Méthodes numériques pour la dynamique des structures non

Méthodes numériques pour la dynamique des structures
non-linéaires incompressibles à deux échelles
Patrice Hauret
A la mémoire de Jean-Marc et Lana,
A mes parents et grands-parents,
Remerciements
Le travail présenté dans les pages suivantes doit énormément à l’attention constante
et aux encouragements de mon directeur de thèse, Patrick Le Tallec, qui s’est toujours
montré d’une remarquable disponibilité malgré l’impressionante charge de son emploi du
temps, acceptant bien volontiers de prendre du temps à chaque fois que je faisais irruption
dans son bureau de l’Administration de l’Ecole Polytechnique, papiers en mains et bien
évidemment sans rendez-vous. Il m’a fait un grand honneur d’encadrer ce travail, et j’ai
eu beaucoup de plaisir à être son étudiant : merci Patrick pour cet encadrement que je
crois exceptionnel.
Les chapitres à venir doivent également beaucoup à une collaboration fructueuse avec
la Manufacture Française des Pneumatiques Michelin, essentiellement en la personne d’Ali
Rezgui qui a la responsabilité du service “Etudes et Recherches” au Centre de Technologies
de Ladoux. Par des contacts fréquents, l’entreprise partenaire a su manifester son attachement à ce travail et aux applications possibles dans le cadre de la simulation numérique du
roulage des pneumatiques. C’est une véritable satisfaction que de savoir son travail suivi
et utilisé. En particulier, je tiens à te remercier, Ali, pour m’avoir accueilli durant six mois
à Clermont-Ferrand afin de matérialiser ce partenariat à la fois instructif et enrichissant.
En ce qui concerne l’implémentation académique des outils présentés ici, je dois beaucoup à François Jouve du Centre de Mathématiques Appliquées de l’Ecole Polytechnique.
Dès mon stage de DEA, il a mis à ma disposition son code de calcul mécanique SOL et
a accepté avec bienveillance la prolifération de mes routines dans le code initial. Il m’a
beaucoup encouragé et les nombreuses discussions que nous avons pu avoir ont été pour
moi très importantes pour l’organisation des idées de ce travail.
Par ailleurs, que les deux rapporteurs de ce mémoire, Tod Laursen et Olivier Pironneau, trouvent ici ma reconnaissance pour l’attention qu’ils ont porté à l’appréciation du
manuscrit, et pour les remarques toujours constructives qui ont été formulées et qui alimenteront probablement la poursuite de recherches complémentaires. Que Claude Le Bris
et Frédéric Nataf recoivent également l’expression de ma sympathie pour avoir accepté de
faire partie du jury. Rencontrés tous deux en qualité de Professeurs, l’un à l’Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, l’autre au sein du DEA Analyse Numérique de Paris 6, ils
ont contribué à me rendre attractif cet univers si particulier de la recherche scientifique.
Ayant été formé à l’Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, ce fut pour moi un grand
honneur lorsqu’Alexandre Ern, responsable du cours de Calcul Scientifique de l’Ecole,
3
4
m’offrit de prendre en charge une petite classe d’étudiants de première année. J’ai été
extrêmement sensible à la confiance qu’il m’a témoignée, d’autant plus que cette expérience
a beaucoup compté dans mes années de thèse. Merci très sincèrement à ceux qui ont été
mes étudiants : ils m’ont apporté sans doute plus qu’ils ne l’imaginent. Merci également
aux collègues plus expérimentés qui m’ont accueilli dans l’équipe enseignante : Eric Cancès,
Jean-Frédéric Gerbeau et Bruno Sportisse, qui enseignaient tous déja alors que j’entrais
aux Ponts à Marne-La-Vallée. Eric Cancès a été une personnalité centrale dans mes choix,
et je tiens vivement à lui témoigner ma reconnaissance pour le goût qu’il sait transmettre
à ses étudiants. J’en profite pour adresser mes plus vifs remerciements à ceux qui ont été
mes enseignants dans cette Ecole, en particulier Mikhaël Balabane et Serge Piperno. Je
leur dois sans doute, ainsi qu’à l’environnement stimulant du CERMICS de m’être engagé
sur cette voie.
