( voir la figure ) : on se d é place sur le segment j oignant x`ay, et on
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( voir la figure ) : on se d é place sur le segment j oignant x`ay, et on
1692 Fr é d é ric Le Roux ( voir la figure ) : on se d é place sur le segment j oignant xày, et on y é crit les è chesa uf ure t à m esure ; es notdef chesve t − r icales co dentla dynamique sur les bords des composantes de Reeb , les è chesh orizontalesc od ent la dynamique à l ’ int é rieur d ’ une composante ( ce procé d é est pré cis é plus bas ) . 1. 2 Les hom séomorp−p hismes de Brouwer a 2, 1. Da nu n cer an em esre on p ustl e v or com m u n g´ ´r lisa to n Pd oincare ´m−− Ben dx on , e qout u t mp ss Φ n d uot p ob enu eeff en ntet grant`su nte cham e dp dev cteurse t i saspoin fi x , ces tt do n c unom morphism ed eBr ou w er . E n f a , e tho eme n de Poin r ´ e – Be n ix o ns ege e ´ra seax hm eomorp his mes deB rouwe : l à aussi , l ayaa bs n cede s´cu rre n e , tto u tu oorbit ep art à ’ nfi i . L ’ anaog cul mn eav e ce e lbre th re med estran at on e splane sd eB ouwr : on peu lteec u v irle planp ar `d s do mane sd eranstion , q is on de su v e s , con n ex s , sim le mn tcon ne s , n varan ts at r h, a su es ueslt arestrcto t n de h esttri vap e , c e0 e t a d e xconju gu e i à une t r n laion a qffine d u l a in.iE n P e ut −onci p ous s − e r h p us o l in p cer ttee n e l − a ogiea o v − ecp lesfeuillt eta es ? en L al t − térau−tdr−es re o rge d ’ exem pl es d ’ ho mé o mor phsme eB swd ` s s d ff − i i ér ntsde. e − c ux rovenant d0 un ch r u ouwer coexo i − trqu es , q uis emblent tr e − amp de et eu r − s( voir [19 , 1, 5, 7, 25parenright − brackright Me m esi on se lim i − t e aux dyn amiques o t nue enre col a − ln td e − u x tr nslai n comma − s ilfaut ab ando nerl quoteright − id´ e d ’ o bte ir unec l − as − si − ficat on com pl è te ( v or [28], [2five − brackright, l − quoterighton poi ntde vue a tice l es ten q u elq ue so rt co mépl m entai e e − dc e l ui d e[3] N l v ai e d@ mesirs−e ul tt u s el e − ctclede t ma une−grave−irerp nusp res re.d e tr a n ousde i ´ l s iff e rnes qu ’ on an a y s a itl à en d ét al . Ave c c − ep.3n tD es s − lt − aio ns ,e no ubia t to ut s o r u r comma − ptio un ade s − résnutats r l etheo re me d ’ ex iste n c − e de com p o s ane s dG e ome e − t y eAmpersandT o − opoogy d eV o − suum ep 9u − parenleftetwo−r5 ) eu i l eta g s − e, e t e ndd u i re a co ns ru ti o n d ’ un nva r ian d ec o ju aio s n c om bina oie qu ´en d le co a g e esq us ś e de et etbrackleft − three]où cévonsm us u hat . Structure des hom é omorphismes de Brouwer 1693 Distance de translation Soit h un hom é omorphisme de Brouwer . Étant donn é s deux points distincts x et y, on note dh (x, y) le nombre minimal de domaines de translation de h dont la r é union est connexe et contient x et y. Ceci d é finit une distance sur le plan . On d é finit é galement la h – longueur d ’ un arc , c ’ est le nombre minimal de morceaux dans un d é coupage en sous - arcs li bres ( un ensemble E est li bre si h(E)∩ =⇒∈ existential − f our − three − three − period − f our − hyphen.arrowlef t − J O arrowlef t − negationslash − nm − infinityn − existential − period − zero − oexistential − zero − tinf inity−r e ← a T − obracelef t − rs←q inf inity − einf inity − period − zero∃ d s − t ance d (x, y) c ı̈ ncide a ec l − a p us c urte o − l ngueur d s a csjo i gnant x y L s a cs r a l − is ant l m nim ums nt ´ e a cs g eodésir ques . D ´ e m o − r phism e n omm s − n − as l − e s o u el − quoteright h om o − h e t o tenu e n n − i t é grant u nc a mpd ev cteurs , l e om b − r e d (x, y) c ı̈ ncide a ec l − ebn om r − b e d q iap paraı̂ t d nsle t é or èm ed e S cto n 1 1( om b − r e m nim umd ec rtes d uf ui l − l et age d ntla hr union et nnexe e c nt i − e nt x e y. S rl ’ x em l − p e d ea eF gure 2 l e se gm e − n t [ y] e t na c g odé sique d e h longueur ´ e ale à3 omp o − s antes d eR e − eb a u tre p rt−comma n us g né ra l − i s o nsla n tion d ec m - sante d eR eb d la m a − n i è0 re s ivante . E sent i − e lle m n − e t , o nd tq ´ e