épreuve de mathématiques sujet destiné au candidat

Sujet C17
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ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
TOUTE SPÉCIALITÉ DE BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL DU GROUPEMENT C
SUJET DESTINÉ AU CANDIDAT
Nom et Prénom du candidat :
N° :
Spécialité de baccalauréat professionnel :
Date et heure d’évaluation :
N° poste de travail :
Le sujet comporte 8 pages numérotées de 1/8 à 8/8.
Une annexe se trouve en page 5/8 et un formulaire en page 6/8.
Une fiche technique d’aide à l’utilisation d’un logiciel se trouve en pages 7/8 et 8/8.
Le sujet et l’annexe sont à rendre avec la copie.
Dans la suite du document, le symbole
signifie « Appeler l’examinateur ». Si l’examinateur
n’est pas immédiatement disponible lors de l’appel, poursuivre le travail en attendant son passage.
L’emploi des instruments de calcul est autorisé pour cette épreuve. En particulier toutes les calculatrices de
poche (format maximal 21 cm 15 cm), y compris les calculatrices programmables et alphanumériques, sont
autorisées à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu’il ne soit pas fait usage d’imprimante.
L’échange de calculatrices entre les candidats pendant les épreuves est interdit (circulaire n°99-186 du 16
novembre 1999 BOEN n°42).
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`
Les trois exercices peuvent être traités de manière indépendante.
Exercice 1 (10 points)
Le tableau ci-dessous présente le chiffre d’affaires annuel, entre 2003 et 2011, d’un laboratoire pharmaceutique qui
fabrique et vend des préparations homéopathiques.
Année
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
Rang de l’année : xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Chiffre d'affaires
(en milliers d'euros) : yi
305,5
313,1
362,6
398,7
434,3
466,7
526,1
520,4
523,2
L’objectif de l’exercice est d’estimer le chiffre d’affaires annuel prévisionnel du laboratoire en 2020 et d’étudier
l’évolution de ses ventes de préparations homéopathiques.
Partie 1 : estimation du chiffre d’affaires annuel prévisionnel du laboratoire en 2020
1.1
Ouvrir le fichier nommé « Sujet C17 question 1.1.ods ». Représenter le nuage de points de
coordonnées (xi , yi) et réaliser un ajustement affine de ce nuage de points. Recopier l’équation de la
droite d’ajustement trouvée sous la forme y ax b où a et b sont des nombres qui seront arrondis au
centième.
1.2
On suppose que l’évolution constatée entre 2003 et 2011 se poursuit pendant dix ans. En utilisant
l’équation trouvée à la question précédente, estimer le chiffre d’affaires annuel du laboratoire en 2020.
Donner le résultat en milliers d’euros, arrondi à 0,1 millier d’euros.
Partie 2 : étude de l’évolution des ventes de préparations homéopathiques
Le laboratoire a vendu 1 500 000 préparations homéopathiques en 2011. Il se fixe comme objectif que le nombre de
préparations vendues ait au moins doublé en 2016.
L’objectif de cette partie est de déterminer si l’objectif du laboratoire sera atteint en envisageant différentes
évolutions de sa production de préparations homéopathiques.
1.3
1.4
La production augmente chaque année, à partir de 2011, de 5 %.
1.3.1
Ouvrir le fichier nommé « Sujet C17 question 1.3.1.ods » et justifier le nombre inscrit en
cellule C4.
1.3.2
Compléter la feuille de calcul et indiquer si l’objectif du laboratoire serait atteint dans ce cas.
Justifier la réponse.
La production augmente chaque année, à partir de 2011, de p % où p est un nombre donné au
dixième, compris entre 5 et 20.
1.4.1
En utilisant le fichier ouvert à la question 1.3.1, faire des essais pour déterminer la plus petite
valeur de p pour laquelle l’objectif du laboratoire serait atteint.
Appel : Présenter à l’examinateur la méthode choisie, faire un essai devant lui
et indiquer la valeur de p trouvée.
1.4.2
Recopier cette valeur trouvée sur la copie.
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1.5
Détermination par calcul de la plus petite valeur de p pour laquelle l’objectif du laboratoire serait
atteint
On admet que cette valeur est la plus petite solution de l’inéquation 1 500 000
1.5.1
On considère l’inéquation 1500 000 q5
1
p
5
100
3 000 000.
3 000 000. Montrer que cette inéquation s’écrit
5 log(q) log(2) .
1.5.2
Résoudre cette inéquation. Écrire les solutions sous la forme q
b , où b est un nombre qui
sera arrondi au millième.
1.5.3
Exercice 2
2.1
Ce résultat est-il cohérent avec celui trouvé à la question 1.4.1 ? Justifier la réponse.
(4 points)
À partir des représentations graphiques ci-dessous compléter, en annexe, le tableau de variation de la
fonction g.
Pour chacune des questions suivantes, indiquer sur la copie la lettre correspondant à la réponse exacte.
Le choix fait à la question 2.2 doit être justifié.
2.2
Les cinq premiers termes d’une suite arithmétique sont : 11, 17, 23, 29 et 35. Le sixième terme de
cette suite est :
a) 39
b) 40
c) 41.
Justifier le choix fait.
2.3
Sur l’intervalle ]0 , 1] la fonction logarithme décimal est :
a) décroissante
2.4
b) croissante
Soit la fonction f définie sur l’intervalle [0 , 10] par f (x)
c) change de variation.
3x² – 9x + 3. Sa fonction dérivée f ' a pour
expression algébrique :
a) f '( x) 3x 9
b) f '( x) 6 x 2 9
c) f '( x) 6 x 9.
