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Les modèles proxy en assurance vie :
des outils en cours de fiabilisation
Technical Insights - janvier 2016
Q&R
1. D’où vient l’optionalité des passifs d’assurance vie ?
2. C
omment sont valorisés les passifs
d’assurance vie en pratique ?
3. Q
uel est le temps de calcul typique de la valeur économique
d’un passif d’assurance vie ?
4. Quelles sont les méthodes proxy qui sont utilisées en pratique ?
5. Comment ces modèles proxys sont-ils validés en pratique ?
Les méthodes proxy en pratique
Curve-fitting
Least-Square-Monte-Carlo (LSMC)
Portefeuilles-Répliquants (RP)
Les modèles à facteurs
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Jean-Baptiste Monnier
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Résumé
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La valorisation des passifs d’assurance-vie présente une
réelle complexité puisqu’elle repose notamment sur des
mécanismes de participation aux bénéfices qui
nécessitent la modélisation simultanée de ces passifs
avec les postes d’actifs qui leurs sont associés. Cette
complexité est naturellement démultipliée dans le cadre
des calculs de capitaux prudentiels par modèles internes
étant donné qu’il s’agit alors d’obtenir la distribution de
ces valorisations à un an, conformément à l’article 121
de la directive Solvabilité 2. Cet article dresse un état
des lieux des différentes approximations auxquelles les
opérationnels ont le plus souvent recours pour réduire le
degré de complexité de ce problème.
Nous décrivons en particulier comment ces
approximations, plus connues sous le nom de modèles
proxy ou fonctions de perte, sont choisies en pratique: le
plus souvent par mimétisme avec des pratiques de place
locales ou par sensibilité culturelle. Nous détaillons
finalement comment ces modèles proxy sont validés en
pratique et les efforts qu’il reste à faire pour en
améliorer la fiabilité. Nous suggérons en particulier de
justifier le choix de la méthode retenue lors de l’étape de
validation des fonctions de perte.
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Q&R
D’où vient l’optionalité
des passifs d’assurance vie ?
Les contrats classiques d’assurance vie à
composante épargne offrent habituellement à leurs
détenteurs un certain nombre de garanties. Parmi
les principales garanties, on recense les taux
minimum garantis (TMG), la participation aux
bénéfices (PB) et le droit de rachat. Selon les
contrats, on pourra aussi trouver l’option de sortie
en rente, le droit d’arbitrage entre support en
EURO et support en Unités de Compte (UC), la
garantie plancher UC en cas de décès, etc. Ces
garanties représentent des droits accordés par les
assureurs vie à leurs assurés et peuvent être
considérées comme des options en tous points
similaires à celles traitées sur les marchés
financiers.
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Comment sont valorisés
les passifs d’assurance vie
en pratique ?
Ces contrats constituent les passifs d’assurance vie.
En pratique, ces passifs d’assurance vie sont
valorisés par méthode de Monte-Carlo risqueneutre. Cette méthode consiste à estimer la valeur
des engagements d’assurance vie comme la
moyenne des valeurs actualisées au taux sans
risque des prestations payées aux assurés pour un
jeu de trajectoires financières appelées scénarios
« risque neutre ». Cette méthode de valorisation
permet de capturer l’optionalité des passifs
d’assurance vie et d’en donner une valeur
économique, dite aussi « market consistent ».
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Quel est le temps de calcul typique de la valeur économique
d’un passif d’assurance vie ?
Selon la taille de bilan, la complexité de
l’optionalité des contrats d’assurance vie et
la finesse du modèle de cash-flows utilisé,
la valorisation « market-consistent » des
engagements d’un assureur vie peut aller
de plusieurs minutes à plusieurs heures. Il
en va donc de même pour la valorisation
de ses fonds propres.
La directive Solvabilité 2 offre aux
assureurs vie la possibilité de recourir à un
modèle interne (partiel) de manière à
évaluer la densité de probabilité
prévisionnelle de la variation de leurs
fonds propres à un an (voir article 121) et
en particulier son quantile à 99,5 % appelé
« Solvency Capital Requirement » (SCR).
En pratique, ce quantile est estimé par
méthode de Monte-Carlo. Cette méthode
consiste à simuler plusieurs dizaines de
milliers d’environnements économiques et
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actuariels futurs à l’horizon d’un an,
revaloriser les fonds propres (et donc les
passifs) de la société d’assurance vie dans
chacun de ces nouveaux états du monde, et
identifier la variation annuelle de fonds
propres associée au percentile 99,5 %.
Compte tenu du temps nécessaire pour
calculer la valeur des fonds propres d’une
compagnie d’assurance vie à l’aide d’un
modèle de cash-flows dans un
environnement économique et actuariel
donné, le calcul brutal du SCR par
méthode de Monte-Carlo n’est pas
envisageable en pratique. De manière à
résoudre ce problème, les opérationnels
ont développé des méthodes « proxy »
destinées à reproduire les résultats du
modèle de cash-flows en un temps très
court et dans n’importe quel
environnement économique et actuariel.