set co nnexesdu ’ u nc uple , G) d ep rte sdi s − jointes,fe r m e − p an e tun e c − o m o − p sante d eb p ur u nc uple d ep ints (, y) s F s pare x e G ∪ {} ( u b en F c nt i − e nt x, G s pare y e F ∪ {} ( u b en G c ntient y, pr oduit F × G e t po si−t iv e m n − e t o ub en n gatv e m e − n tsi ngu i − l er , i . . u tco uple (V, W ) d o u vertsre ncontrantre spec tv em e − n t F e G i l ex i t − s e ste m p − s n p st−i ifs ’ a bi t − r airem n − e tgr andste l − s q e h(V ) r ncontre W, ub en p urto u tco uple (, W ) d o u vertsre ncontrantre spec tivem e − n t F G i l ex i s − t e d ste m s − p n n gatfs a bi t − r airem n − e tgr andste l − s q e h(V ) ncontre W. ro − Afie m − r − So−pq n − etc−t s − te − s − te − o − tny−d pur d − fi − dn−o e − n − i − uni−x−t eo−acute−ep−n so−e−i r − t − t − n − ho − ´p − er − u − grave − et−commamv−e−e m − n − a − p − ro − po − an−ui−v−te−e s ao − il−c−s−a t − d − eo − rp − e − exo−a−d−l g − s − te−ie−e−f−m e − u − du−i−nl−t−le d − t − pla−an−g−minus period−ec−n e−colons−one O o − m et y − r AmpersandT o o−l−o , V o u−l m e 9(0 f ive − parenright Structure des hom é omorphismes de Brouwer 1 707 ´ − eo − ou−mv−p e r − os − ti − c − to − on−nn m − ei−x n − e O − Cn − e t e − en s − de − on−m n − bl − ee e − n s t − ed − uc − n l a − notdef n parenleft − equalp − notdef ou r − asteriskmath l periodcentered−aasteriskmath−td−l o−notdefpo o g − u i ´ lo−e )d−comma s − et − iu − e s e − t parenleft − i e − nu − as − rc−u g − e l e − ri a − oneparenright−n−period d−nvgreaterequal−a è t par h : en effet , d ’ apr s la d é finition de dh , B1 (x) est l ’ union des D − dof i−m−ea−nii−nt−e−io−s n− ´ translation contenant x, et Br (x) est l ’ union des domaines de A − trffi−an r−s l a − m t a − it−on−i n − r e n − threeperiod − co − onezero−n tr a − So−n t B − iruone−n (e − xparenright − n. ` ic − parenrighth − intersectionplus−arrowdblright−es−one element − negationslash − equal − ho−brackrig parenleft − F − hlae − 3.one − three ( te sque d s p r u etr y AmpersandT o plogy , V o um r oo m ´s l les i − ne − acute − t r ieu s d − e 1 e t D2 s ont di j − s oint ; •D e t D sontlibr s . o s o s ma i n e − n a n q u e à− d e q u l − i e x i t e u np au x nte re u rsde D1et D2, au tr e m en (x)ap p ri n n − et − nres pectv em en D2 e9(0) e t Structure des hom é omorphismes de Brouwer 1 71 1 si pour tous voisinages Vx et Vy de x et y resp ectivement , il existe un entier positif n tel que hn (Vx )∩ ⇒6= element−emptysetT −brackrightO−arrowleft−J n − element − R − slashn − arrowleft − negati e r − existential − period − zeroaexistential−zeroinf inity−S n − arrowleftg − T − parenleftbracelef t−h)arrowlef t−comma e − unive mapsto o n arrowlef t − ap − arrowleft − zero − p e − T − le−arrowleft−d r − uniona⇐e se m l − b e nguli−e r d e h l ’ e n se m l − b e d s c u p − l es s ng l − u iers d e h. o − i ci q e − u lques e em p − l es . L at anslation τ : ( , y) 7→ x + 1y) n a dm t − e a cu n ´ e m o − r phism ed eR e − e b ( uple d ep o − i nts s ng l − u iers . P o − ur l h om o − epr é sent é s r oF gure 1 , l e n se m b − l e s ng l − u ier e t l e n se m b − l e d s c uples ( , y) o u x e y p a − r tiennent r spec tivem n − e t a uxb o − rds s p é rieur e i f é rieur d el b n − ade tB . nf it , o np e − u t v ir q e − u s h e t l − e t e mps 1 d u no , al o rsl ’ e n s em b e − l sin gul i − e r tla ar union d s p od u − its ∆0× ∆1d s b r − o0ds d ec omp o − s antes d eR e − e b (∆, ∆) u s ns d el d finition d n n − acute − e e e ni trod c − ution d ec et xte ) . su it d e l − a d finition q quoteright − u u nc uple (, y) e t s ng u − l ier p u − o r hminus − one s et s ule m n − e t l cu p − l e ( , x) e t s ng l − u ier p o − u r h . u − os v rrons p us l in q u−e h n a l êpmee sem ql−b e Bs (ngxu − lieré sq u − en h s bon ≥ d1 ( o − a ir onl s − one c omm n − e ta t − ieres xq i − uo usaivent d l − s e − nmme5 r − six) a − periodns laditn anc dh e m e u i a t b u p e e t n u er . em m 4 . 