Statique appliquée DEH 04 - page 74 8.1 LE FROTTEMENT Le

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8.1 LE FROTTEMENT
Le frottement est la résistance qui s'oppose au déplacement relatif de deux corps en
contact.
Si l'on veut déplacer une table en la faisant glisser sur le sol, chacun sait que si l'on exerce une
poussée faible eu égard au poids de la table, celle-ci ne bougera pas. Or, la poussée Q est bel
et bien exercée et, si la table reste immobile malgré tout, c'est que des forces dirigées en sens
inverse assurent son équilibre :
il s'agit des forces de frottement F qui apparaissent aux contacts de la table avec le sol et qui
sont dirigées en sens inverse de la tendance au mouvement du corps sollicité.
P
Q
F
F
N
N
De même, considérons un cylindre comprimé radialement par des mâchoires : si le moment
que l'on va appliquer au cylindre pour le faire tourner est trop faible, il n'y aura pas de
mouvement de rotation.
Cette situation est due à l'apparition de forces de frottement aux interfaces "cylindre /
mâchoires" en sens inverse de la tendance au mouvement du corps sollicité et dont le
moment équilibre le moment sollicitant.
N
N
F
M
F
Ces forces de frottement ont une limite supérieure, car elles ne peuvent pas empêcher le
mouvement si les actions sollicitantes sont suffisantes.
On sait également que si les surfaces de contact entre les corps qui ont tendance à bouger l'un
par rapport à l'autre sont lisses ou lubrifiées, les efforts à fournir pour provoquer le
mouvement pourront devenir relativement faibles, ce qui laisse supposer que, dans ces cas, la
limite supérieure des forces de frottement n'est pas très élevée.
Aussi, dans le cas idéal de surfaces parfaitement lisses ou de systèmes parfaitement lubrifiés
(inexistants en pratique), considère-t-on que la résistance due au frottement est nulle, si bien
que, dans cette hypothèse, les forces de contact sont normales aux surfaces de contact.
Statique appliquée DEH 04 - page 74
Si l'hypothèse simplificatrice de surfaces parfaitement lisses n'introduit que des erreurs très
petites dans certains cas, il existe toute une catégorie de problèmes où il y a lieu de tenir
compte des forces de frottement.
Les schémas rendus libres, pour ces types de problèmes, comporteront alors des composantes
de forces normales et tangentielles aux surfaces de contact.
LE FROTTEMENT SEC.
Le frottement sec est le type de frottement qui apparaît lorsque des corps rigides, en
contact par l’intermédiaire de surfaces non lubrifiées, on tendance à se déplacer ou se
déplacent l’un par rapport à l’autre. Dans ce cas, on appelle force de frottement, la force qui se
développe entre deux surfaces non lubrifiées en contact, lorsque l'une des deux se déplace ou
a tendance à se déplacer par rapport à l'autre.
Le frottement dépend du type de mouvement (translation, rotation,...), de la vitesse, de l'état
des surfaces en contact, de la température, etc...C'est un phénomène très complexe, aussi, dans
un soucis de simplification, on se contentera de la loi de COULOMB qui régit, de façon peu
exacte mais simple et suffisante en première analyse, le frottement de glissement sec à l'état
statique.
Une vue agrandie des irrégularités des surfaces en contact aide à mieux visualiser l’effet
mécanique du frottement :
R1
R2
R3
R4
En réalité, l’appui n’est réalisé qu’au niveau des protubérances en contact, et les forces
normales N et tangentielles de frottement F, indiquées sur les schémas rendus libres aux
interfaces des corps, sont, en fait, les résultantes des composantes correspondantes des
diverses forces de contact R . Ces dernières varient en grandeur et en direction en fonction des
profils et des déformations locales des zones de contact. Lorsqu’il y a déplacement d’une
surface par rapport à l’autre, l’expérience montre que les forces tangentielles de frottement
diminuent : cela s’explique par le fait que dans ce cas, l’interpénétration des irrégularités est
moins complète.
LOI DE COULOMB
Considérons un solide de poids P reposant sur une surface horizontale possédant une
certaine rugosité. Appliquons une force horizontale Q que nous ferons croître lentement et
progressivement en grandeur depuis la valeur zéro, et ce, jusqu'à communiquer au solide une
vitesse perceptible.
