Suites - Ceremade

CS2
Denis Pasquignon
Suites
Résumé du cours :
1. Convergence des suites réelles ou complexes
• Définition de la convergence On dit qu’une suite (un ) est convergente s’il existe
un réel ou un complexe l tel que :
∀ > 0, ∃no ∈ N tel que ∀n ≥ no |un − l| < .
l s’appelle la limite de la suite et l’on note l = lim un .
n→+∞
• Unicité de la limite
• Toute suite convergente est bornée. La réciproque est fausse.
• Opérations algébriques.
• Théorème d’encadrement
2. Suites adjacentes
• Théorème de convergence monotone
• Définition : Deux suites u et v sont adjacentes si
– u est croissante et v est décroissante,
– lim un − vn = 0.
n→+∞
• Propriété Soit u et v deux suites adjacentes, on a
– ∀n ∈ N un ≤ vn ,
– u et v convergent vers la même limite.
3. Equivalent
• Définition : Soit deux suites u et v, on dit qu’au voisinage de +∞
– u est négligeable devant v, notée un = o(vn ), si il existe une suite n convergeant vers 0 telle que à partir d’un certain rang un = vn n ,
– u est équivalente à v, notée un ∼ vn , si il existe une suite n convergeant vers
0 telle que à partir d’un certain rang un = vn (1 + n ).
• remarques :
– une suite équivalente à la suite nulle est par définition la suite identiquement
nulle !
– le signe de deux équivalents.
• Equivalents usuels : soit xn une suite qui converge vers 0
–
–
–
–
Ln(1 + xn ) ∼ xn et exn − 1 ∼ xn ,
(1 + xn )α − 1 ∼ αxn pour tout réel α,
sin(xn ) ∼ xn , tan(xn ) ∼ xn , cos(xn ) − 1 ∼ −x2n /2,
si p(x) = ak xk + · · · a0 , alors P (n) ∼ ak nk
1
4. Suites classiques
• Suite arithmétique et Suite géométrique.
Pour tout q 6= 1 , si m et n sont deux entiers tels m < n,
q m + q m+1 + ... + q n = q m
S1 =
n
X
k=
k=1
S2 =
n
X
k2 =
k=1
S3 =
n
X
k=1
1 − q n+1−m
.
1−q
n(n + 1)
,
2
n(n + 1)(2n + 1)
,
6
k3 = (
n(n + 1) 2
) .
2
• Suite arithmético-géométrique
• Suite récurrente linéaire d’ordre 2
Soit (a, b) ∈ C 2 (resp. R2 ) avec b 6= 0, on dit que u est une suite complexe (resp.
réelle) récurrente linéaire d’ordre 2 si elle vérifie la relation (I) :
∀n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun (I).
L’ensemble E2 des suites complexes (respectivement réelles) vérifiant la relation (I)
est un sous-espace vectoriel de S(C) (resp. de S(R)) de dimension 2.
L’équation (E) : r2 − ar − b = 0 s’appelle équation caractéristique de la suite.
– Suites complexes :
∗ (E) admet deux racines distinctes z1 et z2 , alors toute suite de E2 est de
la forme : un = λz1n + µz2n avec λ et µ complexes.
∗ (E) admet une racine double zo , alors toute suite de E2 est de la forme :
un = (λ + nµ)zon avec λ et µ complexes.
– Suites réelles : (a, b) ∈ R2 . Soit ∆ le discriminant de l’équation (E) .
∗ Si ∆ > 0, (E) admet deux racines réelles distinctes x1 et x2 et toute suite
de E2 est de la forme : un = λxn1 + µxn2 avec λ et µ réels.
∗ Si ∆ = 0, (E) admet une racine double xo et toute suite de E2 est de la
forme : un = (λ + nµ)xno avec λ et µ réels.
∗ Si ∆ < 0, (E) admet deux racines complexes (conjuguées) z1 et z2 . On
écrit alors z1 sous la forme exponentielle : z1 = ρeiθ et toute suite de E2
est de la forme un = ρn (λsinnθ + µcosnθ) (λ et µ réels.)
Dans tous les cas, λ et µ sont déterminés par la donnée de uo et de u1 .
• Les suites un+1 = f (un )
Si la suite un converge vers l et que f est continue en l alors f (l) = l.
2
1. Soit (un ) une suite strictement positive, on suppose que :
un+1
= l avec l < 1.
n→+∞ un
lim
(a) Montrer que la suite est décroissante à partir d’un certain rang.
(b) Montrer que la suite (un ) converge vers 0.
(c) En déduire la convergence et la limite de la suite (un (x)) définie par un (x) =
réel) .
xn
n!
(x
2. Soit (un ) et (vn ) les suites définies par
un = 1 +
1
1
1
1
+ + ... +
et vn = un +
.
1! 2!
n!
n.n!
Montrer que ces deux suites sont adjacentes. On admet que leur limite commune est e.
De la double inégalité un < e < vn , déduire que pour tout n de N ∗ , il existe θn réel
unique vérifiant 0 < θn < 1 tel que :
e = un +
θn
.
n.n!
En déduire que e n’est pas rationnel.
3. Trouver un équivalent en +∞ du terme général des suites suivantes :
√
√
n+1− n
1
, b)un = (n + 1)1/n − (n − 1)1/n , c)un = (1 + )1/n ,
n
n
2
x2
(n
+
1)
d)un = nx
ln(n + 1).
, (x ∈ R∗ ), e)un = ln(n) −
n2
(e − 1)(e(n+1)x − 1)
a)un =
4. Soit n ∈ N , a et b deux réels non nuls. Trouver un équivalent en ∞ de un = sin(nπ + na ),
√
puis de vn = sin(π n2 + 2n + 2).
5. (Oral HEC) Soit n ≥ 3 et l’équation En : nln(x) = x.
(a) Montrer que (En ) admet deux racines. Soit un la plus petite d’entre elles.
(b) i. Etudier la monotonie de la suite (un )n≥3 .
ii. Etudier la convergence de la suite (un )n≥3 et déterminer l = lim un .
n→+∞
(c) Montrer que un − l ∼
1
n
.
6. Etudier la convergence de la suite (un ) par : uo = 1/2 , u1 = 1 et ∀n ∈ N ∗ , un+1 =
√
un un−1 .
7. Soit E l’ensemble des suites (un ) vérifiant (1): ∀n ∈ N 3un+2 − 7un+1 + 2un = −4.
(a) Déterminer toutes les suites (un ) vérifiant : (1) ∀n ∈ N , 3un+2 − 7un+1 + 2un = 0.
(b) Déterminer les suites constantes de E, on notera (cn ) une telle suite.
(c) Etablir qu’une suite (un ) appartient à E si et seulement si la suite (vn ) définie par
: vn = un − cn vérifie (1).
(d) Déterminer toutes les suites de E.
(e) Trouver toutes les suites (un ) de E vérifiant uo = 2 et admettant une limite finie.
8. On demande pour les suites suivantes de calculer un en fonction de n :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
uo = 4 et ∀n ∈ N , un+1 + 13 un = 4.
uo = 2 et ∀n ∈ N 5un+1 − 2un = 5.
(uo , u1 ) ∈ R2 et ∀n ∈ N , un+1 = 3un − 2un−1 .
uo = 0 , u1 = 1 et ∀n ∈ N , un+2 = un+1 − un .
(uo , u1 ) ∈ R2 et ∀n ∈ N , un+1 = 2un − un−1 .
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