2 ( Co u pss ng uier e t h – d it nc e S oit (x, y) u ncoupl s ng e h . Ao rs dh(x, y euve U n e ansation n ’ ad met pa sde couple ngul er , p a ru itel nepeu t se x i e rde do m a in d e ra s a ion de h e dh , y) . u−l ier e u n d o − m ine d e t an l ai o n c ont n − ea n x : c0 es un v isain g e d e x , e t e t p rh . L a d fi n c s ans cB(x), on c y u re∈Ad h (B1(x). e C o ms e B 1x)nneecont nt p a , c est que dy ∈ ∂B1 x) dO ne nd ´ edu tqu etou td oman e d eran sat on q ui 0 ntient y en o tre B1 (x), e donc u e dh(xy) = 2. l o r c q r né m n xérale des composantes R − f our. e − two D − o − usr−e ´ fi − parenleftx−ncomma−i y−ti−parenright oi−n−s g de Reeb ot O sti nvari n esti n Ge omt ry Ampersand Too lo y ,V o l − u me 92 05) 1 712 Fr é d é ric Le Roux (1) F × G ⊂ Sing (h) ou G × F ⊂ Sing (h); (2) F contient x, ou bien F s é pare x et G ∪ {y}; (3) G contient y, ou bien G s é pare y et F ∪ {x}. Les ensembles F et G sont appel é s bords de la composante : F en est le bord n é gatif , G le bord positif ; si G × F ⊂ Sing (h), c ’ est le Il suit imm é diatement de la d é finition que les ensembles F et G sont disj puisqu ’ un couple (x, x) n ’ est j amais singulier . Table ignored! si F × G ⊂ Sing (h), contraire . oints , Structure des hom é omorphismes de Brouwer 1 717 Preuve du Lemme 4 . 8 L ’ ingré dient principal de la preuve est l ’ in é galit é tri - angulaire . Soit i un entier entre 1 et d − 1. Notons x0 = x, ..., xd = y les sommets de la d é composition . Puisque l ’ ensemble Fi (x, y) s é pare x et y ou bien vaut {y}, l ’ arc doit rencontrer cet ensemble . Montrons que la rencontre se fait n é cessairement entre xi et xi+1 . En effet : • le sous arc [xxi ] est dans la h – boule Bi (x) ( car il contient x et est r é union de i arcs libres ) , donc ∂Bi (x) ne rencontre pas [xxi ] ( puisque les h – boules sont des ouverts du plan ) ; • si i < d − 1, le sous - arc [xi+1 y] est dans la h – boule Bd−i−1 (y). Or d ’ aprè s l ’ in é galit é triangulaire , on a Bd−i−1 (y)∩parenleft − arrowdblrightx−existential−f our−three−three−period−f ou T −brackright−equalarrowlef t−J∅element−R−slashd−arrowleft−negationslash n c − infinityexistential−period−zero ∂B− inf inityarrowlef t − parenlef tx )T { er ncontre p s [ i + 1y] . u − isque F (x, y) ⊂ ∂B(x), o na b en (x, y) ∩arrowdblright−propersubsetbrackright − hyphen − four − period − three − three − four − existentialbrackright−T iJ− d−1 C q u e l − quoteright onv o l − ua t − period Preuve du Lemme 4 . 9 On montre la premi è re é quivalence , la seconde en d é coule ( en changeant h en h−1 ). Montrons la premi è re implication . On suppose que M↔ ( 1∗ 2) = (→). D ’ aprè s les Lemmes n 3 . 7 et 3 . 1 3 , pour h , 1 ∗ 2 est encore une d é composition minimale d ’ un arc gé od é sique , et le mot horizontal associ é est encore (→). Autrement dit , pour tout entier n > 0, on a hn ( 1)∩ ⇒6= element−emptysetT −brackrightP−arrowleft−J a − element − R − slash − ra period − zero − p − existential − zero − ac − infinity i t − arrowleft − acute − e, T o ← e existential − f ive − three − period d d − arrowleft − mapsto − mapstoarrowlef t−zero−u i t − Tarrowlef t − d ciem e−n t q e 1× 2 c ntient u nc uple s ngule−i r . o − ntronsl0 m l − pi − c ation r ciproque . C c − e ire vient à m o − n trer q e i − s M ↔parenleft−notdef 1 ∗ notdef 2) = ←, a ors notdef 1 × 2 n ec ntient p s d ec uple s − ingule−i r . E x − acte m n − e t c ommed ns p euve d uL emme 3 1 3 ( fF gure 8 , l ’ h y pothè se M ↔notdef −parenlef t 1 ∗ 2) = (←) p r m ´ sD 1e D , d e − t et ouver d ux d sques t pologiques f r m e − nt l s i t é rieurs ntiennent r spec tivem e − n t notdef 1 e , e t l s q e h ( I n t (D)) s it d sjoi nt d e t (D) p o − u r t ut e tier n > 0 O ne nd duit q e 1 × 2 n ec ntient p s d e uple s nguli−eo r . Preuve du Th é or è me B - bis Soient 1 732 Fr é d é ric Le Roux Supposons d ’ abord que z est de type U + par rapport àx, autrement dit que x + appartient à U (z). On va appliquer le Lemme 5 . 9 concernant les liens entre la partition associ é e au point z et celle associ é e au disque D. On a Ox (z) ⊂ U + (z) ⊂ U + (D); or l ’ ensemble U + (D) est disj oint des ensembles U − (D), lim+ D et lim− D, qui contiennent resp ectivement U − (z 0 ), lim+ z 0 et lim− z 0 , par cons é quent l ’ ensemble Ox (z) est disj oint de ces trois ensembles . D ’ autre part , l ’ ensemble Ox (z) contient le p oint x qui n ’ appartient pas àU (z 0 ) ( Affirmation 6 . 