Les huits formules basiques Cos(x), sin(x) et tan(x) en fonction de t
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Les huits formules basiques Cos(x), sin(x) et tan(x) en fonction de t
TRIGONOMETRIE En utilisant un cercle trigonométrique, on peut retrouver les formules suivantes: cos(– α) = cos(α) sin(– α) = – sin(α) cos(π + α ) = – cos(α) sin(π + α) = – sin(α) cos(π –α) = – cos(α) sin(π–α) = sin(α) $! ' " # ) = sin(α) %2 ( cos % #! & + " ( = – sin(α) $2 ' $! ' " # ) = cos(α) %2 ( sin % cos & #! & + " ( = cos(α) $2 ' sin & Les huits formules basiques cos2(α) + sin2(α) = 1 (1) 1 (en divisant par cos2(α)) 1 + tan2(α) = (en divisant par sin2(α)) 1 + cotan2(α) = sin(a + b) = sin(a).cos(b) + sin(b).cos(a) (3) cos(a + b) = cos(a).cos(b) – sin(a).sin(b) (4) cos 2 (! ) (2) 1 sin (! ) 2 sin(a – b) = sin(a).cos(b) – sin(b).cos(a) (5) cos(a – b) = cos(a).cos(b) + sin(a).sin(b) (6) Avec a = b dans (3) et (4) et en utilisant (1) sin(2a) = 2.sin(a).cos(a) (7) cos(2a) = cos2(a) – sin2(a) = 2. cos2(a) – 1 = 1 – 2.sin2(a) (8) cos2(a) = 1 + cos(2a) sin2(a) = 2 1 ! cos(2a) 2 x Cos(x), sin(x) et tan(x) en fonction de t = tan !# $& " 2% (7) ⇒ sin(x) = 2.sin(x/2).cos(x/2) ⇒ sin( x) = 2. sin(x / 2) cos(x / 2) (8) ⇒ cos(x) = 2.cos2(x/2) – 1 ⇒ (avec (2)) cos(x) = 2. tan(x) = sin(x) cos(x) 2t 1+ t2 1! t2 cos(x) = 1+ t2 2t tan(x) = 1! t2 .cos 2 (x / 2) ⇒ (avec (2)) sin(x) = 1 1 + tan 2 (x / 2) !1⇒ donc Transformations de sommes en produits Pour obtenir sin(p) + sin(q) : • On ajoute (3) et (5): sin(a + b) + sin(a – b) = 2.sin(a).cos(b) (*) p+q p!q "p = a + b • On pose # donc, par addition et soustraction de ces égalités: a = et b = 2 2 $q = a ! b ! p + q$ ! p ' q$ &% cos #" & 2 2 % • (*) s'écrit alors: sin(p) + sin(q) = 2.sin # " Méthode analogue pour sin(p) – sin(q), cos(p) + cos(q) et pour cos(p) – cos(q) Linéarisations Pour linéariser sin(a)cos(b), on ajoute (3) et (5): sin(a + b) + sin(a – b) = 2.sin(a).cos(b) Pour linéariser cosn(α) ou sinn(α), on utilise les formules d'Euler et la formule du binôme: n n # ei! + e" i! & # ei! " e" i! & n cos (! ) = % (' = ... et sin (! ) = %$ 2i (' = ... $ 2 n Equations usuelles cos(a) = cos(b) ssi a = b + 2.k.π. ou a = –b + 2.k.π sin(a) = sin(b) ssi a = b + 2.k.π ou a = π – b + 2.k.π tan(a) = tan(b) ssi a = b + k.π cos(u) = 0 ssi u = π/2 + k.π sin(v) = 0 ssi v = k.π Transformation usuelle C.cos(x) + D.sin(x) = ! C 2 + D2 .# C " C +D 2 2 cos(x) + $ D C +D 2 2 = C + D .[ cos(! ) cos(x) + sin(! )sin(x)] = C 2 + D 2 .cos(x ! " ) 2 2 sin(x) & %