Contrôle continu n 4 du 07/12/2006 Exercice 1

Université de Rennes 1
Institut Mathématique de Rennes
Licence Science, Technologie, Santé
Module A03
Contrôle continu n◦ 4 du 07/12/2006
L'épreuve se compose de 4 exercices indépendants.
Les calculatrices et documents sont interdits.
NOM :
PRÉNOM :
Note :
/20
Exercice 1 (5 points)
1) Donner un énoncé de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
2) Démontrer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev en utilisant l'inégalité de Markov :
Soit X une v.a.r. positive, alors P(X ≥ λ) ≤
E(X)
,
λ
∀λ > 0.
(On pourrait utiliser la v.a.r. Y = [X − E(X)]2 .)
Exercice 2 (9 points) Soit n ∈ N. On tire n fois avec remise une boule dans une urne composée de 5
boules noires et 20 boules blanches. Soit Xn la v.a.r. égale au nombre de boules noires obtenues lors des
Xn
.
n tirages. On pose Fn =
n
1) Quelle est la loi de Xn ? Déterminer l'espérance et la variance de Xn et de Fn .
2) On pose n = 10 000. En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, trouver une borne inférieure
pour la probabilité que Fn prenne une valeur dans ]0.19, 0.21[.
3) En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev estimer le nombre minimal de tirages nécessaires
pour que la probabilité que Fn prenne une valeur dans ]0.19, 0.21[ soit au moins 0.99.
Exercice 3 (6 points)
Une agence immobilière dispose de 25 appartements : Si on note par nk le nombre d'appartements de
l'agence qui ont k pieces, k = 1, 2, 3, 4, 5 alors on obtient la série statistique à une variable suivante :
nombre de pièces k
nombre d'appartements ayant k piéces
1
4
2
7
3
5
4
5
5
4
1) Tracer le diagramme en bâtons de cette série statistique. Déterminer le mode de cette série statistique.
2) Déterminer la médiane en justiant votre résultat.
3) Déterminer la moyenne et la variance de la série sous forme d'une fraction rationnelle.
1
Solution
Exercice 1 1) Soit X une v.a.r. Alors
∀² > 0 : P(|X − E(X)| ≥ ²) ≤
V(X)
.
²2
2) On utilise l'inégalité de Markov pour Y = [X − E(X)]2 et λ = ²2 :
P( |X − E(X)| ≥ ² ) = P ( [X − E(X)]2 ≥ ²2 ) = P(Y ≥ ²2 ) ≤
E(Y )
V(X)
=
,
²2
²2
où on a utilisé E(Y ) = E( [X − E(X)]2 ) = V(X).
Exercice 2 1) Xn suit une loi Binômiale B(n, 0.2).
1
4
1
4
.
E(Xn ) = n , V(Xn ) = n , E(Fn ) = , V(Fn ) =
5
25
5
25n
2) P(Fn ∈]0.19, 0.21[)
=
=
µ
¶
1
P(−0.01 < Fn − 0.2 < 0.01) = P |Fn − E(Fn )| <
100
µ
¶
4
1
4 ∗ 10
21
1 − P |Fn − E(Fn )| ≥
≥1−
=
= 0.84
100
25n
25
3) P (Fn ∈]0.19, 0.21[) ≥ 1 −
4 ∗ 104
≥ 0.99
25n
donne n ≥ 160 000.
Exercice 3 On note les valeurs du caractére X : nombre de pièces par xk = k, k = 1, 2, 3, 4, 5, et
l'eectif de la valeur xk par nk .
1) le mode de X est x2 = 2 : n2 = max{n1 , . . . , n5 }.
2) La médiane de X est 3 : Si on note les 25 appartements par a1 , . . . , a25 tel que les premiers
4 appartements ont une piece, les 7 appartements suivantes ont 2 pièces e.t.c. alors la médiane est le
nombre de pièces du 13ème appartement, donc 3. Aussi, la suite des fréquences cumulées est F1 = 4/25,
F2 = 11/25, F3 = 16/25, F4 = 21/25, F5 = 25/25 On a F2 < 0.5 < F3 , donc la médiane est x3 = 3.
1 X
73
292
3) La moyenne de X est x =
xk nk =
=
= 2.92.
25
25
100
X
1
257
1028
x2k nk =
L'espérance de X 2 est x2 =
=
= 1.028,
25
25
100
2
257 73
1096
17 536
donc la variance de X est x2 − x2 =
− 2 =
=
= 1.7536.
25
25
625
10 000
2