Le Centre de Mathématiques Appliquées de l’Ecole Polytechnique a été le refuge où est
né ce travail, dirigé d’une main experte par Vincent Giovangigli qu’il convient de remercier
pour l’ambiance conviviale qu’il contribue à faire régner dans ce laboratoire. Orchestrant la
vie de tous les jours et ses contingences, je tiens à remercier Jeanne Bailleul, Geo Boléat,
Liliane Doaré et Véronique Oriol qui nous rendent surmontables - et avec le sourire ! les méandres de l’administration. Face aux dangers sournois de l’informatique, merci à
tous ceux, experts, qui ont supporté ma présence épiphyte, en particulier Sylvain Ferrand,
notre ingénieur système, Erwan Le Pennec qui partait avec le sérieux handicap d’occuper
le bureau voisin, mais également François Jouve et Aldjia Mazari. D’ailleurs, Aldjia, soit
également remerciée pour ton implication dans les relations contractuelles du laboratoire
avec l’extérieur qui permettent des collaborations comme celles-ci, et pour la diversité
des fonctions que tu assures simultanément. Ma pensée amicale va aussi à tous ceux qui
contribuent à faire vivre ce laboratoire, chercheurs permanents, post-doctorants, invités ou
thésards. Que chacun veuille bien trouver ici un témoignage de ma plus sincère sympathie
pour les bons moments passés dans et hors des murs du laboratoire.
En terre auvergnate, je voudrais remercier les personnes du service “Etudes et Recherches” de la Manufacture Française des Pneumatiques Michelin pour avoir été d’agréables
collègues et hôtes à la fois, sous l’autorité hiérarchique de François Lestang. J’adresse à
tous ma reconnaissance pour leur accueil. Mon amicale pensée va à Jean-Michel Bellard,
Stéphane Cohade mon accueillant comparse de bureau, Philippe Edmond de Boussiers,
Adeline Eynard, Pascal Landereau, Pierre Lapouméroulie sans oublier bien sûr la maman
de tout l’étage : Colette de la Perrotière, ainsi que tous ceux qui ont contribué à rendre
agréable les six mois de mon séjour clermontois. Merci enfin à Jean-Michel Vacherand et
Ludovic Gréverie avec lesquels le CEMRACS 2001, organisé par Yves Achdou, Frédéric
Nataf et Claude Le Bris, fut l’occasion d’une collaboration fructueuse en acoustique du
pneumatique.
Enfin, un immense merci va à tous les Autres, non les moindres, présences amicales,
humaines, parents, proches et très proches de ces années indélébiles à bien des égards. En
particulier à tous Ceux, vacanciers de l’APF, ou laissés pour compte de notre Société, qui
5
par leur courage et leur grandeur m’ont infiniment plus appris sur ce qui nous contruit
que mes mots ne sauraient le dire, je dédie ces quelques pages de sueur. Je ne peux leur
adresser que de petites choses, ils m’ont appris l’Essentiel. Merci aussi, et combien, à mes
parents pour m’avoir soutenu, parfois au delà de leurs convictions propres, ce qui n’est
que plus admirable, dans mes choix et dans ce projet professionnel qui me guide sous peu
vers la Californie.
En vous souhaitant une lecture aussi agréable qu’il a été enrichissant pour moi d’écrire
ces pages.
Palaiseau, le 20 Septembre 2004,
Patrice Hauret
Table des matières
1 Introduction
1.1 Position du problème . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Le pneumatique . . . . . . . . . .
1.1.2 Quelques enjeux pour la simulation
1.1.3 Sources de difficultés . . . . . . . .
1.2 Travail de thèse et contributions . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
11
11
13
14
16
2 Eléments de mécanique des milieux continus
2.1 Dynamique des milieux continus . . . . . . . . .
2.1.1 Cinématique . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Système de l’élastodynamique . . . . . . .
2.1.3 Problème mixte en déplacement-pression .
2.2 Hyperélasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Energie emmagasinée . . . . . . . . . . .
2.2.2 Forme indépendante du référentiel . . . .
2.2.3 Isotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Viscoélasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Contact sans frottement . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
23
23
25
26
27
27
29
30
32
35
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
39
40
42
42
43
44
46
47
53
55
56
56
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Time integration in nonlinear elastodynamics
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Quasi-incompressible elastodynamics . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 The incompressible model . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Variational quasi-incompressible formulation . . . . .
