27.4 - Champ créé par un ruban

Physique
ELECTROMAGNETISME
EXERCICE D’ORAL
-EXERCICE 27.4• ENONCE :
« Champ créé par un ruban »
Soit un ruban illimité de largeur 2a, parcouru par des courants superficiels permanents
et uniformes d’intensité I : calculer le champ magnétique en tout point d’un axe Oz
perpendiculaire au ruban et passant par le milieu de ce dernier.
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Christian MAIRE
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Physique
ELECTROMAGNETISME
EXERCICE D’ORAL
• CORRIGE :
« Champ créé par un ruban »
♦ Ici, « l’astuce » consiste à considérer le ruban comme la juxtaposition d’une infinité de
fils de largeur dx, parcourus par un courant élémentaire dI, comme on peut le voir sur la figure
ci-dessous :
!
ey
!
ez
z
!
er
!
eθ
I
!
ex
M
α
I
O
r
dx
x
2a
2a
!
!
B( M ) sera porté par ex ; pour un fil
I
dx , nous avons :
illimité de largeur élémentaire dx et parcouru par un courant dI =
2a
! µ dI ! µ Idx !
µ Idx
cos α (seule la composante selon Ox nous intéresse)
dB = 0 eθ = 0
eθ ⇒ dBx = 0
2π r
4π ar
4π ar
zM
µI
Par ailleurs : cos α = z M / r et: tan α = x / z M ⇒ dx =
dα ⇒ dBx = 0 dα ; il vient alors :
2
cos (α )
4π a
♦ Le plan yOz étant plan de symétrie des courants,
!
µI
a
B( M ) = 0 α max avec: α max = arctan( )
2π a
zM
♦ Etudions maintenant les cas limites :
•
a / z M " 1: alors tan(a / z M ) # a / zM ⇒ B ( M ) #
µ0 I
; on retrouve le champ créé par un fil
2π z M
illimité parcouru par un courant I (à grande distance, le ruban est assimilable à un fil)
µ 0 I µ 0 jS
I
=
avec: jS =
; on retrouve cette fois le
4a
2
2a
champ créé par un plan parcouru par des courants superficiels uniformes de densité jS (pour
•
a / z M $ 1: alors α max # π / 2 ⇒ B( M ) #
un point M « collé » au ruban, ce dernier apparaît comme une surface plane illimitée)
Rq1 : des connexions en « ruban » sont fréquentes en électronique ou informatique.
Rq2 : on remarque une nouvelle fois la simplicité de l’intégration en variable angulaire.
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