Statistique des évènements persitants : La mouche rattrapera-t

INRIA Rocquencourt, 7 avril 2003
1
Statistique des évènements persitants :
La mouche rattrapera-t-elle le coche ?
Avec Claude Godrèche et Jean-Marc Luck
Plan
I Le coche et la mouche
II Motivations
III Approche analytique
IV Approche combinatoire
V Limite continue
Modélisation de la fable
Chemin montant = Droite réelle
Mouche = Mobile aléatoire
Coche = Obstacle déterministe de vitesse
constante : v
Question : La mouche part vers l’arrière (par
exemple), quelle est la probabilité quelle n’ait pas
retrouvé le coche jusqu’au temps n, qu’elle ne
retrouve jamais le coche ?
Motivations
3
Persistance et grandes déviations
Stabilité des opinions électorales : fraction des gens
qui votent pour le même parti depuis n scrutins ?
Dans un système magnétique, atomes petits
aimants qui interagissent entre eux et avec le mileu
extérieur, et dont l’orientation, Mi t , fluctue. La
fraction des i tels que 1t 0t Mi τ dτ Ω pour
t 0 T se comporte comme t α Ω
Cas limite : Mi t pointe dans une direction fixe,
seule l’amplitude change, pas d’interactions entre
atomes, pas de corrélations temporelles, le temps
est discret. Question analogue : Probabilité que
M1
Mm mv pour m
1
n .
Définitions
4
Reformulation
Sn
Soient Ym m 1 2 des v.a.i.i.d., et
Y1
Yn la nieme somme partielle.
On pense à Ym comme Mm v.
On définit
Pn
Fn
Prob S1
P̃n
F̃n
Prob Sn
0
Prob Sn
Prob S1
0
0
Sn
n
0
0
Sn
1
n
n 0
exp
1
n
1
1
0
Formule de Sparre Andersen :
∑ Fn zn
n
Pn n
∑ nz
n 1
Définitions
5
Le cas binomial
ε1
Prob ε
1
Xn
Pn
Fn
n
∑
m 1
εm
Prob Vn
v
Prob Vn
Prob V1
v.a.i.i.d.
Prob ε
p
Prob V1
P̃n
F̃n
εm
v
1
v
n
1
v
v
Vn
1
Xn
n
Vn
Vn
q
n
v
n
1
n
1
1
p
Définitions
6
Exemples
Pas de rencontre
Trois rencontres
Approche analytique
7
Résultats numériques
Pour n ∞, Fn F donne la loi de la v.a. supm Vm
et F̃n F̃ celle de infm Vm .
Vitesse de dérive 1
Probabilité critique v
2p
1
2pc
Approche analytique
8
Quelques résultats
Entropie S v
pc log pc p
qc log qc q
Régime de grandes déviations : p
Pn
an v n
1 2
e
nS v
Fn
pc
1
bn v n
3 2
v 2
e
nS v
an v
a npc fonction périodique de période 1,
calcul analytique.
bn v
b npc fonction périodique de période 1
Approche analytique
9
Régime marginal : p
Pn
C̃ v
C
C v C̃ v
1 2
p
1
Fn
v 2
C v
πn 1
2
v (symétrie)
1 (Sparre Andersen).
Régime convergent : p
F v
pc
pc
F v
pc
C v
1
v 2
2
pc qc
1 2
p
pc
Approche combinatoire
10
Reformulation combinatoire
Le poids d’un chemin ne dépend que de son point
final.
1
1
1
1
1
2
3
2
5
5
Cette remarque réduit le problème à un comptage
de chemins, dans un triangle de Pascal tronqué.
Approche combinatoire
11
Conditions aux limites
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
2
2
0
0
3
5
5
0
0
1
4
9
14
14
0
0
785
0
1
8
35
110
275
530
785
7
75
255
1
27
165
255
0
20
90
0
1
6
48
90
0
5
28
0
1
14
42
0
1
Approche combinatoire
12
Sauts interdits
1
1
1
1
1
1
1
5
7
8
9
35
154
42
165
14
42
42
132
297
572
1001
5
14
90
275
429
5
28
75
2
14
48
110
2
9
20
1
5
14
27
44
3
4
6
1
1
2
1
1
1
132
429
1001
2002
132
561
1562
3564
132
561
2123
5687
561
2123
7810
Approche combinatoire
13
Fuite de probabilité
8
7
6
5
4
3
2
1
3
5
n 3 =7
9
11
14
16
Sur chaque lien qui croise la trajectoire du mobile,
fuite d’une probabilité A k pk 1 p nk k
Approche combinatoire
14
Formule cruciale
p
∑k A k pk 1
Si p
pc , F
F
p
nk k
0 i.e.