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Quelles sont les méthodes proxy qui sont utilisées en pratique ?
L’environnement économique et actuariel d’une
compagnie d’assurance vie est en pratique
modélisé par un vecteur de facteurs de risque.
Le modèle de cash-flows est donc une fonction
au sens mathématique du terme qui associe une
valeur de fond propre à un vecteur de facteurs
de risque. Cette fonction sera désignée par
« fonction valeur des fonds propres » dans la
suite. Les modèles proxy sont donc in fine des
approximations ou des estimateurs de la
fonction valeur des fonds propres.
Compte tenu de la difficulté intrinsèque à ce
problème, aucune solution technique n’a pour
l’instant émergée comme étant la plus
appropriée et une multitude d’approches
coexistent, présentant chacune leurs avantages
et inconvénients. Les plus connues et aussi les
plus fréquemment utilisées sont les méthodes
de curve-fitting, Least-Square-Monte-Carlo
(LSMC), Portefeuilles-Répliquants (RP) et
modèles à facteurs.
Le problème d’approximation de la fonction
valeur des fonds propres est un problème
complexe. Sa complexité est en pratique
d’autant plus grande que la dimension du
vecteur de facteurs de risque sous-jacent est
grande et que la régularité de la fonction valeur
des fonds propres est faible.
Pour en savoir plus sur les méthodes proxy,
rendez-vous dans la partie « Pour aller plus loin… »
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Comment ces modèles proxys sont-ils validés en pratique ?
Le contrôle d’erreur :
une exigence réglementaire
Comme indiqué dans l’article 229-(g) des
Actes Délégués, les erreurs engendrées par
l’utilisation de ces modèles proxy doivent
être mesurées et contrôlées. La validation de
ces modèles proxy consiste donc
essentiellement à développer des
procédures robustes de mesure et de
contrôle de l’erreur introduite par
l’utilisation du modèle proxy.
Validation et use-test :
mythes et réalités
Étant donné leur rôle central dans le calcul
des capitaux prudentiels, ces modèles proxy
sont largement analysés par les
opérationnels, auditeurs et régulateurs à
travers le prisme de leur validation et du
niveau de confiance qui leur est accordé
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hors des équipes actuarielles en charge de
leur développement et au-delà du cadre
prudentiel (voir use-test, Actes Délégués,
articles 223, 224, etc.).
Sous l’impulsion jointe des opérationnels,
auditeurs et régulateurs, la validation de ces
modèles proxy a été sensiblement renforcée
au cours de ces dernières années. Cette
validation passe entre autre par un contrôle
de l’erreur engendrée par le modèle proxy
pour des vecteurs de facteur de risque qui
n’ont pas servi à son calibrage (dits « out-ofsample »). Elle sera d’autant plus robuste
que le nombre de vecteurs de facteur de
risque « out-of-sample » utilisés sera grand
et uniformément distribué dans l’espace des
vecteurs de facteur de risque. En pratique,
des seuils d’erreur sont souvent définis
au-delà desquels la qualité du modèle proxy
est jugée insuffisante et sont calibrage doit
être revu.
A ce stade l’utilisation des modèles proxy
au-delà des équipes actuarielles en charge
de leur développement et hors du cadre
prudentiel reste souvent limitée. Cette
utilisation limitée témoigne du travail qu’il
reste à faire :
• Sur la fiabilisation de ces modèles pour
leur permettre d’atteindre le degré de
maturité nécessaire à leur utilisation plus
large au sein des sociétés d’assurance vie.
• Sur la communication autour des
performances de ces modèles, qui sont
souvent plus fiables pour certains
quantiles de la variation de fonds propres
à un an et moins fiables pour d’autres.
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Conclusion
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Malgré la nette amélioration des processus de
validation des modèles proxy constatée dans
l’industrie ces dernières années, le choix initial de la
méthode proxy mise en œuvre repose encore le plus
souvent sur un a priori culturel ou un mimétisme
assumé avec certaines pratiques de place locales. A ce
titre, et compte tenu de son impact potentiellement
important sur les résultats prudentiels, le choix de la
méthode proxy mise en œuvre s’apparente à une
hypothèse clé du modèle interne. Conformément à
l’article 245-(c) des Actes Délégués, la documentation
de ce choix devrait donc s’articuler autour d’une
analyse en sensibilité des résultats prudentiels par
rapport au choix de la méthode proxy retenue. Une
comparaison des performances associées à
l’utilisation de différentes méthodes proxy
judicieusement choisies dans le cadre de la validation
pourrait répondre à cette exigence réglementaire et
contribuer à renforcer la crédibilité du modèle proxy
auprès des opérationnels, auditeurs et régulateurs.
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Les méthodes proxy en pratique
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Curve-fitting
La méthode de curve-fitting est très
populaire parmi les assureurs anglo-saxons.