1 ) , et ∂U (z 0 ) = (lim+ z 0 ) ∪ (lim− z 0 )( Lemme 5 . 8 ) : puisque Ox (z) est un ensemble connexe , qui contient un point hors de U (z 0 ) et qui ne rencontre pas ∂U (z 0 ), il est disj oint de U (z 0 ). On d é duit de t out ceci l ’ inclusion Ox (z) ⊂ U + (z 0 ). Une premi è re cons é quence est que x ∈ U + (z 0 ), donc z 0 est bien du m ê me typ e que z par rapport àx. Ensuite , comme Ox (z 0 ) est la composante connexe de U + (z 0 ) contenant x, et que Ox (z) est connexe , on a Ox (z) ⊂ Ox (z 0 ). Par symé trie des r ô les de z et z 0 , on a Ox (z 0 ) = Ox (z). Le cas o ùz est de type U − se traite bien s û r en appliquant le cas U + àh−1 . D ’ autre part , en é changeant les r ô les de z et z 0 , on obtient x ∈ U + (z) ⇔ x ∈ U + (z 0 ) et x ∈ U − (z) ⇔ x ∈ U − (z 0 ). Consid é rons maintenant le cas o ùz est de type lim+ ; autrement dit , x appar - t ient à lim+ (z). D ’ aprè s ce qui pré c è de , z 0 ne p eut pas ê tre de typ e U − ou U + . D ’ autre part , dans ce cas , x est dans lim+ (D), donc n ’ est pas dans lim− (D), qui contient lim− (z 0 ) : par cons é quent z0 − + − 0 n ’ est pas de typ e lim , donc z est de typ e lim . Le cas o ùz est de type lim s ’ en d é duit . 6.4 T − r,oisien ème bétape: existence de composantes de Reeb Structure des hom é omorphismes de Brouwer qui sera organisé e comme suit . On remarque couple de points donn é est encore 1 739 d ’ abord qu ’ une composante de Reeb pour un une composante de Reeb pour b eaucoup d ’ autres couples de points ( Affirmation 7 . 8 ) . Pour une suite gé od é sique ( finie ou infinie ) , cette propri é t é se traduit par une compatibilit é entre les composantes de Reeb associ é es aux diff é rents couples de sommets ( Lemme 7 . 9 ) . Ceci p ermet de clarifier la topologie des composantes de Reeb as - Asocié es aux psuia − tes gdé o d − upé lsiques infinin es e i − td − te leurs composantes compl sémen t − maaires q − parenleftu−L emme 7.one − xparenleft − one). Nous en d − osé d − 0atuirons l − na prop ositc oion. x. L p l ffi a s e t l ´ u Affi r ma io n 7 . 8 Soint x et y d euxpo in d u p − l an e (F, G) u n com p osa ne de R e − b pou r (x, y), qui es n onde ´ n ´ r ´ e : F n eco ni e ors F, pG) e t n oreun t c om p sant xedeR( e eb ps our x e ,0 . D epl u , si F y, GG) st minm alep ou r ( x y, e le sta ssi mini m p u (x0, )y0. Le m me 7 . 9 ( om p tb ie des c om os ant s ) e oCo ns der ns une s ie gé od é− s N qu u parenlef t − rf in−p r − i − e − e) o ( n l = s x no tai n = xe − d), a t Se un n − e n 43 c ent r − e n 1 a n − e − t t o l sc m − period A po−o r a tes de Ree b emiimna es . 0 . c o r ed O n e nd´d u i tn o parenleft − x0xd . p ` sl es d éfi to n Ss,l a scom p os an e 0( F r (, x), F (ix,y ) ou le B(x)g´( em rme46) . L ’ n galt etri n lu ni e p mr e t ade oiquede F l(x y) nern iont ep Las a h – bou l e B e ´ y).Orceter h – b ul estc rnnex, ele con - tie n tle p nousdi ma nennq u e ( d − (y, 1x)F d( xy)O e x sun eco m o La t − e d e R e nmin im ale p o urlec o u l (xiF −1xi + 1 Od ’ a pe ` et Th é o r ` m e pA s , c e c uple d m e t u neu nqu e compop s a e de Re eb mi ni m a l , d s lo` les eux ga ites . o a i t u ´ G e om tr y AmpersandT o ool gy , Vo um e 9 ( 200 ) Structure des hom é omorphismes de Brouwer 1 751 – l − la fisuin − te d − ie com i − p − u osantes qassociuée sàe − Gamma e s−k t l − ea m − kaplusˆ − em−onee s − q ue ce n − l le uassocimée hà x − parenleft − axt − ke − parenright − comma o − c − parenlefte−P rop − o)osit − urion g − seven. o − sevenGamma − parenright − dsemicolon−parenright c om pé me n a − t i e d e Γ. A fin dal−lé ger l − es no at n − os, o ns uppose−r a ( s ns perte de ´ e a l − i t é) q ue k = 0, e o n g é n r − Γ = · · · ∗ −1 ∗ 0 ∗ notdef1 ∗ ·· d c o m pos ti n d e Γ. E n apliq a nle Lem m e 4 . 8 surle f a chsem n de s om posan sd eo R eb et le L e m e . 