Exercice 1 : Les probabilités Exercice 2 : Les probabilités

Corection du DS de Mathématiques
Classe de Première S
le 22 avril 2014
Durée : 2 heures
La présentation de la copie et la rédaction des réponses seront prises en compte dans la note.
Les résultats seront encadrés et chaque exercice sera commencé sur une nouvelle page. Le barème est donné à titre indicatif.
3 points
Exercice 1 : Les probabilités
Un élève répond au hasard aux dix questions d'un QCM. Pour chaque question quatre réponses sont proposées dont une
seule est exacte. On note
1. Justions que
N
N
le nombre de réponses exactes.
suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
On répète dans des conditions identiques et de manière indépendante 10 fois la même épreuve de Bernoulli où le succès
est "la réponse est exacte" de probabilité
N la
variable
1
N ,→ B 10;
.
4
Soit
1
.
4
aléatoire qui compte le nombre de succès.
2. Déterminons la valeur exacte puis l'arrondi à
10−4
près de la probabilité pour que l'élève obtienne exactement
10−4
près de la probabilité de l'événement
5
bonnes
réponses ?
5 5
10
1
3
×
4
4
5
243
= 252 ∗
1048576
15309
=
262144
' 0, 0584
p(N = 5) =
3. Déterminons la valeur exacte puis l'arrondi à
(N 6 4) ?
p(N 6 4) = p(N = 0) + p(N = 1) + p(N = 2) + p(N = 3) + p(N = 4)
0 1
1 9 2 8 3 7
1
10
3
10
1
3
10
1
3
10
1
3
=
×
0+
×
+
×
+
×
0
4
4
1
4
4
2
4
4
3
4
4
4 6
3
10
1
×
+
4
4
4
483327
=
524288
' 0, 9219
5 points
Exercice 2 : Les probabilités
Eva et Léo visitent une usine de chocolat en Suisse. A la sortie de la visite, ils peuvent manger des trues.
Les trois quarts des trues oertes sont au chocolat noir, à forte teneur en cacao, les autres sont au praliné. Il y en a
susamment pour que la probabilité de prendre une true au chocolat noir reste toujours égale à 0,75.
1. Un visiteur choisit 5 trues et les mange une à une.
On note
X
la variable aléatoire égale au nombre de trues au chocolat noir choisies.
(a) Reconnaître la loi suivie par
X
et donner ses paramètres.
Préciser l'ensemble des valeurs prises par
X.
On répète dans des conditions identiques et de manière indépendante 5 fois la même épreuve de Bernoulli où le
succès est "la true est au chocolat noir" de probabilité
X la
variable
aléatoire
3
X ,→ B 5;
.
4
X(Ω) = {0; 1; 2; 3; 4; 5}.
Soit
3
.
4
qui compte le nombre de succès.
Corection du DS de Mathématiques
Classe de Première S
(b) Dressons le tableau de la loi de probabilité suivie par
10−4
X;
le 22 avril 2014
Durée : 2 heures
donner les probabilités exactes (avec les formules) puis à
près.
xi
p(X = xi )
5
0
exacte
approche
(c) Calculons
0
0 5
1
3
×
4
4
1
1024
0, 0010
p(X ≥ 3)
5
1
1
1 4
1
3
×
4
4
15
1024
0, 0146
2
3
4
...
...
...
45
512
0, 0879
135
512
0, 2637
405
1024
0, 3956
5
5
5
5 0
1
3
×
4
4
243
1024
0, 2373
et donnons-en une interprétation.
459
512
' 0, 8965
p(X ≥ 3) =
La probabilité qu'il ait au moins 3 trues au chocolat est environ
(d) Calculons l'espérance
E(X) = n × p
soit
E(X)
0, 8965.
et interprétons.
15
E(X) =
4
i.e
E(X) = 3, 75.
Il peut espérer avoir environ 4 trues au chocolat.
2.
(a) Léo préfère les trues au praliné. Il prend (et mange !) 10 trues et se plaint : Toutes les trues sont au chocolat
noir ! Quelle est la probabilité que cet événement se réalise ?
X ,→ B(10; 0, 75).
10 0
10
3
1
×
10
4
4
59049
=
1048576
' 0, 0563
p(X = 10) =
(b) Sa soeur Eva choisit 6 trues, mais elle est malade le lendemain si elle mange au moins 4 trues au praliné. Quelle
est la probabilité que Eva tombe malade ?
X ,→ B(6; 0, 75).
0 6 1 5 2 4
6
3
1
6
3
1
6
3
1
×
+
×
+
×
0
4
4
1
4
4
2
4
4
77
=
2048
' 0, 0376
p(X 6 2) =
Corection du DS de Mathématiques
Classe de Première S
le 22 avril 2014
Durée : 2 heures
3 points
Exercice 3 : Les probabilités
Dans un club de sport, Julien joue au basket. Il sait que sa probabilité de marquer un panier est égale à 0,6 quel que soit
son lancer, et s'il a marqué ou non lors des précédents lancers.