Durant cette expérience, on est amené à distinguer deux domaines séparés par un état
particulier :
a) premier domaine :
Tant que la force Q ne dépasse pas une certaine valeur limite Qlim, le solide reste
immobile, donc en équilibre.
P
P
Q
Q
N
α
R
F
Le schéma rendu libre du bloc, pour une valeur quelconque de Q, inférieure à Qlim, fait
apparaître une force de frottement F égale et opposée à Q et une réaction normale N égale et
opposée à P.
En effet, les équations d'équilibre ∑ Fx = 0 et ∑ Fy = 0 donnent :
Q − F = 0 donc F = Q et N − P = 0 donc N = P et la force de frottement F est
dirigée en sens inverse du mouvement ou de la tendance au mouvement du bloc qui se
produirait si les surfaces étaient parfaitement lisses.
En fait, la force F prend la valeur strictement nécessaire pour assurer l'équilibre, c'est la force
mobilisée pour assurer l'équilibre horizontal.
La résultante R de F et N représente l'action totale exercée par le support sur le bloc, elle fait
un angle α avec la normale à la surface.
b) Etat limite :
Pour une valeur de Q = Qlim, le solide est encore juste à l'équilibre, mais il est prêt à se
mettre en mouvement : c'est l'état d'équilibre limite (c'est-à-dire le dernier état avant la mise
en mouvement).
A cet instant, la force de frottement F atteint sa valeur maximum Flim et l'angle α de la
résultante R avec la normale au plan de frottement atteint aussi son maximum et est appelé
angle de frottement ϕ.
Le schéma rendu libre du bloc donne alors :
P
P
Qlim
Qlim
N
ϕ
R
Flim
et les équations d'équilibre permettent d’écrire : Flim = Qlim et N = P.
En fait, à l'état d'équilibre limite, la force Flim, est la force de frottement maximale
mobilisable, qui assure le dernier état d'équilibre possible avant la mise en mouvement
horizontal. Jusqu'à cet équilibre limite, le bloc est resté immobile : c'est la zone dite : « de
frottement statique ».
Si on appelle Fs max, la force de frottement maximale mobilisable Flim, le schéma rendu libre
précédent permet d'écrire : Flim = Fs max = N.tgϕ et en appelant « coefficient de frottement
statique fs », le nombre sans dimension tgϕ, on obtient la loi de COULOMB qui régit
l'équilibre limite et qui s’écrit :
Fs max = fs.N
c) deuxième domaine :
Lorsque la valeur de Q dépasse Qlim = Fs max, le bloc se met à glisser, les conditions
changent, et le frottement est dit cinétique.
L'expérience montre que, dans cette situation, la force de frottement, appelée force de
frottement cinétique Fc est toujours inférieure à la force maximale Fs max, tout en restant
proportionnelle à N.
On écrit alors : Fc = fc.N où fc est le coefficient de frottement cinétique. (fc est donc
toujours inférieur à fs, de plus, l’expérience montre que fc diminue lorsque la vitesse
augmente, probablement sous la lubrification causée par un film fluide intermédiaire).
On concrétise les trois phases évoquées précédemment par le tracé du diagramme
donnant les valeurs de la force de frottement F en fonction de la charge Q :
F
Fs max
Fc
F= Q
Q
équilibre limite Fs max = fs.N
région de
frottement
statique
0 ≤ F < Fs max
région de frottement cinétique
Fc = fc.N
Remarques : - dans la zone de frottement statique, les valeurs de la force de frottement sont
obtenues à l'aide des équations d'équilibre;
- Fs max ne donne que la valeur maximum de la force de frottement et n'est
applicable qu'à l'état limite (lorsque le mouvement est imminent);
- l'angle de frottement ϕ définit clairement la position limite de la réaction R
entre les deux surfaces de contact. Si le mouvement est imminent (donc à
l'équilibre limite), R est alors la génératrice d'un cône circulaire droit d'angle
au sommet 2ϕ. Si le mouvement n'est pas imminent, R est intérieure au cône.
Ce dernier est appelé cône de frottement statique et représente le lieu de toutes
les positions possibles dans l'espace de la réaction R à l'équilibre limite:
R
2ϕ
Les expériences réalisées par COULOMB en 1781 ont montré que le coefficient de
frottement statique fs :
- est indépendant de la géométrie de la surface de contact;
- est indépendant de la composante normale de la force de contact;
- dépend essentiellement de l'état des surfaces en contact.