9 s urlac ompatb l tedesco mp osane tes de R eb , o voitqu e ΓG∩ ⇒ existential − f our − three − three − period − f our − hyphenF e arrowlef t − J t minf inity−R−slasharrowlef t−negationslash−o∞n v existential − period − zero d e ∞ t ← T { c ← s ∀ da s ← i − arrowleft − zero nt ´ r arrowlef t − d∪ ⇐ de ⇐ l a − r c . n sepl acn e c − i da n sl e ca “ −5six − two − f oursix − parenlef t at r ct ” o u “ six − two − f our ) six − parenlef t r p us ppoi 5 l−a s u (←→ parenright − period D e p lu , ls u ffi t ↔1 x− ,x2 ) = (→ ← , ut e ca ’ e n de uian t n ppl qu ant l e resl ta t à ef a − i tque Γ s ot g éodé i − s q ue vaenr a − circumflex − dotlessi n rla p opr ét−acute−e − l − cé su van te . Po urt f f i´− er − mm − o n t − st−io−ra−nt o − eight.n − three out n ≥ 1, h n( parenright − zero ∩ ⇒ hyphen − f our − period − three − three − f our − existential − emptysetperiod − elementbrackright − T J − arrowlef t slash − R − inf initynegationslash − arrowlef t ∞ zero − period − existentialzero − existential∞ ← T {← ∃ period − mapsto − inf inity∃f ive − three − arrowlef tzero − arrowlef t uv S oi t n ≥1 . Ond o t mont erq u ep ourtout e ti−e r k, hn( 0)∩arrowdblright−k = inf inity − mapsto − three − three − period − f our − hyphen∅T −brackright−negationslash−period arrowlef t − Jelement − R − slasharrowlef t − negationslash (→←) etd e lad D fi n 3 . Lemm 3.8s r l i´r´d0 u a r g od s i q u e . Soit D0 un disque topologique ferm é libre , v é rifiant Γ∩ ⇒equal−existential−four−three−three−period−four−hyphen notdef ∈ arrowlef t − J e element − R − slashI − arrowleft − negationslashinf inity − tnotdef −parenlef texistential−period−zero 0existential − zero − parenright∞ ⊂← t (D0). O no tient f c i − l em n − e t u nt l d sque e n é aisss 0s ant notdef ( nquoteright − l ide d u é or èm ed eS hoenies−parenright . O n dente : ffirm a − t io n 8 4 S pe t l−a us e − l s h pothè ses c - dessus , h (D0)∩ ⇒ hyphen − p J − arrowlef t u − o rnegationslash−arrowlef t−tinf inity−o u f our − period − three − three − f our − existential zero − period − existentialzero − existential∞ 1 etry Ampersand T p − o ogy , Volu me 9 ( 2 0 5 ) o r − s ren fo c − r erl ’ a ffi rmation p é c àé 1 752 Fr é d é ric Le Roux Preuve On pourrait faire la d é monstration en recopiant la preuve de l ’ affirm - ation pré c é dente , en utilisant une version adapt é e du lemme de Franks . Voici une autre possibilit é, qui consiste à “ ) 5 ( pertur b r” Γ. Oni r − so − a nne par l ’ absurde . Supposons que n est un entier strictement positif tel que hn (D0 ) rencontre Γ, et soit y ∈ D0 ∩ minus − arrowdblright − n(Γparenright − elementbrackright−T −period J − arrowlef t S i t − negationslash − arrowleftnotdef ∞zero − period − existentialu−zero−existential ∞ a c − arrowleftT i − braceleft − nc − arrowleft l u − existential s period − mapsto − inf inity d n − five − three − arrowleftszero−arrowlef tD , d − arrowlef td − union ⇐ h − mê m s − e e tr émité s e notdef 0, e t p ssant p r y O no tient u e n uve l − l e ∃ad oite0 g odé sique Γà p rtir e Γ e nr m p − lacedilla−c ant notdef p r notdef .b P u − isque D0e tli bre , i l es t d j − s oi nt d et u s s s é r és , e t h(y) n e s tp 0 ssu r notdef 0; 0 p rco ns é quent y ∈ 0 ∩ n − arrowdblright−minusexistential−f our−three−three−period−f our−hyphen−parenlef t ).arrowlef t−Jelement−R−slash−D a u − infinity − t r e existential−period−zerop − existential − zeroinf inity−ar comma − arrowleft T {← ou veled ro te g éo dés−i qu edé fi n i − tal−cai re mentl e − s m êm − e sbou tsque la−quoteright n c i en ne ; con s − acute − equencomma−t leu s m o shor zont a − u xco ı̈ cide nt ( Pr opo s − i to n 7.7, t − e o n p e−u t l − iqu erquoteright−l A ffir − m@o−in 8.3àΓ. C e icon t − r editle f it que y ∈ notdef ∩−n⇒ parenleft − hyphen − four − period − three − three − mapsto − infinitynegationslash−brackright− T −prime.J −arrowlef tslash−R−elementnegationslash−arrowlef t∞ zero−existential−zero−period−existential Preuve du Th é or è me D - bis dans le cas simple , fin On reprend le dis - que D0 introduit ci - dessus . Soit x un point quelconque de D0 ∩ arrowdblright − parenlef t u − hyphen − four − period − three − three − mapsto − infinitynegationslash−brackright−T −in−J−arrowleft s t