Loi des grands nombres :
p
∑ A k pk
1
p
nk k
p
pc
k
Calcul récursif des A k : toute intégrale de contour
bien choise donne une relation linéaire entre eux.
δk 1
Ak
nk 1
k 1
∑Al
l
Ak
nl l
k l
k 1
∑ Al
l 1
1
nk
k
k l
nl
l
(combinatoire, convolution pour v rationnel).
Γ k pc 1
k!Γ k pc k
Ak
Γ k pc 1
k!Γ k pc k 2
Approche combinatoire
15
Combinatoire du coté droit
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
2
3
5
4
5
9
14
5
20
90
132
297
297
869
869
27
165
1
8
35
110
275
572
1
7
75
297
132
1
6
48
42
869
5
28
42
42
1
14
14
14
1
Approche combinatoire
2
4
6
8
10
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
~
n 6 =12
13
15
17
La suite des longueurs des marches qui traversent
par la droite est complémentaire de celle des
longueurs des marches qui traversent par la gauche.
Approche combinatoire
17
Marche canonique
On va a droite si le mur est à droite et à gauche si le
mur est à gauche.
Approche combinatoire
18
Fusion de la droite et de la gauche
1
1
1
1
1
1
1
1
7
3
4
14
20
0
0
0
5
0
5
19
0
0
0
14
28
0
0
2
9
0
0
5
5
6
1
2
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
2
0
0
1
3
5
0
0
0
1
2
0
0
0
1
0
0
0
1
0
9
0
9
0
1
1
1
1
1
2
2
2
2
5
5
5
5
A k et à k
An
Si 0
p
pc , p
∑k A k pk qnk
k
0
Si 1
p
pc , q
∑k à k qk pñk
k
0
1
5
14
1
1
1
4
1
6
1
Approche combinatoire
19
Récurrence linéaire
t
1
1
1
1
1
1
2
1
3
1
4
2
6
5
1
2
2
7
5
8
14
5
5
9
10
14
42
14
14
11
42
132
132
297
42
12
42
13
132
14
15
561
869
1
5
2
132
297
16
17
1
561
869
17 = 1 + 16 = 6 + 11 = 8 + 9 = 10 + 7 = 12 + 5
869 = 1 . 561 + 2 . 42 + 5 . 14 + 14 . 5 + 42 . 2
Approche combinatoire
20
Asymptotique des A n
n
kn tel que θn
An
β θn
npc
kn
1
2πpc qc n3
qc pc
1 2
pc pc qc qc
n
Cas rationnel
21
Cas rationnel pc
Périodicité nk
L’équation t
uα , α 1
nk
M
pM 1
uM 1
M
u
uα
p
N
t
Par analyticité 0
M N
p
N M
∑k
N M
a M petites racines
k
1 A k uα
1
uα
nk k .
Cas rationnel
22
Méthode 1 : On regroupe
F p ∑k A k pk 1 p nk k en
k 1
nk k F t
F p ∑M
p
p
k
k 1
0
uα
k
∑M
k 1 uα 1
uα
nk k F
k
t .
On resoud pour les F k . On en déduit F.
Méthode 2 : On définit Dα par
k
nk k
pk 1 p
∑M
1 Dα uα 1 uα
pour k
F
p
1
M. Alors c’est vrai pour tous les k.
M
∑ Dα ∑ A k ukα
α 1
nk k
k
1
uα
nk k
p
M
∑ Dα uα
1
Méthode 3 : La dualité donne des équation
quadratiques qui lient les F k t et les F̃ k t
Remarque : F Prob V1 v
Vn v
F
mais F
Prob V1 v
Vn v
se traite
par les mêmes méthodes. 1 F F est la
probabilité que V1
1 et v
V1 V2
.
Cas rationnel
23
Exemples
La fonction F et les F̃ k sont des fonctions
algébriques de p et t.
Les cas M
M
1 et M
N
1 sont très simples.
1 : combinatoire
Nk 2 !
k! Nk k 1 !
Ak
Ak
Nk !
k! Nk k 1 !
0
M
N
F
1 : probabilités
1
Nq
F
1
Nq p
Q
q
M 2 et N 5 est encore de genre 0, revètement
de degré 10 de t.
Limite continue
24
Limite continue p
F p
1
µ
µeµ
µ e
µ
pc p
p
0
1 µ
0 µ fixé