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Chapitre 1: second degré
DS 1-1 : second degré (durée 30mn)
( 4,5 points )
Exercice 1
Pour chaque polynôme, déterminer les racines éventuelles, la forme canonique puis dresser le tableau de
R
F
.
S
E
e
1. P (x) = 2x2 − 4x − 1
* Solution:
r
ie
∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4 × 2 × (−1) = 16 + 8 = 24
m
e
r
∆ > 0 donc il y a deux racines :
√
√
√
√
√
4 − 24
4−2 6
2(2 − 6)
2− 6
−b − ∆
=
=
=
=
x1 =
2a √
4 √
4 √
2 × 2√
2
−b + ∆
4 + 24
4+2 6
2+ 6
et x2 =
=
=
=
2a
4
4
2
p
S
H
A√T
√
2− 6
2+ 6
Il y a deux racines x1 =
et x2 =
.
2
2
.M
W
W
4
−b
= =1
2a
4
β = f (α) = f (1) = 2 × 12 − 4 × 1 − 1 = 2 − 4 − 1 = −3
W
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α=
R
F
.
S
E
e
donc P (x) = a(x − α)2 + β = 2(x − 1)2 − 3
La forme canonique est P (x) = 2(x − 1)2 − 3.
Le coefficient a de
x2
r
ie
est positif donc on a :
em
r
p
S
H
AT
.M
2. P (x) = 3 + x2 + 2x
* Solution:
W
W
W
P (x) = 3 + x2 + 2x = x2 + 2x + 3
∆ = b2 − 4ac = 22 − 4 × 1 × 3 = −8
∆ < 0 donc il n’y a pas de racines.
Il n’y a aucune racine.
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variation.
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Chapitre 1: second degré
−b
−2
=
= −1
2a
2
β = f (α) = f (−1) = (−1)2 + 2 × (−1) + 3 = 1 − 2 + 3 = 2
α=
donc P (x) = a(x − α)2 + β = (x − (−1))2 + 2 = (x + 1)2 + 2
Le coefficient a de x2 est positif donc on a :
r
ie
m
e
r
p
S
H
AT
Exercice 2
.M
Résoudre dans R
1. 2x2 − 8x − 24 = 0
* Solution:
( 4 points )
W
W
W
R
F
.
S
E
e
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∆ = b2 − 4ac = (−8)2 − 4 × 2 × (−24) = 64 + 192 = 256
∆ > 0 donc il y a deux racines :
√
8 − 16
−b − ∆
=
=6−2
x1 =
2a
4
et
√
−b + ∆
8 + 16
x2 =
=
=6
2a
4
r
ie
em
r
p
S
S = {−2; 6}.
H
T
A
Penser à contrôler les solutions avec la calculatrice (MENU EQUA)
.M
Voir aussi fiche méthode second degré et calculatrice
W
W
2. (2x − 1)(x − 3) = 4x − 9
W
* Solution:
(2x − 1)(x − 3) = 4x − 9 ⇐⇒ 2x2 − 6x − x + 3 − (4x − 9) = 0
⇐⇒ 2x2 − 7x + 3 − 4x + 9 = 0
⇐⇒ 2x2 − 11x + 12 = 0
Chapitre 1: second degré
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R
F
.
S
E
e
La forme canonique est P (x) = (x + 1)2 + 2.
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Chapitre 1: second degré
∆ = b2 − 4ac = (−11)2 − 4 × 2 × 12 = 25
R
F
.
S
E
e
3
S = { ; 4}
2
r
ie
m
e
r
Exercice 3
( 1,5 points )
p
S
Problème ouvert : Toute trace de recherche, même incomplète, sera valorisée dans la notation
H
T
donné par la fonction B définie sur [0; 300] par B(x) =A
−x + 103x + 100 où x est la quantité de paquets
produite, exprimée en centaines de paquets.
.M
Wchaque jour pour que le bénéfice soit maximum et le montant
Déterminer le nombre de paquets à produire
W
des bénéfices correspondant à cette quantité.
W
Une entreprise vend des paquets de biscuits et le bénéfice journalier de cette entreprise, en euros, est
2
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* Solution:
R
F
.
S
E
e
−b
−103
=
= 51, 5
2a
−2
β = B(α) = B(51, 5) = −51, 52 + 103 × 51, 5 + 100 = 2752, 25
α=
donc B(x) = −(x − 51, 5)2 + 2752, 25
r
ie
Le coefficient a de x2 est négatif donc on a :
em
r
p
S
H
AT
donc le maximum de B est 2752,25 atteint en x = 51, 5.
.M
Le nombre de paquets est donné en dizaines donc il faudra produire 51, 5 × 100 = 5150 paquets par
jour.
W
W
W
Il faut produire 515 paquets par jours pour un bénéfice maximum de 5752,25 euros.
Chapitre 1: second degré
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∆>0
√
−b + ∆
11 + 5
x1 =
=
=4
2a√
4
11 − 5
3
−b − ∆
=
=
x2 =
2a
4
2