negationslash − arrowlef t∞ s v de p isque G r ncontre ) . S pposons q e xs itda ns W N( G) : i iste u ne tier n0 t lq e p ur t u t n ≥ n, h (x) e t d nsl ’ u vert O (Γ) g uche d e Γ . ors l − quoteright A ffirm t − a ion 8 4 i m p − lq − i ue q e p ur t u t n ≥ n , e sque h(D0) e ten t i − grave − e rem n − e tin clus d nsl ’ o u vert ON Γ); e n p rticuli−e r , t o us s p ints d e D0v nt v rsle N o − rd. L sen sem l − b es G∩ ⇒ existential−f our−three−three−period−f our−hyphen−D∈0 parenright − T − brackrightarrowlef t−J−e t inf inity− R − slash arrowlef t − negationslash ∩ arrowdblright − inf inityD − inf inity − mapsto − three − three − period − f our − hyphen − existential − zeroT − brackright − negationslash − inf inityparenright−arrowleft−J ←T −inf inity−R−slash {arrowlef t − negationslash es o ver s non v des de W → N G) e t W → N F ) r spe tive me ` s op s − ito−in 7.20 e t la d é fin ion nt . D ’ a p e − de s t pes dy na i − mques−comma G e t F so t ous ux dety ed yna m − iqueS uhyphen−d N ord . De p u − s, es p o int x0 et x1 vo t − n ers d . Si x st d ns W→S G, o n m nt ede ma ni r − ey − s m é r q − i ue qu e G et t e ty e dyn a m − iqueN ord u − Sd, e tqr u e x0et x1 vo n − t ersl i−c eSud . Ce n elapre uv ed uth or ` me −dans esca s “ 5 ( a t ract i − f ” et “) TJ two − notdef82.596zero − notdef u Affirmation 8 . 5 ( Compl é ment au cas attractif ) On suppose que le mot est attractif , c ’ est −à− dire que M↔ (x−1 , x2 ) = (→←). Dans ce cas , si h( 0) est inclus dans OS (Γ), alors hn ( 0) est encore inclus dans OS (Γ) pour tout n ≥ 2. En particulier , on a les é quivalences h( 0) ⊂ OS (Γ) ⇔ xk et xk+1 vont vers le Sud ⇔ Gk et Fk+1 sont de type dynamique Nord - Sud ⇔ Mlk =↓ . Preuve On suppose que h( 0) est inclus dans OS (Γ). L ’ arc est pas , et la è che M↔ (x 0 est libre , mais 0 ∪ 1 ne l ’ e − sl Structure des hom é omorphismes de Brouwer mais [x0 x]Γ ne le soit pas : le point α = [h(x)x]Γ. Le point - cl é, prouvé plus bas ∀n ≥ 2, 1 753 est donc sur , consiste à voir que h(x) 0 . On consid è re l ’ arc hn (α)∩ ⇒∈ .brackright − T J − arrowlef t ne et , o ne nd duit q el ’ n sem b − l e h(α) 2 tdi s − jointde Γ o r il es tco nnexeet il re ncontre h(0), c ’ s − e tdo nc q 0i−l es tin clus ns O(notdef ); m a − i s p ur t u t n ≥ 2 h ( 0) r ncontre à s n t ur c t e sem l − b e , e t d s − joint d e Γ d a p r è sl ’ A ffirm a − t ion 8 3 , c ’ s − e t d nc q e h( 0) ⊂ O(Γ). ´ o − ntrons e − l p int - c l e − period S it y u np int d e α. S y e t d ns [ (x)x1], a ors (y) a partient àh ( 0), e l − quoteright A ffirm t − a ion 8 3 d t q e h (y) 6∈ Γ p u r t ut ≥ 1 S y = x, o nc nclut d em ê m comma − e p isque hx) ∈ . I re ste l − eoc s o u y t d ns ]1x[Γ. D a − ns c c s , l ’ a r c [ 0y]Γ e t i − l bre : p r s ite , o no tient u e uve l − l e d com o − psi−t io n d e Γ e np sant 0 =, y 0 = x[0x1prime−brackright Γ , 0= notdefi 0 = x[10 x]Γ , i 6= 01 0= x i 6= 1 na plique a orsl ’ A ffirm a − t ion 83à c tte n uve l − l e d com p − ost−i io n . C e−c i d nne ta mm e − n t , p u r o − t u t n ≥ 1 h (x00 )e element − negationslashΓ c o mmev ulu . eight − hp−four P − hr−minusone−eun−v−o e d − eu−an−t s−s l p − ec − os − a − er − sd − qei−u ffi − eoc−Mil e x−parenlef t . m comma − ox − ti − parenrightn − equal d parenleft − iff − arrowrightm éarrowright−r eperiod−nt O − parenright c − e s e n e mbl ssontinvar ants ( L emm e 7.1parenright − one. On n oe p epr mi−e rp on t ´ eΓ d e d le d e − ri − n e po ntur G qu and onp arc o − u t − r l a dr i − te ore nt e − e (− ∞) ers (+∞) ( fFi uei 23parenright − period L es ponts p e t d ot−n s − itue se n er x et 1 s r Γ da pe−r` le Le mme 7 . 9 et l − quoterightn−i é gal t ét−r iangu a − l ire ) . es d − e mhyphen−i droti es ] − ∞ , p Γ et ]d, +∞[Γ son tinc l − u sesr espe c i − t ve men t danses o − u v e rt s O(G) e O+(G). u u N o usallo s p uve sc ce s v e m ntl e re´slt at s u va t s A ffimr ation 8.6 P o ut o u n ≥ 1, • hn([ x p]Γ Structure des hom é omorphismes de Brouwer 1 757 + un intervalle de Γ0− ou bien de Γ0 ; elle est disj ointe de [CD]Γ0 . Puisqu ’ elle s é pare A0 et B 0 dans U, et ne rencontre ni [AA0 ] ni [BB 0 ], son adh é rence doit rencontrer c h − dacun d − mes t − d − reux A−e arcs [C−B brackright − sΓ et d − bracklefto−A−rD−i−t brackright − eΓ. Ceci contre A−dit l − stune a − des e − d − heux Oproprinét més three − net4. Preuve du Corollaire 8 . 