petit axe
de longueur b.
x2 y2
Son équation cartésienne est 2 2 = 1.
a b
a
b
Le rapport de l'affinité orthogonale est
ou
.
b
a
Le point d'intersection des axes est le centre de l'ellipse.
Construction point par point : On trace les cercles C1 et C2 de centre O et
de rayon a et b. A tout point M1 du cercle C1 on fait correspondre le point
M2 de C2 alignés avec O et M1 comme sur la figure et le point M
intersection es parallèles aux axes passant par M1 et M2. Le point M est
sur l'ellipse de centre O et d'axe a et b.
Remarque : la tangente à C2 en M2 coupe la tangente à l'ellipse en M en un point situé sur l'axe des abscisses et
la tangente à C1 en M1 coupe la tangente à l'ellipse en M en un point situé sur l'axe des ordonnées.
F. Paramétrage d'une ellipse:
a) Soit M(x ; y) un point de l'ellipse de centre O(0 ; 0) et d'axe a et b.
Alors pour tout point M de l'ellipse, on peut écrire
x Dt FBaCcos DtF
, avec t 431, appelé paramétrage de l'ellipse de centre O(0 ; 0) et d'axe a et b.
y Dt FBbCsinDt F
A
b) Soit M(x ; y) un point de l'ellipse de centre (x0 ; y0) et d'axe a et b.
Alors pour tout point M de l'ellipse, on peut écrire
x Dt FB x 0 aCcosDt F
, avec t 431, appelé paramétrage de l'ellipse de centre (x0 ; y0) et d'axe a et b.
y Dt FBy 0 bCsin Dt F
A
Ellipse de Steiner : Soit ABC un triangle ; il existe une unique ellipse inscrite dans ABC et tangente aux milieux
des côtés de ABC.
Projection orthogonale d'un cercle sur un plan.
G. Intersection d'une ellipse et d'une droite du plan :
On a trois cas :
a) La droite ne coupe pas l'ellipse : l'intersection est vide.
b) La droite est tangente à l'ellipse : l'intersection est un point.
c) La droite coupe l'ellipse : l'intersection est formée de deux points.