Devoir Dynamique des Structures

Devoir à la maison
Dynamique des Structures – Année 2015
Remis le 24 mars - A rendre le 7 avril 2015
ETUDE du comportement dynamique d’un plancher process d’une usine de production de haute
technologie
A) Description de la géométrie de la structure :
Le bâtiment étudié est une usine de fabrication de composants miniaturisés de l’industrie des hautes
technologies. Ce bâtiment est composé de 3 parties :
-
Un plancher process,
Deux ailes recueillant les fonctions supports,
Une charpente métallique couvrant la zone process.
Nous restreignons notre étude au plancher process sur lequel reposent les outils les plus sensibles
aux vibrations de faible amplitude. Ce plancher est composé de 3 niveaux : RDC, niveau 1 et niveau 2.
Les poteaux sont de section carrée de dimensions 80cm x 80cm. Les poteaux sont positionnés tous
les 6m dans les deux directions (axe longitudinal et transversal de l’usine).
Le plancher du niveau 1 est assimilé à une dalle pleine de 30cm d’épaisseur.
Le plancher du niveau 2 est assimilé à une dalle pleine de 60cm d’épaisseur.
Les poteaux sont supposés encastrés au niveau du sol. La distance entre la fibre neutre du plancher
niveau 1 et l’encastrement est de 6m, celle entre les fibres neutres des planchers du niveau 1 et
niveau 2 est de 6m.
Les caractéristiques du béton utilisé sont :
-
Module d’Young : E = 33 GPa
Densité : 2500Kg/m3
Etant donné la périodicité spatiale de la structure, nous limitons notre étude à l’étude d’un poteau
supportant une trame de 6m x 6m de dalles. De plus, nous ne regarderons que les déplacements
horizontaux dans l’axe transversal de l’usine.
1) En supposant que la raideur des dalles est très grande par rapport à la raideur en flexion du
Poteau, calculer les raideurs et masses généralisées k* et m* du poteau en considérant les
coordonnées généralisées u1 et u2 correspondant aux déplacements horizontaux
respectivement de la dalle du niveau 1 et celle du niveau 2.
2) En déduire les matrices de raideur et de masse en intégrant les masses des planchers.
3) Calculer les pulsations propres et modes propres de la structure.
Dans la suite du devoir, nous considérerons un amortissement constant sur l’ensemble des modes
propres de ξ = 5%.
B) Dimensionnement de la structure au séisme :
On suppose que le bâtiment repose sur un sol de classe C pour un bâtiment de catégorie
d’importance 3 dans une zone sismique 4. La réglementation Française donne le spectre de réponse
ci-dessous définit par les caractéristiques :
Avec :
Ag=1.6*1.2=1.92m/s2
S = 1.5
η=1
TB = 0.06 s ; TC = 0.4 s ; TD = 2 s.
On suppose que le système ne répond que suivant son premier mode propre.
1) Calculer le déplacement du niveau 2,
2) Calculer les efforts de cisaillement et les moments de flexion pour un mode,
3) Que deviennent-ils (déplacement, cisaillement et moment de flexion) lorsqu’on considère les
deux modes ?
C) Dimensionnement de la structure aux vibrations de faible amplitude :
Les exigences des machines outil de process étant très faibles, il est nécessaire de faire une étude de
comportement de la structure aux vibrations de faibles amplitudes. Les sources des vibrations sont
multiples : Vibrations ambiantes (autoroute, circulation automobile et piétonne, survol d’avions,
écoulements de vents sur les façades, …), vibrations liées aux équipements (pompes,
transformateurs, …) ou à la marche des opérateurs (modélisation du comportement d’un ou
plusieurs piétons).
Afin de simplifier ces sources de vibrations, nous considérerons une vibration sinusoïdale horizontale
appliquée au niveau du plancher du niveau 1. Cette vibration est modélisée par une force
horizontale :
FV = A sin (Ωt )
Où :
-
A est l’amplitude de la force en N,
Ω est la pulsation de la force en rad/s.
On suppose que la réponse transitoire est négligeable devant le terme entretenu, calculer le
déplacement maximal.
1) En supposant que la structure ne répond que suivant son 1er mode, qu’elle est l’expression
du déplacement du niveau 2 ?
2) Dans le cas où les 2 modes contribuent à la réponse, que devient cette expression ?
3) Application numérique :
A =2000N,
Ω=2πf avec f = 3.5Hz,
4) Les équipements installés tolèrent uniquement des déplacements inférieurs à 24 µm. Qu’en
déduit-on ?
D) Etude d’un dispositif de limitation des déplacements : Oscillateur harmonique accordé :
Afin de limiter les déplacements, il est possible d’installer des systèmes oscillants positionnés
directement sur la dalle supportant les équipements les plus sensibles aux vibrations. Ces systèmes
sont représentés dans la photo ci-dessous.
(Source : www.ihi.co.jp)
Ces systèmes sont conçus afin d’avoir une masse mobile connectée au reste de la structure par
l’intermédiaire de ressorts dont la raideur est définie de manière à ce que la pulsation propre de
l’oscillateur soit celle du mode propre de la structure le plus pénalisant. On parle d’oscillateur
harmonique accordé.
Dans notre cas d’étude, le mode prépondérant est le mode 1. On suppose que la masse mobile de
l’oscillateur est 𝑀0 =
𝑀2
10
où (M2 est la masse du plancher du niveau 2).
1) En déduire la raideur de l’oscillateur.
2) On suppose que l’installation de l’oscillateur harmonique accordé se fait directement au
niveau de la masse 2. Représenter sur un schéma le système intégrant l’oscillateur
harmonique accordé à l’aide de masses et de ressorts.
3) Quels sont les nouveaux modes propres et les nouvelles pulsations propres ?
On applique la même force vibratoire qu’au chapitre précédant sur la masse 1.
4) Quel est le déplacement maximal de la masse 2 en considérant l’ensemble des modes
propres et en négligeant la partie transitoire de la réponse ?
5) En déduire l’intérêt de l’oscillateur harmonique accordé.