Correction du « Brevet Blanc » de mathématiques

Correction du « Brevet Blanc » de mathématiques
Lundi 26 mars 2012
ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points)
Exercice 1
Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, choisir et entourer la bonne réponse parmi les trois proposées.
Aucune justification n'est demandée.
1.
2.
3 5 1
− ×
4 4 2
est égal à :
−
Le nombre décimal 0,246 s'écrit
aussi :
2
4
−
2
8
1
8
2,46 x 10-1
24,6 x 101
2,46 x 101
– 15
1
21
3. Quand x = – 2, l'expression
2 x2 – 5 x + 3
est égale à :
4.
L'expression réduite de
2 x – (5 x – 3) est :
–3x-3
–3x+3
7x+3
5.
Un randonneur parcourt 5 km en
1h 15 min. Sa vitesse moyenne est :
4 km/h
4,3 km/h
5,75 km/h
Explications :
3 5 1 3 5×1 3 5 3×2 5 6 5 1
− × = −
= − =
− = − =
1.
4 4 2 4 4×2 4 8 4×2 8 8 8 8
2. On peut regarder les trois réponses proposées et les transformer en écriture décimale :
−1
1
1
;
;
2,46×10 =0,246
24,6×10 =246
2,46×10 =24,6
−1
La réponse est donc 0,246=2,46×10
3. Si x=−2 , alors 2 x 2 – 5 x+3=2×(−2)2 – 5×(−2)+3=2×4−(−10)+3=8+10+3=21
4. On réduit l'expression 2 x – (5 x – 3) = 2 x – 5 x + 3 = – 3 x + 3
5. On peut utiliser un tableau de proportionnalité :
On transforme 1 h 15 min = 75 min
km
5
?
min
75
60
Ainsi, la vitesse en 1 heure se trouve en faisant
5×60 300
=
=4
75
75
Exercice 2
On considère le programme de calcul ci-dessous :
Programme de calcul :
•
Choisir un nombre de départ.
•
Ajouter 1.
•
Calculer le carré du résultat obtenu
•
Lui soustraire le carré du nombre de départ.
•
Écrire le résultat final
1. a) Vérifier que lorsque le nombre de départ est 1, on obtient 3 au résultat final.
b) Lorsque le nombre de départ est 2, quel résultat final obtient-on?
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c) Le nombre de départ étant x, exprimer le résultat final en fonction de x.
Choisir un nombre de
départ
1
2
x
Ajouter 1
1+1=2
2+1=3
x+1
Calculer le carré du
résultat obtenu
2² = 4
3² = 9
(x + 1)²
9 – 2² = 5
(x + 1)² - x²
Lui soustraire le carré du 4 - 1² = 3
nombre de départ
Écrire le résultat final
3
5
(x+1)²-x²
2. On considère l'expression P = (x + 1)2 – x2.
Développer, puis réduire l'expression P.
P = (x + 1)2 – x2
P = (x² + 2 x + 1 ) – x²
P = x² + 2 x + 1 – x²
P=2x+1
3. Quel nombre de départ doit-on choisir pour obtenir un résultat final égal à 15 ?
Le résultat final est donc (x + 1)2 – x2 = 2 x+1.
On cherche donc un nombre x tel que
2x+1=15
Donc
2 x + 1 – 1 = 15 – 1
Donc
2 x = 14
Donc
2 x / 2 = 14 / 2
Donc
x=7
On doit choisir 7 au départ pour obtenir 15 comme résultat final.
Exercice 3
Écrire tous les calculs permettant de justifier votre réponse. Toute trace de recherche, même incomplète,
sera prise en compte dans l'évaluation.
La ville A compte 60 000 voitures et la ville B compte 18 000 voitures.
Les diagrammes circulaires ci-dessous représentent la répartition des voitures selon leurs couleurs, dans les
villes A et B.
On demande à un élève ce qu'il constate. Voici ce qu'il a répondu :
« On peut dire qu'il y a plus de voitures blanches dans la ville B que dans la ville A. »
A-t-il raison ?
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La ville A compte 60 000 voitures dont 25% de voitures blanches.
25
×60000=15000 voitures blanches.
Elle comporte donc
100
La ville B compte 18 000 voitures dont 60% de voitures blanches.
60
×18000=10800 voitures blanches.
Elle comporte donc
100
L'élève a donc tort. Il y a un plus grand pourcentage de voitures blanches dans la ville B, mais en nombre
de voitures, il y a moins de voitures blanches dans la ville B que dans la ville A.
ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (12 points)
Exercice 1
Un cycliste se trouve sur un chemin [CB]. On donne AB = 500 m et ̂
ABC = 10°.
C
A
B
La figure n'est pas à l'échelle.
1. La pente de la descente s'exprime en pourcentage.
C'est le quotient du dénivelé AC par la distance parcourue CB.