On trouvera ci-dessous quelques ordres de grandeur de fs. Cependant, si on doit faire un
calcul précis en se basant sur une valeur certaine du coefficient de frottement, il est impératif
de procéder à des essais qui réalisent au mieux les conditions du problème à traiter et d'en
déduire des valeurs.
acier sur acier :
acier sur bois :
acier sur pierre :
acier sur cuir :
bois sur bois :
pierre sur pierre :
béton sur sol :
caoutchouc sur béton :
teflon sur acier poli :
0,15 à 0,60
0,20 à 0,60
0,30 à 0,70
0,30 à 0,60
0,25 à 0,50
0,40 à 0,70
0,25 à 0,90
0,60 à 0,90
0,02 à 0,05
(les valeurs correspondantes de fc peuvent, en première approximation, être estimées
à environ 75 % des valeurs précédentes)
Si dans un problème pratique, la connaissance de la valeur du coefficient de frottement a une
grande importance, il sera toujours prudent d’effectuer des essais.
PROBLEMES TYPES
On rencontre généralement trois types de problèmes qui font intervenir le frottement.
Premier type
Dans le premier, on n'est pas à l'état limite, donc le mouvement n'est pas imminent.
Par conséquent, les forces de frottement peuvent être plus petites que leur valeur maximale
Fs max et seront déterminées par les équations d'équilibre uniquement.
On demande généralement dans ces problèmes si le frottement existant est suffisant pour
maintenir le corps en équilibre.
Pour répondre à cette question, on suppose d'abord que l'équilibre est réalisé, on trouve alors,
par les équations d'équilibre, les valeurs des forces de frottement à mobiliser et on les compare
avec les valeurs des forces de frottement maximales mobilisables Fs max = fs.N.
Si les valeurs trouvées sont inférieures aux valeurs limites, l'équilibre existe; dans le cas
contraire, il y aura mouvement et les forces de frottement réelles seront à calculer à l'aide du
coefficient fc.
Exemple : soit à vérifier si la barre dans la situation suivante est bien en équilibre :
contact lisse
C
4m
40 N
fs = 0,30
A
2m
Pour ce faire, on dessine le schéma rendu libre de la barre et on écrit les équations
d’équilibre :
HC
4m
40 N
FA
∑ F. hor. = 0
→ FA = HC
∑ F. vert. = 0
→ NA − 40 = 0 → NA = 40 N
∑ M./A = 0
→ −40.1 + HC.4 = 0
→ HC = 10 N → FA = 10 N
Or la force de frottement maximale mobilisable
Fsmax = fs.N = 0,30.40 = 12 N.
NA
2m
La force de frottement strictement nécessaire à
l’équilibre FA = 10 N étant inférieure à Fmax =
12 N, la barre est bien à l’équilibre !
Deuxième type
Dans le second type de problèmes, on sait que l’on est à l'état limite, le mouvement est
donc imminent.
Dans ce cas, les forces de frottement ont atteint leur valeur maximale Fs max = fs.N et les
équations d'équilibre utilisées avec les Fs max fourniront les quantités inconnues au départ,
dans l’hypothèse d’un mouvement imminent.
Exemple : soit à rechercher la valeur de la charge Q qui, appliquée à la barre de poids P,
rendra son mouvement (de glissement) imminent :
contact lisse
0,50m
Q
C
4m
40 N
fs = 0,30
A
2m
Pour ce faire, on dessine le schéma rendu libre de la barre dans la situation d’équilibre limite
et on écrit les équations d’équilibre :
0,50m
Q
HC
∑ F. hor. = 0
→ Fsmax = HC = 0,30.NA
∑ F. vert. = 0
→ NA − 40 − Q = 0
→ NA = 40 + Q
4m
40 N
Fsmax
∑ M./A = 0
→ −40.1 − Q.1,50 + HC.4 = 0
→ HC = 0,30.(40 + Q)
→ −40.1 − Q.1,50 + 0,30.(40 + Q).4 = 0
NA
2m
→ 0,30Q = 8 N → Q = 26,667 N
Troisième type
Le troisième type de problèmes comporte des situations où différents mouvements
imminents sont plausibles.