3.2.3 Conservation properties . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Efficiency and semi-explicit strategies . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 A centered explicit scheme . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 A semi-implicit scheme . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Computational complexity of the semi-implicit scheme
3.4 Conservation analysis for some usual schemes . . . . . . . . .
3.4.1 General concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8
TABLE DES MATIÈRES
3.5
3.6
3.7
3.8
3.4.2 Midpoint based schemes . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Trapezoidal rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Midpoint scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5 Exactly conservative schemes . . . . . . . . . . . . . .
Dissipative schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Conservation analysis for the HHT scheme . . . . . .
3.5.2 A new dissipative scheme in the nonlinear framework
Extensions of the conservative approach . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Frictionless contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Viscoelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Numerical experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 A simple cantilever beam . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Ball impact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 A stabilized discontinuous mortar formulation
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Nonconforming setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Position of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Approximate problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Well-posedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Inf-sup condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Local rigid motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Minimal Lagrange multipliers spaces . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Standard result of coercivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Uniform coercivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Fundamental assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Generalized Korn’s inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 A Scott & Zhang like interpolation operator for mortar methods
4.4.4 Uniform coercivity result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.5 Existence result for problem (4.7) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Error estimates in elastostatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Approximation of displacements . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Approximation of fluxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Generalization to elastodynamics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Position of the problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 A midpoint nonconforming fully discrete approximation. . . . . .
4.6.3 Convergence analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Analysis of discontinuous mortar spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1 Stabilized first order elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.2 A counter example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
57
58
64
68
72
72
78
80
80
86
90
90
93
99
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
103
. 104
. 106
. 106
. 107
. 110
. 113
. 113
. 115
. 117
. 120
. 122
. 123
. 124
. 125
. 138
. 139
. 140
. 140
. 146
. 148
. 149
. 150
. 153
. 167
. 167
. 169
TABLE DES MATIÈRES
9
4.7.3 Numerical validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.4 A useful lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.5 Second order stabilized interface elements . . . . . . . .
4.8 Some numerical issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.1 Penalized formulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.2 Exact integration of the constraint . . . . . . . . . . . .
4.9 Numerical tests for discontinuous mortar-elements . . . . . . .
4.10 Appendix A : Mesh-dependent norms. . . . . . . . . . . . . . .
4.11 Appendix B : Dependence of the constant in Korn’s inequalities
4.11.1 Poincaré-Friedrichs inequalities . . . . . . . . . . . . . .
4.11.2 Dependence of the constant in Korn’s second inequality
4.11.3 Semi-norm estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Mortiers : contributions industrielles
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Formulation mortier sur une surface courbe
5.2.1 Construction des espaces tangents .
5.2.2 Construction du carreau. . . . . . .
5.2.3 Projection sur la surface . . . . . . .
5.2.4 Contrainte mortier . . . . . . . . . .
5.3 Algorithme d’assemblage . . . . . . . . . . .
5.3.1 Algorithme . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Essais numériques . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Recollements au tour de roue . . . .
5.4.2 Recollement d’un pain unique . . . .
5.4.3 Mortiers et dynamique . . . . . . . .
5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
171
175
177
183
183
188
189
202
205
206
207
211
215
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
219
219
221
222
223
225
228
230
230
232
232
235
235
238
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
241
. 242
. 244
. 244
. 245
. 250
. 251
. 252
. 256
. 256
. 257
. 262
. 270
6 Two-scale Dirichlet-Neumann preconditioners
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 A mortar formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Continuous problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Two-scale preconditioners. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Two possible definitions for D̂0 . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Condition number analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Spectral equivalence for the simple Dirichlet-Neumann . .
6.4.3 Spectral equivalence for the enhanced Dirichlet Neumann
6.5 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
TABLE DES MATIÈRES
6.6
6.7
Numerical tests . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.1 A basic two-scale model . . . . . . . .
6.6.2 Extension to a quasi-Newton method .
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Conclusion
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
271
271
276
279
281