Calculer la pente de cette route.
On peut utiliser plusieurs méthodes :

On peut utiliser le fait que, dans le triangle ABC rectangle en A,
AC
=sin ̂
ABC =sin 10 °
CB
La calculatrice donne sin 10 °≈0,1736 donc la pente est d'environ 0,1736 et 0,1736=
17,36
100
donc la pente est d'environ 17,36 %.
PAGE 3 sur 9

On peut aussi calculer AC puis BC puis faire le quotient des deux :
- Calcul de AC
Le triangle ABC est rectangle en A, on peut utiliser la trigonométrie :
AC
AC
tan ̂
ABC =
donc tan 10 ° =
donc AC =500×tan10 °
AB
500
On obtient AC≈88,16 m.
- Calcul de CB
Le triangle ABC est rectangle en A, on peut utiliser la trigonométrie :
AB
500
500
cos ̂
ABC =
donc cos 10 °=
donc BC =
BC
BC
cos 10 °
On obtient BC ≈507,71 m.
ou on peut utiliser le théorème de Pythagore
Dans le triangle ABC, rectangle en A, le théorème de Pythagore donne BC² = BA² + AC²
Donc BC² = 500² + 88,16²
Donc BC = 257 772,1856
Donc BC=√ 257772,1856
Donc BC ≈507,71 m.
AC 88,16
=
≈0,1736 .
CB 507,71
Cela correspond donc à une pente d'environ 17,36 %.
- Calcul de la pente
2. Parmi les panneaux ci-dessous, lequel doit être mis en haut de cette route pour prévenir les
usagers ?
Celui qui est le plus proche de la valeur de la pente est celui de 18%.
On peut le trouver approximativement, sans avoir fait les calculs de la
première question, en faisant une figure, en mesurant AC et BC, et en
trouvant approximativement la pente.
Exercice 2
On donne : Volume du cône =
Aire de la base×hauteur
3
rappelle que 1 L = 1 dm3.
Un bassin a la forme d'un cône qui a pour base un disque de
3 m de rayon et pour hauteur 6 m.
3m
et on
6m
4m
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1. a) Montrer que son volume exact V, en m3, est égal à 18 π.
En donner l'arrondi au m3.
π×3²×6
=18 π ≈56,5457 m3
3
Le volume du cône est donc d'environ 57 m3 , arrondi au m3 .
Volume=
b) Ce volume représente-t-il plus ou moins de 10000 litres ?
3
3
3
1 L=1 dm donc 1 000 L=1 m donc 57 m =57 000 L .
Ce volume représente donc plus de 10 000 Litres.
2. a) Combien de temps faudrait-il à une pompe débitant 15 litres par seconde pour remplir
complètement ce bassin ?
Donner le résultat arrondi à la seconde.
On peut utiliser un tableau de proportionnalité :
Débit (L)
15
57 000
Temps (s)
1
?
On obtient 57 000 : 15 = 3 800 secondes
Il faut 3 800 secondes à cette pompe pour remplir complètement ce bassin.
b) Cette durée est-elle inférieure à une heure ?
Si on divise 3 800 par 60, on trouve 63, reste 20.
Donc 3 800 s = 63 min + 20s = 1 h + 3 min + 20 s.
Cette durée n'est donc pas inférieure à 1 heure, elle est supérieure à 1 heure.
Ou : 1h = 60 min = 60x60 s = 3600 s
Or 3800 s > 3600 s donc cette durée est supérieure à 1 heure.
3. On remplit ce bassin avec de l'eau sur une hauteur de 4 m.
On admet que l'eau occupe un cône qui est une réduction
du bassin.
a) Quel est le coefficient de la réduction ?
4 2
Coefficient de réduction = =
6 3
b) En déduire le volume exact V' contenu dans le bassin.
3
()
2
3
3
2
144 π 16 π
=
=
Donc Volume du petit =18 π ×
3
27
3
Volume du petit =volume du grand ×
()
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S
PROBLÈME (12 points)
Monsieur Duchêne veut barder (recouvrir)
de bois le pignon nord de son atelier.
Ce pignon ne comporte pas d’ouverture.
On donne :
AD = 6 m ; AB = 2,20 m et SM = 1,80 m.
B
C
M
M est le milieu de [BC].
Les parties 1, 2 et 3 sont indépendantes.
D
A
Pignon nord de
l'atelier
Partie 1
1. Montrer que l’aire du pignon ABSCD de l’atelier est de 18,6 m2.
Le pignon est composée du rectangle ABCD, dont l'aire est donnée par
BC ×SM
et du triangle BCS dont l'aire est donnée par
2
1,80×6
=13,2+5,4=18,6
Donc l'aire du pignon est 6×2,2+
2
L'aire du pignon est donc bien de 18,6 m².
