Une histoire de mouche et d`araignée

Une
histoire
m o u c h e et d'araignée
(la suite)
Jean-Pierre Nadon
Collège Saint-Augustin
Dans le numéro de février d'Envol,
suivant:
je vous rappelais le problème classique
Araignée
1m
1 m
Mouche
« Dans une pièce rectangulaire mesurant 12 m X 12 m X 30 m, une
araignée se trouve à 1 m du plafond au milieu d'un des petits murs.
Une mouche se trouve à 1 m du plancher au milieu de l'autre petit
mur d'en face.
L'araignée a des vues sur la mouche mais n'a pas le coeur à tisser;
elle s'y rendra donc en marchant sur les murs, plancher et plafond.
Étant très paresseuse, elle emprunte un trajet qui minimise la distance à parcourir.
Aidez-la à calculer cette distance minimale. »
(Et dites quelle distance elle parcourt sur chacune des faces planes
qu'elle emprunte.)
J'ai reçu de bonnes solutions et de mauvaises aussi... Arrive le fameux dilemme de l'enseignement : laisser encore du temps de recherche ou livrer la solution? Je livre la solution tel que promis mais ceci ne devrait pas vous empêcher de
continuer votre recherche... enfin.
SOLUTION
Le meilleur moyen pour résoudre ce problème est de construire le modèle de
la pièce et de le découper pour le ramener à deux dimensions.
Le modèle peut se découper de plusieurs façons; certaines sont illogiques
mais, à la fin, il suffit de s'assurer que le modèle qui donne la plus courte distance est
logique.
On appelle trajet géodésique le trajet le plus court reliant deux points d'une
surface quelconque; c'est ce trajet que nous cherchons ici.
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NOVIZMHRE
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En voici quelques exemples... vous saurez deviner les autres possibilités.
• ---llm--- CeN
ë) î
1
Igaiiche
\
[
(U «
araignée
bas
droit
haut
12 m
12 m
12 m
=
gauche
o
m
bias
12 m
«t
L -10 m- -•<6N
l i
o 6 i
mouche
e
12 m
droit
haut
12 m
12 m
o
ro
6
«N
12 m
distance = 11+ 30 + 1 = 42
distance = VlO^ + 42^ = 43,17
12 m
12 m
1bû L'i 1
/ 1
1
'
1
/ haùt
1
1
1
1
1
S
(N
S
CN
/!
/
gauche
bas
12 m
12 m
droit
e J
17
CN 11m
gauche
O
m
bas
/
12 m
1
£
f <N o§ ^
^djeJit
12 m
1
1
haùt
1
1
1
1
1
O
en
24 m —
E
6
mouche
12 m
T
12 m
distance = Vl7^ + 37^ = 40,72
distance = ^24^+32^ = 40
L'araignée peut se rendre à la mouche en ne parcourant que 40 m; c'est la
distance minimale. Il faut alors qu'elle marche sur 5 des 6 faces de la pièce. Il y a
bien sûr des trajets symétriques acceptables.
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Pour calculer quelle distance elle parcourt sur chacune des 5 faces, il suffit
d'utiliser la trigonométrie dans le triangle rectangle:
12 m
12 m
Le trajet se fait en cinq portions tj, tj, tj, t^ et t^:
24
tane = — => e = 36,869 897 65°
32
cos9 = —=>t, =1,25 m
sinG =
t, +1, = 10 m
t,+t,
t, = 8,75 m
18
t, + t j +13 = 30 m tj = 20 m ^
t,+t,+t3
31
^ t, + tj + tj +14 = 38,75 m => t4 = 8,75 m
cos9 =
t,+t2+t3 + t4
32
t, + tj + tj +14 + tj = 40 m => tj = 1,25 m
cos 9 =
t i + t j + t s + t^ + tj
sin 9 =
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REPONSE
tj : l'araignée monte sur le mur arrière, direction mur droit avec un angle
d'environ 36,87° avec la verticale et touche le plafond;
distance = 1,25 m exactement.
t^ : l'araignée est au plafond et va toucher au mur droit;
distance = 8,75 m exactement.
tg : l'araignée est en haut du mur droit et va toucher le plancher;
distance = 20 m exactement.
t^ : l'araignée est au plancher et va toucher le mur avant;
distance = 8,75 m exactement.
tj : l'araignée grimpe au mur avant vers la mouche;
distance = 1,25 m exactement.
IVajet total : tj +12 + tj +1^ + tj = 40 mètres exactement.
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