Fiche démonstration

Fiche démonstration
Angles
5°
Démonstration de la propriété :
Si deux angles alternesinternes sont déterminés par deux droites
parallèles et une sécante, alors il sont égaux.
z'
x'
A
x
I
y'
B
y
z
Les angles 
x' Az et 
yBz ' sont alternes-internes.
Soit I le milieu de [AB]. Les angles 
x' Az et 
yBz ' sont symétriques par rapport
à I. Or, la symétrie centrale conserve les mesures d'angles.

Donc
x' Az = 
yBz ' .
Démonstration de la propriété :
Si deux angles correspondants sont déterminés par deux droites
parallèles et une sécante, alors il sont égaux.
Les angles 
z' Ax et 
z' By sont correspondants.

Les angles z' Ax et 
x' Az sont opposés par le sommet, donc ils sont de même
mesure.
Or, les angles 
x' Az et 
z' By sont de même mesure car symétriques par
rapport à I milieu de [AB].

Donc
z' Ax = 
z' By
Démonstration de la propriété :
Si deux angles alternes-internes sont de même mesure, alors les deux
droites coupées par la sécante sont parallèles .
z'
H'
x'
y'
x
B
y
A
H
z
Par hypothèse, 
BAH=
ABH ' .
On trace la perpendiculaire à (yy') passant par B : elle coupe (yy') en H.
On trace la perpendiculaire à (xx') passant par A : elle coupe (xx') en H'.
Les deux triangles ABH' et ABH ont deux angles de même mesure, le troisième
est donc le même.
Par conséquent 
H ' AB 
BAH= 
H ' AB
H ' BA=90 ° car ce sont les deux angles
aigus d'un triangle rectangle.
Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elle sont
parallèles entre elles.
Donc (xx') // (yy').
Fiche démonstration
Angles du parallélogramme
5°
Démonstration de la propriété :
Deux angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires.
Dans le triangle ABD :
Dans le triangle CBD :
Or les angles opposés

ABD +
 +
CBD

BAD + 
ADB = 180°

 = 180°
BCD + CDB
d’un parallélogramme sont égaux, donc 
BCD
BAD = 
De même
Dans le triangle ABC :
Dans le triangle ADC :
Or les angles opposés

 = 180°
ABC + 
ABD + CAB


 = 180°
ADC + ACD + CAD
d’un parallélogramme sont égaux, donc 
ABC = 
ADC
Si on fait la somme de 2 angles consécutifs du parallélogramme, on obtient :

ABC + 
BCD =  180 − 
ACB − 
CAB  +  180 − 
CBD− 
CDB
 = 
Or CBD
ABD car ils sont alternes-internes et déterminés par deux parallèles
(AB) et (DC) et une sécante (BD),
 = 
et CAB
ACD car ils sont alternes-internes et déterminés par deux parallèles
(AB) et (DC) et une sécante (AC).
d’où

)
ABC + 
BCD = 360−( 
ACB + 
ACD + 
BDA + CDB


= 360 − (
+
BCD
ADC )
Ce qui revient à écrire :

ABC + 
BCD + 
BCD + 
ADC = 36 0°




ABC + BCD + BCD + ABC = 36 0°car les angles opposés sont égaux
Soi t 2× 
ABC +2 × 
BCD =3 60 °

soi t
ABC + 
BCD = 1 80 °