Feuille d`exercice 10 : Méthodes numériques de résolution d`un
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Feuille d`exercice 10 : Méthodes numériques de résolution d`un
UNIVERSITE DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LILLE U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées Département de Mécanique Feuille d’exercice 10 : Méthodes numériques de résolution d’un système d’équations linéaires L’objectif de ce TP numérique est d’implémenter sous Matlab l’algorithme de Gauss vu en cours de résolution d’un système linéaire. Partie 1 : Résolution d’un système linéaire triangulaire inférieur. Dans le TD précédent, nous avons créé une fonction sous Matlab qui permet de résoudre un système linéaire à matrice triangulaire inférieure. En partant de ce programme, implémenter sous matlab l’algorithme suivant qui permet de trouver la solution Y d’un système d’équation linéaire LY = B où L désigne une matrice triangulaire inférieure inversible de taille n, et Y, B ∈ Mn,1 (R). Pour i = 1, ...n faire : X Lij yj /Lii y i = bi − (1) (2) j<i (3) Fin On écrira une fonction qui en entrée prend une matrice triangulaire inférieure L et une matrice colonne B et en sortie donne la solution Y du système LY = B. On testera ensuite cette fonction sur des matrices triangulaires simples dont on connaît la solution analytique ou en comparant avec la solution donnée par Matlab. Partie 2 : Algorithme de Gauss de factorisation LU Implémenter sous matlab l’algorithme de Gauss qui permet de décomposer une matrice A inversible quelconque en le produit d’une matrice L triangulaire inférieure à diagonale unité et d’une matrice U triangulaire supérieure. 1 Pour k = 1, ...n faire : Lkk = 1 Ukk = Akk − X Lkj Ujk j<k Pour i = k + 1, ...n faire : X Lij Ujk /Ukk Lik = Aik − j<k Uki = Aki − X j<k Lkj Uji fin fin (4) On implémentera cet algorithme sous forme d’une fonction qui en entrée prend une matrice carrée de taille n A et en sortie donne une matrice triangulaire inférieure de diagonale unité L et une matrice triangulaire supérieure U tel que A = LU . Partie 3 : Résolution d’un système linéaire à l’aide de la méthode de Gauss Utiliser ces 2 fonctions ainsi que la fonction codée dans la partie 1 du précédent TD, pour résoudre un système linéaire d’équations AX = B. 2