AB×AD
2. Les planches de bois qui serviront à barder le pignon sont conditionnées par lot.
Un lot permet de couvrir une surface de 1,2 m2.
a) Combien de lots monsieur Duchêne doit-il acheter au minimum ?
18,6 : 1,2 = 15,5
Il doit donc acheter au minimum 16 lots de planches.
b) Pour être sûr de ne pas manquer de bois, monsieur Duchêne décide d’acheter 18 lots.
Un lot est vendu au prix de 49 €.
Combien monsieur Duchêne devrait-il payer ?
18×49=882
Il payera 882 euros pour l'achat de 18 lots.
c) Monsieur Duchêne a bénéficié d’une remise de 12% sur la somme à payer.
Finalement, combien Monsieur Duchêne a-t-il payé ?
12
882 – 882×
=882 – 105,84=776,16
100
Il payera finalement 776,16 euros.
Partie 2
Dans un premier temps, Monsieur
Duchêne va devoir fixer
des tasseaux de bois sur le mur.
Ensuite, il placera les planches
du bardage sur les tasseaux,
comme indiqué sur la figure ci-contre.
Les tasseaux seront placés parallèlement au côté [AB].
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Cette partie a pour but de déterminer la longueur de chaque tasseau en fonction de la distance qui le
sépare du côté [AB].
Soit E un point du segment [AD].
La parallèle à (AB) passant par E coupe [BS] en F, et [BM] en H.
On admet que la droite (FH) est parallèle à la droite (SM).
Le segment [EF] représente un tasseau à fixer.
1,80
m
F
1. Sachant que M est le milieu de [BC], calculer BM.
BM = BC/2 = 6 : 2 = 3
BM = 3 m
S
B
H
C
M
2,20
2. Dans cette question, on suppose que
m
6m
le tasseau [EF] est placé à 0,50 m du
côté [AB].
A
E
On a donc : AE = BH = 0,50 m.
a) En se plaçant dans le triangle
0,50 m
SBM et en utilisant le théorème
de Thalès, calculer FH.
Dans le triangle SBM, on sait que (FH) et (SM) sont parallèles, que F appartient à (BS) et
que H appartient à (BM). On peut donc effectivement utiliser le théorème de Thalès.
BF BH FH
=
=
On obtient :
BS BM SM
BF 0,5 FH
= =
Donc
BS
3
1,8
0,5×1,8
Donc FH =
3
Donc FH = 0,3 m.
b) En déduire la longueur EF du
tasseau.
EF = EH + FH = 2,20 + 0,3 = 2,50
EF = 2,50 m
3. Dans cette question, on généralise le
problème et on suppose que le tasseau
[EF] est placé à une distance x du côté [AB].
On a donc : AE = BH = x
(avec x variant entre 0 et 3 m)
a) Montrer que FH = 0,6 x.
De même que dans la question 2a),
2,20
en utilisant la théorème de Thalès,
m
on obtient :
BF BH FH
=
=
BS BM SM
BF x FH
= =
BS 3 1,8
x×1,8
FH =
3
Donc FH = 0,6 x
S
1,80
m
F
B
A
H
M
6
m
xE
C
D
PAGE 7 sur 9
D
b) En déduire l’expression de EF en fonction de x.
EF = EH + FH
Donc EF = 2,20 + 0,6 x.
4. Dans cette question, on utilisera le graphique de l’annexe qui donne la longueur
d’un tasseau en fonction de la distance x qui le sépare du côté [AB].
On laissera apparents les tracés ayant permis les lectures graphiques.
a) Quelle est la longueur d’un tasseau sachant qu’il a été placé à 1,50 m du côté [AB] ?
Lorsque le tasseau est placé à 1,50 m du côté [AB], il mesure environ 3,10 m.
b) On dispose d’un tasseau de 2,80 m de long que l’on ne veut pas couper.
À quelle distance du côté [AB] doit-il être placé ?
Un tasseau mesurant 2,80 m de long doit être placé à 1 m du côté [AB].
S
Partie 3
Monsieur Duchêne a besoin de connaître la mesure de
l’angle ̂
SBM pour effectuer certaines découpes.
B
On rappelle que : SM = 1,80 m et BC = 6 m.
M
C
Déterminer la mesure de l’angle ̂
SBM .
On arrondira le résultat au degré près.
A
Le triangle SBM est rectangle en M donc on peut utiliser la trigonométrie.
SM
SBM =
On obtient tan ̂
BM
1,80
SBM =
Donc tan ̂
3
1,80
SBM =arctan
≈30,96
En utilisant la calculatrice, on obtient ̂
3
L'angle ̂
SBM mesure donc 31° au degré près.
D
( )
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Longueur du tasseau
(en m)
Distance x
(en m)
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