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Exercice 3
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(6 points)
L’objectif de cet exercice est de calculer des probabilités concernant la confiance qu’accordent les français aux
médicaments homéopathiques.
Voici les résultats d’un sondage téléphonique réalisé auprès de 1 000 personnes entre le 5 et le 11 janvier 2012 :
770 personnes font confiance aux médicaments homéopathiques ;
350 personnes ont utilisé au moins une fois des médicaments homéopathiques ;
80 % des personnes ayant utilisé au moins une fois des médicaments homéopathiques leur font confiance.
3.1
Compléter, en annexe, le tableau récapitulant les résultats de ce sondage.
3.2
On choisit une personne au hasard parmi les personnes interrogées et on considère les deux
événements suivants :
Événement A : « la personne choisie fait confiance aux médicaments homéopathiques » ;
Événement B : « la personne choisie n'a jamais utilisé de médicaments homéopathiques ».
3.2.1
Calculer la probabilité P(A) de l’événement A et la probabilité P(B) de l’événement B.
3.2.2
Définir par une phrase l’événement contraire de l’événement A, noté A .
3.2.3
Calculer la probabilité P( A ) de l’événement A .
3.2.4
Trois traductions de l’événement C « la personne choisie ne fait pas confiance aux
médicaments homéopathiques ou n’en a jamais utilisé » sont proposées ci-dessous :
cet événement est traduit par A B ,
cet événement est traduit par A B ,
cet événement est traduit par A B .
Recopier sur la copie la seule proposition exacte.
B ) de l’événement A
3.2.5
Calculer la probabilité P( A
3.2.6
En déduire la probabilité de l’événement C.
B.
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ANNEXE (À rendre avec la copie)
Exercice 2
Tableau de variation de la fonction g
x
1
8
signe de g '( x)
variation de la
fonction g
Exercice 3
Tableau récapitulant les résultats du sondage
Nombre de personnes qui
font confiance aux
médicaments
homéopathiques
Nombre de personnes qui ne
font pas confiance aux
médicaments
homéopathiques
Total
Nombre de personnes qui ont
utilisé au moins une fois des
médicaments
homéopathiques
Nombre de personnes qui
n’ont jamais utilisé de
médicaments
homéopathiques
Total
1 000
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FORMULAIRE
Fonction f
Dérivée f '
f (x)
f '(x)
ax + b
a
x2
2x
x3
3x2
u(x) + v(x)
u'(x) + v'(x)
a u(x)
a u'(x)
Suites arithmétiques
Suites géométriques
Terme de rang 1 : u1
Raison : r
Terme de rang n : un = u1 + (n–1)r
Terme de rang 1 : u1
Raison : q
Terme de rang n : un = u1 qn–1
Propriétés opératoires de la fonction logarithme décimal
a > 0 et b > 0
log(ab) log(a) log(b)
log
a
b
log(a) log(b)
log(a n ) n log(a )
Probabilités
P(A) + P( A ) =1.
Si A et B sont deux événements, alors : P(A
B) = P(A) + P(B) – P(A
B).
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FICHE TECHNIQUE D’AIDE POUR UTILISER LE TABLEUR DE LA SUITE OPEN OFFICE
 Pour créer une formule dans le tableur
Commencer la formule par le signe égal (=), suivi des éléments à calculer (opérandes), lesquels sont séparés par
des opérateurs de calcul (+ , - , * , / ...). Les opérandes peuvent être des constantes ou des cellules (A1, B10…).
La cellule A3 affichera la somme des nombres inscrits
dans les cellules A1 et A2.
La cellule C1 affichera la différence du nombre inscrit
dans la cellule A1 et de celui inscrit dans la cellule B1.
La cellule B2 affichera le produit du nombre inscrit dans
la cellule A2 par 1,5.
La cellule C3 affichera le quotient du nombre inscrit
dans la cellule A3 par celui inscrit dans la cellule B3.
 Pour recopier une formule vers le bas par exemple de la cellule A2 à la cellule A15
Sélectionner la cellule A2 contenant la formule à recopier, placer la souris dans le coin inférieur droit de cette
cellule (sur le carré noir). Cliquer et sans relâcher le clic, faire glisser la souris jusqu’à la cellule A15. La
formule contenue dans la cellule A2 est ainsi recopiée jusqu’à la cellule A15.
 Pour utiliser les icônes « Somme » et « Assistant Fonctions »
La cellule A8
affichera la
somme des
nombres
inscrits dans
les cellules A1
à A7.
puis
puis
puis
La cellule A8
affichera la
moyenne des
nombres
inscrits dans
les cellules A1
à A7.
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FICHE TECHNIQUE D’AIDE POUR UTILISER LE TABLEUR DE LA SUITE OPEN OFFICE
 Pour représenter un nuage de points de coordonnées (x , y) et déterminer une équation de la droite
d’ajustement de ce nuage de points
Dans la colonne A du tableur saisir les valeurs de x.
Dans la colonne B du tableur saisir les valeurs de y.
Sélectionner toutes les valeurs saisies puis cliquer sur l’icône « diagramme » :
Dans la fenêtre qui s’affiche (voir ci-dessous), choisir XY (dispersion) puis cliquer sur « Terminer ».
Sélectionner tout le nuage de points en cliquant sur l’un des points.
Faire un clic-droit et choisir « Insérer une courbe de tendance ».
Dans le fenêtre qui s’affiche alors (voir ci-dessous) choisir « Type de régression linéaire » et cocher la case
« afficher l’équation » puis cliquer sur « OK ».
Une équation de la droite d’ajustement s’affiche alors.