8 Si x0 va vers le Sud , alors il existe un entier n0 t el que p our tout n ≥ n0 , hn (x0 ) ∈ OS (Γ). Mais alors d ’ aprè s l ’ Affirmation 8 . 6 , pour n ≥ n0 , on a hn ([x0 p]Γ) ⊂ OS (Γ), et en particulier le point p va aussi vers le Sud . Et d ’ aprè s l ’ Affirmation 8 . 7 , touj ours pour n ≥ n0 , on a h−n ([dx1 ]Γ) ⊂ ON (Γ), par cons é quent les points d et x1 viennent du Nord . Preuve de l ’ Affirmation 8 . 9 Pour prouver cette affirmation , nous commen - c − cedilla ons par remplacer Γ par une autre droite gé od é sique Γ0 , qui d é finira les m ê mes bouts que Γ. Par cons é quent , G sera encore un bord de composante de Reeb a − En − s so q ´ ci−p ue − ´ ai − ela − ` ss − Gamma − s − se−prime parenleft − n − ns−t−P−e l − re − ´ op−g e − `o − re − ssi m − tW e− ie−on−n seven − arrow ` e t − brackleftx−on p − Gamma o parenleft − ua − r r quoteright − a − la − ip−de−p l od − iq−uu t − er−h l − e − acute − re−o s − l r − d − lpe−air S−e h − i − eight. o − i − eight − onn − grave − ac − es − et − parenrightcomma − te n − oo − nu−ch−v e − ol − jo − l − is−e t − sti t − mua−a n − tio − tn−en−period • Γ ∩ ⇒ e hyphen−f our−period−three−three−f our−existential−selement−t u brackright−T n − J − arrowleftslash− R−element−s o negationslash−arrowlef t−u s zero−period−existential−r−a−inf inityc−zero−existentialinf inity−de arrowlef t− GammaT bracelef t − d arrowlef t − n t x − period − mapsto − inf inity∃e−five−three−arrowleftt zero − arrowlef tT −u n d − arrowlef te − uniont−arrowdblleft−x r émitsemicolon−e 1 ´ D ∩ • D o ⇒ T − brackrightarrowlef t − J element−R−slash arrowlef t − negationslash ∞ ← ←∃ inf inity − mapsto − pe • e st l b e. l e r ne s po n et G dint rs t iond e notdef 0 av c n ]e− d1∞ex (x] 0 D( et s a − ec−r s e − t p o − s r q − periodR − ie − m − tu a p e x s i u e. 1 760 Fr é d é ric Le Roux l ’ hypoth è se ( H ) ci - dessous , augmenté es d ’ une hypoth è se de connexit é lo cale qui R − n0e−acute−a p − tp−a i e − to − pn−as−s e − q s s − ue − el−n t − a i l − el − i l e − mparenright − i, o − en−s p − m − ´ en−r i − t − era−u r − it−e l 0e−quoteright uo − i n − st − ees−nc−ue−t d − e0d−au−e p − m − ar − ot − ie−i−ns−s d − un − u−x quoterightn − p − u o i − es − nt − pa − dc−on−e t−t l − o0p−or−o b − li−og−thyphen−e t − ir−qa−ue−v eX−rse t−F quoteright − d − en−u N − eo−mr−b l − da − de−u Sp − ui − d − oo − ts−u d − d − eu S − Xu − do − dn d − e − nineperiod − quoteright − tone − l − le−acute−es−m “ en−parenright−Pfive−r−te−s−acute−parenlefts−l−o u−i−dm−evi−e−l a−n− N − p l a e − u − nquotedblright−s−ux−a−q r − c − u − ue − o − on−n n − se − e − acute − acute − us−g a − qa−u−l e − e − jo−m r m − d − m u e − mt−c e − o − tn − n − ce−o−t−de−n−p−d t−c F − d − s − re−u v − r − na − ek−n−n t − f − so−commar c−qe−ui−r ´ e´r−ti u − eu−n s e − em−b e − on−n n − te − period − les−a t − rSe − acute − er − su−n a − lt−ta−i t−ve−s a − `p r e − sDs − p m−two−ue−p−four o ´ sl − acute − e − ali n − mco − it − na − oir−n e s − dd − oe−c brackleft − q ], a−rnn − esu−e s−l−de−t ´ t−n−o n c−a q u−ee−x n − s s o a − u − ps − r r ne − acute − ar−u−c s − d − t i l − quoteright´is−do−an−n s−s vi − le − cai−s e − parenleft − es − sp − ou−a sl − e − ua−s f − X − oo−u ` rc−m e−e−l e − d − ds−u−hyphen d − i − L − ie−so−mn−m−t e nine − d − e − grave − al−ee−s c s − oo−m−nt−p a − re − acute − ct − e − ds t − i − mre − is − niim − grave − ad − au−ex−s p − d − pa−on− con o − tex e − te e − de l − e ’ ar X − ticl. e [n−two 4]. C e s fin i − t ionssont u t s − iés−ep arW . Daw dan l quoteright − a ti e − l − c[seven − brackright E s − e a − p pa ´ es des co s t iu ants−period ) Dans les pos−a n tes c omp ac em ent conn exesy s ont app e e − bo n e pac e s − comma lescom p o antes om p ce−t m e ntc on nexes o n − t “ ) ] TJ three − notdef0956zero − notdefT − notdef d n s a u − s siqu ’ u e rm e . ntro nsl e m ite su p´r e h( A d h ()E )) n ≥ dxu e 1 766 Fr é d é ric Le Roux Quitte à extraire , on p eut supposer que la suite (Kp ) converge dans l ’ espace K(Fb ). On note L sa limite . La fin de la preuve consiste à montrer que L con - t ient une orbite allant de SàN. Pour cela , on montre d ’ abord que l ’ ensemble L est invariant par h, et qu ’ il est localement fini , au sens o ù t oute partie com - pacte de F = Fb \ {N, S} ne contient qu ’ un nombre fini de points de L( ceci vient de l ’ errance des points , propri é t é3 de l ’ hypoth è se ( H ) ) . Soit d une distance sur Fb ( propri é t é1 de l ’ hypoth è se ( H ) ) . Puisque L est lo calement fini , il existe un r é el positif r tel qu ’ aucun point de L n ’ est à distance r de N. On appelle alors VN l ’ ensemble des points x de Fb v é rifiant d(N, x) < r, VS l ’ ensemble de ceux v é rifiant d(N, x) > r. On pose maintenant ES→N (L) = L∩ ⇒ ∩one − arrowdblright − minus − infinity − mapsto − three − three − period − four − hyphenparenleft − infinity − mapsto brackright−negationslash parenright − arrowleft − J − element − R − slasharrowlef t−negationslashelement−R− slash − inf inityarrowlef t − negationslash → S − parenlef tL) = ∩L ⇒ hyphen − f our − period − three − three − f our − existential − intersectionarrowdblright − on EN m te d e m o r ea x dorbi t − e s l − a lant d ’ un po n← tp oche d − e S à un p ni t e N p rm e − t d emont r r − e quela d ff é r en e eni trele no mb re d e − acute − quoterightl−acute−e me to ´ − l me t s de EN → S() vau t 1 . s de )e − t l eno mb re d ’ e − acute D quoteright − a u t r p a rt , un pe - m e t combin to i − r e mon tre u − q e cet edi ff é re n e est é gal e à ´ r en e n a diff e − omb re d ’ o − r bi e − t s de L d ns W S → N ( F − parenrightt − e l en mb re d ’ o − r bi e − t s de cL N → S( F − parenright. E n p a c − iu er , L doi t c − o teni au moi su ne or t − i ed ans F − parenright, ceque l on vou l a i period − t Preuve du Lemme 9 . 6 On raisonne par l ’ absurde , en supposant qu ’ il existe une composante compactement connexe de F contenant deux points x et y ayant des destins dynamiques diff é rents ; pour fixer les id é es , on suppose par exemple que x ∈ W→N (F ) et y ∈ W→S (F ). Par d é finition des composantes compactement connexes , il existe un compact connexe C, inclus dans F, con - t enant x et y. Soit C∞ une valeur d ’ adh é rence , dans l ’ espace K(Fb ), de la suite (hn (C)n ≥ 0). Il s ’ agit d ’ un sous - ensemble compact et connexe de Fb, et puisque C contient le point x qui va vers le Nord et le point y qui va vers le Sud , l ’ ensemble C∞ contient N et S. D ’ aprè s l ’ hypoth è se de minimalit é( pro pri é t é4 de l ’ hypoth è se ( H ) ) , on a alors C∞ = Fb. En particulier C∞ contient C, et a fortiori la limite supé rieure de la suite (hn (C))n ≥ 0 contient C. Ceci contredit le premier “ )5(s − o uve i − nr du p l n ” parenleft − h y poth s e 5 a )parenleft − dH−e )). Preuve du Lemme 9 . 7 Tout d ’ abord , il est clair que l ’ image par h d ’ une composante compactement connexe de F est encore une composante compacte - ment connexe de F ; par cons é quent , chaque composante compactement con - nexe est soit invariante , soit libre par h. Premier cas Soit E une composante compactement connexe de F incluse dans WS→N , que l ’ on suppose invariante par h. Comme E contient une orbite G eometry AmpersandT opology , Volume 9 ( 2005 ) Structure des hom é omorphismes de Brouwer 1 769 [ 3 ] F B é guin , F Le Roux , Ensemble os cillant d ’ un hom é omorphisme de Brouwer , hom é omorphismes de Reeb , Bull . Soc . Math . France 1 3 1 ( 2003 ) 1 49 – 2 1 0 [ 4 ] L E J Brouwer , Beweis des e benen translationssatzes , Math . 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A endash − ut − dr−ie−am−me−et−n t − rquotedblright − d i t − dcomma−quoteright l − un−e “ b hyphen − o − parenrightr d − period8 ` Jp o − R − stwo − an − six − tnine − periodd−sixtwo−e 6R − four − notdef − T − ee notdef − eight − b7m − twon − threeeight−im e . voit fac−i l me e tn q quoteright − ulest5 inf é reuro ué ga l à 3, fet da sl exem tp e è tred e G ∪ G est 2 . i y − comma V l − o u me 9 2005 )