On note
X
la variable aléatoire égale au nombre de paniers marqués au cours de
1. Donnons les paramètres de la loi binomiale suivie par
n
lancers successifs.
X.
X ,→ B(n; 0, 6).
2. Donnons la probabilité
pn
que Julien marque au moins un panier en fonction de
n.
pn = p(X > 1)
= 1 − p(X = 0)
n
0
n
=1−
(0, 6) × (0, 4)
0
= 1 − 0, 4n
3. A l'aide de la calculatrice, déterminons le nombre minimal pour que la probabilité qu'il marque au moins un panier soit
supérieure à 0,999 ?
1 − 0, 4n > 0, 999 ⇐⇒ 0, 4n < 0, 001
n = 7, 0, 4n ' 0, 0016 > 0, 001 et
Pour
pour
n = 8, 0, 4n ' 0, 00066 < 0, 001.
Ainsi le nombre minimal pour que la probabilité qu'il marque au moins un panier soit supérieure à 0,999 est 8.
3 points
Exercice 4 : Sens de variation d'une suite
Étudions le sens de variation des suites
1.
suivantes :
un = n − 3n + 1 pour tout n ∈ N.
∀n ∈ N, un = f (n) avec f (x) = x2 − 3x + 1.
f est une fonction polynôme du second degré donc f est dérivable sur [0; +∞[
∀x > 0, f 0 (x) = 2x − 3.
∀x > 1, f 0 (x) > 0, et par suite, f est strictement croissante sur [1; +∞[.
Ainsi (un ) est croissante pour n > 1.
2.
u0 = 3 et un+1 = 2u2n + un + 3 pour
∀n ∈ N, un+1 − un = 2u2n + 3 > 0
Donc (un ) est croissante.
3.
un =
3n+1
5n
pour tout
∀n ∈ N, un > 0
Donc
4.
(un )
2
(un )
et
tout
n ∈ N.
n ∈ N.
un+1
3n+2
5n
= n+1 × n+1
un
5
3
i.e
un+1
3
= < 1.
un
5
est décroissante.
2n
∗
pour tout n ∈ N .
n
un+1
2n
∀n ∈ N∗ , un > 0 et
=
.
un
n+1
un =
∀n ∈ N∗ , n > 1
Donc
(un )
donc
n+n>n+1
est croissante.
soit
2n
> 1.
n+1
et
Corection du DS de Mathématiques
Classe de Première S
6 points
Exercice 5 : Limite d'une suite
Une association constate que chaque année,
20%
de ses adhérents de l'année précédente ne renouvellent pas leur adhésion
et qu'il y a 300 nouveaux adhérents.
On veut étudier l'évolution du nombre d'adhérents au cours des années.
On note
un
le nombre d'adhérents de l'association lors de la n-ième année.
u1 = 1000, calculons u2
80
u1 + 300 i.e u2 = 1100.
u2 =
100
80
u3 =
u2 + 300 i.e u3 = 1180.
100
1. Sachant que
puis
2. Montrons que pour tout entier naturel
80% des personnes renouvellent
un+1 = 0, 8un + 300.
vn = 1500 − un .
(vn ) est une
3. On pose
Montrons que
n
u3 .
non nul,
un+1 = 0, 8un + 300.
0, 8un et il y a 300
leur abonnement soit
nouveaux adhérents donc
suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
∀n ∈ N∗ ,
vn+1 = 1500 − un+1
= 1500 − 0, 8un − 300
= 1200 − 0, 8un
= 0, 8 × (1500 − un )
= 0, 8vn
Donc la suite est géométrique de raison
0, 8
De la question précédente, on en déduit
vn = 1500 − un ,
on a pour tout
et de premier terme
v1 = 500.
un = 1500 − 500 × (0, 8)n−1 .
∗
n−1
que ∀n ∈ N , vn = 500 × (0, 8)
.
n−1
entier naturel n non nul, un = 1500 − 500 × (0, 8)
.
4. Démontrons que pour tout entier naturel
Comme
n
non nul,
5. Déduisons-en le nombre d'adhérents la dixième année.
u10 ' 1432, 89
soit environ 1432 adhérents.
6. A l'aide de la calculatrice, déterminons l'entier naturel
(a)
un ∈]1499, 9; 1500, 1[
N = 40
(b)
un ∈]1499, 99; 1500, 01[
N = 50
7. Quelle limite semble avoir cette suite ?
Il semble que
lim un = 1500.
n→+∞
le 22 avril 2014
Durée : 2 heures
N
à partir duquel :