Il faut alors les envisager un à un sous forme d’hypothèse, en considérant des forces de
contact (Fs max et N) aux surfaces où le mouvement est imminent et (F et N) là où il n'est
pas imminent.
Les équations d'équilibre fourniront les inconnues et des vérifications, par comparaison de
fs.N avec Fs max, seront nécessaires à effectuer, là où le mouvement n'est pas imminent pour
confirmer ou infirmer l’hypothèse de départ.
Exemple : soit à rechercher la valeur de la charge Q qui, appliquée à la barre de poids P,
rendra son mouvement (de glissement) imminent :
contact lisse
0,50m
Q
C
4m
40 N
fs1 = 0,30
B
fs2 = 0,20
0,20m
20 N
A
2m
Dans ce cas, deux mouvements imminents sont à envisager, donc deux hypothèses
doivent être formulées et vérifiées :
- la barre seule est sur le point de bouger;
- la barre et le bloc sont sur le point de bouger ensemble.
Hypothèse 1 : la barre seule est sur le point de glisser sur le bloc !
Dans ce cas on dessine le schéma rendu libre de la barre dans la situation d’équilibre limite et
on écrit les équations d’équilibre :
0,50m
Q
HC
4m
40 N
Fsmax
∑ F. hor. = 0
→ Fsmax = HC = 0,30.NB
∑ F. vert. = 0
→ NB − 40 − Q = 0
→ NB = 40 + Q
∑ M./B = 0
→ −40.1 − Q.1,50 + HC.4 = 0
→ HC = 0,30.(40 + Q)
→ −40.1 − Q.1,50 + 0,30.(40 + Q).4 = 0
→ 0,30Q = 8 N → Q = 26,67 N
NB
2m
→ NB = 66,67 N et Fsmax = HC = 20 N
Vérification de l’hypothèse 1 : en faisant le schéma rendu libre du bloc de 20N dans
l’hypothèse où il n’est pas sur le point de bouger, on obtient :
66,67 N
20 N
FA = 20 N et NA = 86,67 N
FA
20 N
Or en A, Fsmax = 0,20.NA = 17,33 N < FA
NA
→ la force de frottement strictement nécessaire pour assurer
l’équilibre du bloc A (FA = 20 N) ne peut donc se produire et
l’hypothèse de départ est fausse !
Hypothèse 2 : la barre et le bloc sont sur le point de glisser ensemble sur le sol !
Dans ce cas on dessine le schéma rendu libre de la barre et du bloc dans la situation
d’équilibre limite en A et on écrit les équations d’équilibre :
0,50m
Q
HC
∑ F. hor. = 0
→ Fsmax = HC = 0,20.NA
∑ F. vert. = 0
→ NA − 20 − 40 − Q = 0
→ NA = 60 + Q
4m
40 N
∑ M./A = 0
→ −40.1 − Q.1,50 + HC.4,20 = 0
→ HC = 0,20.(60 + Q)
B
→ −40.1 − Q.1,50 + 0,20.(60 + Q).4,20 = 0
0,20m
20 N
Fsmax
→ 0,66Q = 10,4 N → Q = 15,76 N
→ NA = 75,76 N et Fsmax = HC = 15,15 N
NA
2m
Vérification de l’hypothèse 2 : en faisant le schéma rendu libre de la barre dans l’hypothèse où
elle n’est pas sur le point de bouger par rapport au bloc A, on obtient :
0,50m
15,15 N
15,76 N
4m
40 N
FB
NB
2m
∑ F. hor. = 0
→ FB = 15,15 N
∑ F. vert. = 0
→ NB − 40 − 15,76 = 0
→ NB = 55,76 N
Or en B, Fsmax = 0,30.NB = 16,73 N > FB
→ la force de frottement strictement nécessaire
pour assurer l’équilibre de la barre (FB = 15,15 N)
peut donc se produire et l’hypothèse de départ
est correcte !
Remarque :
Un type de problèmes supplémentaire pourrait traiter des cas de corps en mouvement, dont les
forces de frottement seraient alors calculées directement par la relation Fc = fc.N.
CAS PARTICULIER DES CORPS CIRCULAIRES
Lorsqu'un objet circulaire ou cylindrique est à l'état d'équilibre limite, il peut être sur le
point de glisser ou de rouler.