Elle consiste tout d’abord à évaluer la
fonction valeur des fonds propres pour un
nombre N de vecteurs de facteur de risque
soigneusement choisis, puis à construire une
approximation de la fonction valeur des
fonds propres par interpolation/
extrapolation. Compte tenu du cout
calculatoire associé à une évaluation de la
fonction valeur des fonds propres, le nombre
de points d’interpolation n’excède que très
rarement la centaine. Il a sensiblement
augmenté récemment sous l’impulsion du
régulateur Anglais (PRA).
Le succès de cette approche repose
essentiellement sur une sélection judicieuse
des points d’interpolation et le choix d’une
méthode d’interpolation/extrapolation
adaptée à la régularité de la fonction valeur
des fonds propres.
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Figure 1 C
ette figure représente les pertes en fonds propres (en ordonnées) associées
à la variation de la valeur d’un facteur de risque (en abscisse). Les 5 points
représentent les pertes en fond propre associées à 5 valeurs différentes de
variation du facteur de risque. Les pertes en fonds propres associées aux
valeurs intermédiaires de variations du facteur de risque sont déduites par
interpolation dans le cadre de la méthode de curve-fitting. Comme illustré
ci-dessus, les résultats vont dépendre de la méthode d’interpolation retenue,
qu’elle soit linéaire par morceaux ou polynomiale (d’ordre 2) dans le cadre de
cet exemple.
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Least-Square-Monte-Carlo (LSMC)
La méthode de LSMC est une extension de la méthode de curvefitting à des points d’interpolation bruités. Elle repose sur le
constat qu’il est possible d’obtenir à moindre coût des observations
bruitées de la fonction valeur des fonds propres en diminuant
drastiquement le nombre de trajectoires utilisées dans la moyenne
de Monte-Carlo risque-neutre associée. L’approche LSMC consiste
in fine à calibrer un estimateur fonctionnel sur plusieurs centaines
d’observations bruitées de la fonction valeur des fonds propres.
Le succès de cette approche repose essentiellement sur une
sélection judicieuse des points d’interpolation bruités et le choix
d’un estimateur adapté à la régularité de la fonction valeur des
fonds propres.
Figure 2 C
ette figure représente les pertes en fonds propres (en ordonnées)
associées à la variation de la valeur d’un facteur de risque (en
abscisse). Les 10 points représentent les pertes en fond propre
approximatives associées à 10 valeurs différentes de variation du
facteur de risque. Les pertes en fonds propres associées aux valeurs
intermédiaires de variations du facteur de risque sont déduites par
régression dans le cadre de la méthode LSMC. Comme illustré
ci-dessus, les résultats vont dépendre de la forme paramétrique de
la fonction de régression retenue, qu’elle soit un polynôme d’ordre
2 ou la combinaison d’un polynôme d’ordre 2 et d’une exponentielle
dans le cadre de cet exemple.
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Portefeuilles-Répliquants (RP)
Les modèles à facteurs
La méthode des RP est très populaire
parmi les assureurs d’Europe
continentale. Elle peut être présentée
comme un cas particulier des deux
méthodes précédentes : soit comme une
méthode d’interpolation/extrapolation
particulière dans le cadre de l’approche
curve-fitting, soit comme un estimateur
fonctionnel particulier dans le cadre de
l’approche LSMC.
Les modèles à facteurs sont d’une autre nature. Ils
consistent à identifier de nouvelles fonctions du
vecteur de facteur de risque, dites facteurs, autres
que la fonction valeur des fonds propres, qui
vérifient les deux propriétés suivantes :
Sous l’hypothèse d’absence
d’opportunité d’arbitrage, la valeur de
marché des engagements d’assurance
vie devrait refléter la valeur de
l’optionalité financière qu’elle contient.
De ce raisonnement intuitif est née la
méthode du « portefeuille répliquant »
qui consiste à approximer la fonction
valeur des engagements d’assurance vie
par un portefeuille d’instruments
financiers bien choisis. Une fois les poids
des différents instruments du
portefeuille calibrés, la valeur du
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portefeuille peut être obtenue à un coût
quasiment nul pour toute valeur du
vecteur facteur de risque. En effet, la
valeur de chacun des instruments
financiers, et donc celle du portefeuille
qui les contient, s’exprime comme
fonction du vecteur de facteur de risque
par l’intermédiaire d’une formule
fermée.
Le succès de cette approche repose
essentiellement sur une sélection
judicieuse des points d’interpolation
(bruités) et un choix judicieux de
méthode de calibrage du RP à ces points.
Il faut noter que la colinéarité entre les
fonctions valeur des instruments
financiers qui compose le RP contribue à
complexifier le processus de calibrage
d’un RP.
• elles peuvent être évaluées en un minimum de
temps ;
• elles définissent de bons prédicteurs de la
fonction valeur des fonds propres.
Les modèles à facteurs sont ensuite calibrés par
régression (le plus souvent linéaire).
Le succès de cette approche repose essentiellement
sur la qualité des facteurs retenus. Le choix des
facteurs repose quant à lui sur une bonne
connaissance de la régularité de la fonction valeur
des fonds propres, des risques associés aux
engagements d’assurance vie et de leur relative
importance en fonction du vecteur de facteurs de
risque.