Relaxation lagrangienne et flot maximal pour un

Relaxation lagrangienne et flot maximal pour un problème de
transbordement
L. Berghman1 , C. Briand2,3 , R. Leus4 and P. Lopez2
1
Université de Toulouse - Toulouse Business School, 20 BD Lascrosses BP 7010, 31068 Toulouse
Cedex 7, France
[email protected]
2
CNRS, LAAS, 7 Avenue du Colonel Roche, F-31400 Toulouse, France
{cyril.briand, pierre.lopez}@laas.fr
3
Université de Toulouse, UPS, LAAS, F-31400 Toulouse, France
4
ORSTAT, KU Leuven, Naamsestraat 69, 3000 Leuven, Belgium
[email protected]
Mots-clés : crossdocking ; problème de transbordement ; programmation linéaire ; relaxation
lagrangienne ; flot maximal
1
Introduction
Nous étudions l’ordonnancement des opérations de chargement/déchargement des camions
dans un entrepôt. Nous nous concentrons sur le crossdocking (transbordement), qui favorise
les transferts de produits entrants directement aux camions sortants, en minimisant le stockage
intermédiaire dans l’entrepôt. Le problème crucial est de décider des actions à faire à chaque
quai, en organisant une rotation rapide des camions permettant de respecter les fenêtres de
présence des camions dans l’entrepôt.
Notre étude concerne le niveau opérationnel : les camions sont répartis entre les différents
quais de manière à minimiser le stockage pendant le transfert du produit. L’organisation interne
de l’entrepôt n’est pas explicitement prise en considération ; on fait ainsi l’hypothèse que les
ressources nécessaires pour charger ou décharger les camions sont disponibles en quantités
suffisantes pour assurer la bonne exécution d’un ordonnancement. On suppose de plus que les
quais peuvent être utilisés indifféremment pour le chargement ou le déchargement.
Cette communication s’intéresse à comparer expérimentalement les bornes obtenues par
résolution directe d’une formulation de programmation linéaire indexée par le temps avec une
relaxation lagrangienne résolue par l’algorithme “push-relabel” de Goldberg [1].
2
Formulation indexée par le temps
Une formulation de programmation linéaire indexée par le temps discrétise l’horizon de temps
en périodes τ ∈ T d’une longueur fixe définie comme l’intervalle [t − 1, t[. On sait que les formulations indexées par le temps sont relativement efficaces pour des problèmes de planification
parce que les relaxations de programmation linéaire fournissent des bornes inférieures de bonne
qualité.
Soit i (resp. o) un camion entrant (sortant) auquel sont associées une date de disponibilité
ri (ro ), une date de départ au plus tard d˜i (d˜o ) et une durée de traitement pi (po ).
Pour tous les camions entrants i ∈ I et pour toutes les périodes τ ∈ Ti = {ri + 1, ri +
2, . . . , d˜i − pi + 1}, on définit
xiτ =
(
1 si le déchargement du camion entrant i commence en période τ ,
0 sinon.
De plus, pour tous les camions sortants o ∈ O et pour toutes les périodes τ ∈ To = {ro +
1, ro + 2, . . . , d˜o − po + 1}, on définit
yoτ =
(
1 si le chargement du camion sortant o commence en période τ ,
0 sinon.
Il y a n quais. La valeur wio correspond au nombre de palettes transitant d’un camion entrant
i à un camion sortant o (on a l’ensemble des contraintes de précédence P = {(i, o)} ⊂ I × O).
La formulation suivante permet de résoudre le problème de transbordement :
min
z=
X
X
wio τ (yoτ − xiτ )
(1)
(i,o)∈P τ ∈T
sous
X
xiτ = 1
∀i ∈ I
(2)
yoτ = 1
∀o ∈ O
(3)
τ (xiτ − yoτ ) ≤ 0
∀(i, o) ∈ P
(4)
∀τ ∈ T
(5)
∀i ∈ I, ∀τ ∈ Ti ; ∀o ∈ O, ∀τ ∈ To
(6)
τ ∈Ti
X
τ ∈To
X
τ ∈T
X
τ
X
xiu +
i∈I u=τ −pi +1
X
X
you ≤ n
o∈O u=τ −po +1
xiτ ∈ {0, 1}; yoτ ∈ {0, 1}
La fonction objectif (1) minimise l’utilisation totale pondérée de la zone de stockage. Les
contraintes (2) et (3) exigent que chaque camion soit affecté à exactement un quai. Les
contraintes (4) assurent le respect des contraintes de précédence. Les contraintes (5) forcent le
respect de la capacité des quais.
3
Relaxation lagrangienne
Comme dans [2], si on relâche la contrainte de capacité, on obtient un problème de flot
maximal. On peut alors résoudre ce problème avec un algorithme dédié, par exemple le “pushrelabel” de Goldberg [1]. Expérimentalement, pour des instances jusqu’à 30 quais et plus de
300 camions, et un temps de calcul limité à 5 minutes, on constate que les bornes inférieures
obtenues ainsi sont meilleures que les bornes inférieures obtenues avec la formulation indexée
par le temps résolue par le solveur IBM ILOG CPLEX. En termes de borne supérieure, les
résultats actuels ne permettent pas d’améliorer ceux de CPLEX. Pour cette raison, on propose
dimplémenter une heuristique lagrangienne dont les performances seront présentées lors du
congrès.
Remerciements
Cette recherche a bénéficié du soutien du CNRS/INS2I (Centre National de la Recherche
Scientifique/Institut des Sciences de l’Information et de leurs Interactions) dans le cadre du
projet PICS ROCKS n˚6421.
Références
[1] A.V. Goldberg and R.E. Tarjan. A new approach to the maximum-flow problem, Journal
of the Association for Computing Machinery, 35(4):921-940, 1988.
[2] R.H. Möhring, A.S. Schulz, F. Stork and M. Uetz, Solving project scheduling problems by
minimum cut computations, Management Science, 49(3):330-350, 2003.