S'il est sur le point de glisser, la force de frottement au point de contact aura sa valeur
maximale Fs max = fs.N.
P
P
M
R
Q
Fs max = fs.N
Fs max = fs.N
N
N
S'il est sur le point de rouler, la force de frottement F au point de contact sera inférieure à sa
valeur maximale Fs max et sera déterminée à l'aide des équations d'équilibre.
P
P
M
R
Q
F
F
N
N
Des considérations précédentes, il apparaît que plus le coefficient de frottement fs sera élevé,
plus il y aura de chances que la force de frottement F, mobilisée pour assurer l'équilibre, soit
inférieure à la force maximale mobilisable, donc que le corps soit sur le point de rouler !
EQUILIBRE GLOBAL
Lorsqu'un bloc de poids P, de base b et de hauteur h est soumis à une force horizontale
H (à mi-hauteur par exemple), les déplacements possibles de ce bloc sont :
- une translation horizontale (glissement), mais aussi :
- une rotation globale autour d'une des arêtes de sa base (renversement).
b
H
P
H
h
P
H
P
A
On considère que l’équilibre global du bloc est assuré s'il ne peut ni glisser, ni basculer !
Cela conduit donc à effectuer, séparément, les deux vérifications.
Vérification au glissement :
La vérification au glissement ne fera intervenir que les forces H, appelée la force sollicitante,
et Fs max , appelée la force stabilisante (avec Fs max = P.fs) .
Il n'y aura pas de glissement tant que Fs max sera supérieure ou égale à H.
H
H
P
P
état limite
de glissement
Fs max
F
e
e
P
P
Vérification au renversement :
La vérification au renversement (c'est-à-dire à la rotation du bloc autour de l'arête A) fera
intervenir les moments par rapport au point A et les seules forces qui interviendront, sont alors
H et P, permettant de calculer le moment sollicitant Msoll = H.h/2 et le moment stabilisant
Mstab = P.b/2.
Il n'y aura pas renversement tant que Mstab sera supérieur ou égal à Msoll.
H
H
P
P
état limite de
renversement
F
e
F
e max
P
P
Il est très important de remarquer que les efforts stabilisants (Fsmax et Mstab) ne se manifestent
qu'au moment où la structure est sur le point de bouger, c'est-à-dire aux états d’équilibres
limites, respectivement de glissement et de basculement
COURROIES DE TRANSMISSION ET LIENS FLEXIBLES
Le frottement qui se développe entre les courroies, cordes ou câbles et les poulies,
tambours ou cylindres, empêchant le glissement des uns par rapport aux autres, est très
important dans les dispositifs de transmission de tous types, freins à bandes et appareils de
levage.
Considérons un tambour cylindrique sur lequel est enroulée une courroie plate dont les deux
brins sont soumis aux efforts de traction T1 et T2; soit M le moment résistant qui empêche le
tambour de tourner.
On se propose de rechercher la relation entre les efforts T1 et T2 lorsque la courroie est sur le
point de glisser par rapport au tambour.
dθ
θ
β
M
T2
r
T1
Avec le sens indiqué pour M, il est clair que l'on part de l'hypothèse T2 > T1. La courroie a
tendance à glisser dans le sens trigonométrique, dès lors, les schémas rendus libres de la
courroie et du tambour sont les suivants :
T2
T1
Le schéma rendu libre d'un élément de courroie de longueur r.dθ est représenté ci-dessous :
y
dθ/2
dθ/2
dN fs.dN
x
T
T + dT
dθ
La traction dans l'élément varie de T à T + dT pour une ouverture angulaire dθ. Soit dN la
force radiale exercée par le tambour sur l'élément de courroie considéré. Quant à la force de
frottement, la courroie étant sur le point de glisser dans le sens trigonométrique, elle vaudra
fs.dN et sera dirigée vers la droite.
L'équation d'équilibre dans la direction x donne :
T.cos dθ/2 + fs.dN = (T + dT).cos dθ/2
Or, du fait que dθ est un angle très petit, on peut considérer que cos dθ/2 = 1, ce qui donne :
T+ fs.dN = T + dT , ou encore : fs.dN = dT.
L'équation d'équilibre dans la direction y donne :
dN = (T + dT).sin dθ/2 + T.sin dθ/2
Or, du fait que dθ est un angle très petit, on peut considérer que sin dθ/2 = dθ/2, ce qui donne:
dN = T.dθ/2 + dT.dθ/2 + T.dθ/2, ou encore : dN = T.dθ, car le produit
dT.dθ/2 est un infiniment petit du second ordre négligeable vis à vis des
autres termes.
En éliminant dN des deux équations fs.dN = dT et dN = T.dθ, on obtient :
fs.T.dθ = dT, ou encore dT/T = fs.dθ.
L’intégration entre les limites correspondantes fournit :
∫
T2
dT / T =
T1
∫
β
fs .dθ ou encore :
0
lnT2/T1 = fs.β et la résolution par rapport à T2 donne finalement :
T2 = T1.eβfs
Rappelons que cette relation ne peut être utilisée que lorsque la courroie ou la corde est sur le
point de glisser et que T2 a été considéré plus grand que T1 (T2 représente donc la traction
dans le brin qui tire, tandis que T1 représente la traction dans le brin qui résiste).
Quant à β, c’est l'angle total embrassé par la courroie sur le tambour et doit être exprimé en
radians (si une corde fait, par exemple, n tours sur un tambour, l'angle β sera égal à 2πn
radians).
A l'aide de la formule T2 = T1.eβfs on pourra ainsi étudier les problèmes comportant :
- des cordes, câbles ou courroies enroulés autour de piliers, poulie ou cylindres fixes;
- des dispositifs d’entraînement ou de freinage (dans ce cas, le tambour veut tourner tandis que
la bande est fixe, ce fait est très important pour la désignation des efforts T1 et T2);
- des courroies de transmission (dans ce cas poulie et courroie tournent ensemble à vitesse
constante et il faudra déterminer si la courroie glisse ou non sur la poulie puisque c'est ce
glissement qu'il faudra éviter. Notons que dans ce cas la rotation a pour effet d'éloigner la
courroie de la poulie, ce qui a pour conséquence une réduction des forces de frottement ;
l'erreur est d'autant plus grande que la vitesse de rotation est importante).
Enfin, notons que si la courroie ou la bande est en glissement, on pourra encore utiliser la
même formule mais en y utilisant le coefficient de frottement cinétique fc en lieu et place de
fs.
CAS DES COURROIES TRAPEZOÏDALES
Il est souvent fait usage de courroies de transmission de section trapézoïdale avec
lesquelles le contact se fait par les faces latérales de la courroie et de la gorge de la poulie.
α
Une relation analogue à la précédente, entre les efforts dans les brins T1 et T2, peut être
établie lorsque la courroie est sur le point de glisser, à l’aide des schémas rendus libres
suivants :
y
z
α/2
dN
y
α
α/2
2 fs.dN
dθ/2
dθ/2
dN
2 dNsinα/2
T + dT
x
T
L'équation d'équilibre dans la direction x, sur le schéma de droite, donne :
T.cos dθ/2 + 2 fs.dN = (T + dT).cos dθ/2
Or, du fait que dθ est un angle très petit, on peut considérer que cos dθ/2 = 1, ce qui donne :
T+ 2 fs.dN = T + dT , ou encore : 2 fs.dN = dT.
L'équation d'équilibre dans la direction y donne :
2 dNsinα/2 = (T + dT).sin dθ/2 + T.sin dθ/2
Or, du fait que dθ est un angle très petit, on peut considérer que sin dθ/2 = dθ/2, ce qui donne:
2 dNsinα/2 = T.dθ/2 + dT.dθ/2 + T.dθ/2, ou encore : 2 dNsinα/2 = T.dθ, car le
produit dT.dθ/2 est un infiniment petit du second ordre négligeable vis à vis
des autres termes.
En éliminant dN des deux équations 2 fs.dN = dT et 2 dNsinα/2 = T.dθ, on obtient :
2 fs.T.dθ / 2sinα/2 = dT, ou encore dT/T = fs.dθ / sinα/2.
L’intégration entre les limites correspondantes fournit :
T2
∫T 1
dT/T =
β
∫0
fs .dθ / sinα/2 ou
encore : lnT2/T1 = fs.β / sinα/2 et la résolution par rapport à T2 donne finalement :
T2 = T1.eβfs / sinα/2

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