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Chapitre 7: Inductionélectromagnétique - E
CHAPITRE 9 INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE 9.1 9.1.1 Phénomène d’induction :Loi de LENZ . Loi de FARADAY L’étude expérimentale Soit le montage suivant : Bobine Aimant I SA ID N G Galvanomètre à zero central BE NI M EL L AL -EL FIL AL S -E Définitions AL 9.1.2 LF ILA LI SA ID- CP GE Réalisons les expériences suivantes : Expérience 1 : On maintient la bobine fixe et on déplace l’aimant : le galvanomètre indique le passage du courant. Expérience 2 : On maintient l’aimant fixe et on déplace la bobine : le galvanomètre indique le passage du courant. C’est le phénomène d’induction électromagnétique. CP GE BE NI ME LL Définition : On appelle phénomène d’induction, l’apparition d’un courant ou d’une force électromotrice (f.e.m) dans un circuit mobile dans un champ magnétique variable. Deux cas particuliers : 115 2TSI/MP(Béni Mellal) 9.1. PHÉNOMÈNE D’INDUCTION :LOI DE LENZ . LOI DE FARADAY ◮ Circuit fixe dans un champ magnétique variable : Cas de NEUMANN . ◮ Circuit mobile dans un champ magnétique permanent : Cas de LORENTZ . Remarque- 32 : Soient R a le référentiel lié à l’aimant et R b le référentiel lié à la bobine Bobine Aimant S N Ra Rb ◮ Si l’observateur est lié à R a =⇒ cas de LORENTZ . ◮ Si l’observateur est lié à R b =⇒ cas de NEUMANN . Définition : • Circuit induit : circuit siège du phénomène d’induction. • Circuit inducteur : circuit source du champ magnétique à l’origine du phénomène d’induction. Soit un circuit (C) dont les porteurs de charge peuvent être mis en mouvement sous → − FIL → − F (M, t) (C) CP GE BE NI M EL L AL -EL Bobine AL I SA ID l’action d’une force F (M, t) ILA LI SA ID- Définition : On appelle f.e.m dans le circuit (C) la quantité -E LF 1 e(t) = q −−−−→ → − F (M, t).dOM C CP GE BE NI ME LL AL q représente la charge des porteurs de charge et la fem e(t) le même sens que l’orientation de C : 29 novembre 2016 Page -116/153- [email protected] 2TSI/MP(Béni Mellal) 9.1. PHÉNOMÈNE D’INDUCTION :LOI DE LENZ . LOI DE FARADAY Bobine → − F (M, t) ≡ e(t) (C) Remarque- 33 : L’existence d’une force électromotrice est liée à celle d’un champ à circulation non conservative. En effet : → − ∂A → −−−→ − → − → − → − → − → − → − On a F = q( E + V ∧ B) =⇒ F = q(−grad V − + V ∧ B) ∂t Ce qui donne → − ∂A → −−−→ − → − −−−−→ e(t) = (−grad V − + V ∧ B).dOM ∂t C Or −−−→ −−−−→ grad V.dOM = 0 d’où : C → − ∂A → − → − −−−−→ → − −−−−→ e(t) = (− + V ∧ B).dOM = E m .dOM ∂t C C FIL AL I SA ID → − ∂A → → − − → − +V∧B E m (M, t) = − ∂t AL -EL Le champ électromoteur 9.1.3.1 Énoncé GE Loi de LENZ SA ID- CP 9.1.3 BE NI M EL L Si le circuit induit présente une résistance R alors e(t) = Ri(t) ce qui montre que i(t) et e(t) ont même sens. LL Exemples ME 9.1.3.2 AL -E LF ILA LI Le sens du courant induit est tel que le champ magnétique crée par le courant induit s’oppose par ses effets aux causes qui ont donnés naissance à l’induction CP GE BE NI Exemple-1 : Mouvement de l’aimant Premier cas : 29 novembre 2016 Page -117/153- [email protected] 2TSI/MP(Béni Mellal) 9.1. PHÉNOMÈNE D’INDUCTION :LOI DE LENZ . LOI DE FARADAY Bobine Aimant S Lorsque on approche le pôle nord → − de l’aimant vers la bobine B e augmente, donc le sens de i est tel qu’il s’oppose à cette augmentation en créant un champ magnétique ~b qui → − Be N i(t) → − s’oppose à B Sens du mvt Deuxième cas : Bobine Aimant S N Lorsque on éloigne le pôle nord de → − l’aimant de la bobine B e diminue, donc le sens de i est tel qu’il s’oppose à cette diminution en créant un champ magnétique ~b qui aura le → − Be i(t) → − même sens que B Sens du mvt FIL AL I SA ID Remarque- 34 : Rapprocher le pôle sud est équivalent à éloigner le pôle nord ; ainsi éloigner le pôle sud est équivalent à rapprocher le pôle nord SA ID- → − F lap → − La force F ext déplace la barre − suivant le sens de → ex donc Le sens du courant induit i est tel → − que la force de LAPLACE F lap s’oppose à la force extérieur donc i se dirige vers la bas (op− posé à → ey ) AL -E LF i(t) → − ey → − F ext ILA LI → − B⊙ CP GE BE NI M EL L AL -EL Exemple-2 : Rail de LAPLACE ME LL → − ex CP GE BE NI Comme application : freinage par induction. Exemple-3 : Mouvement d’un pendule pesant en cuivre Réalisons les expériences suivantes 29 novembre 2016 Page -118/153- [email protected] 2TSI/MP(Béni Mellal) 9.1. PHÉNOMÈNE D’INDUCTION :LOI DE LENZ . LOI DE FARADAY I II III → − B⊙ → − B⊙ Oscillations amorties Oscillations amorties Oscillations amorties ≃ 39 T ≃ 29 T ≃ 35 T − → − → B= 0 − → − → − → → − → − ◮ Dans I on a B = 0 ; les forces exercées sont : P , R et f force de frottement. − → − → ◮ Dans II et III on a B , 0 et l’amortissement augmente de III vers II . ◮ Lors du mouvement de la plaque de cuivre la surface en regard S varie en fonction du temps c’est à dire S = S (t) → − B⊙ Cu dΦ , 0 d’où l’apparition d’un courant induit. dt FIL Par conséquent le flux Φ = Φ(t) =⇒ e = − AL I SA ID S(t) f lux du hamp (fem) GE é letromotrie d'indution magnétique par rapport est au égale à loǑppoǑsée de la variation temp AL LL + ME NI On a : e(t) = → − ∂ A −−−−→ (− .dOM ∂t C | {z } BE Induction de NEUMANN dΦ dt → − → − −−−−→ V ∧ B).dOM |C {z } Induction de LORENTZ CP GE e(t) = − -E LF ILA LI SA du fore CP La Loi de FARADAY ID- 9.1.4 BE NI M EL L AL -EL Le sens du courant induit est tel que le moment de la force de LAPLACE s’oppose au moment du poids 29 novembre 2016 Page -119/153- [email protected] 2TSI/MP(Béni Mellal) 9.2 9.2.1 9.2. L’ÉTUDE DE L’INDUCTION L’étude de l’induction L’induction de NEUMANN → − → − Considérons un circuit (C) fixe ( V = 0 ) → − → − dans un champ magnétique B = B(t). ( Σ) → − ∂ A −−−−→ On a : e(t) = − C (− ).dOM ∂t ∂ → − −−−−→ → − −−→ → − Or B = rot A =⇒ e(t) = − ( C A.dOM) ∂t Ce qui donne en transformant l’intégrale simple en intégrale double : (C ) e(t) = − → − ∂ A −−−−→ d dΦ → − −→ .dOM = − B.dS = − ∂t dt dt (Σ) C Application 18 : CCP TSI 2010 9.2.2 L’induction de LORENTZ → − → − Le champ magnétique B(M, t) = B(M) est permanent et le circuit C est mobile. dΦc → − → − −−→ ( V ∧ B).d OM = − dt I SA ID e(t) = AL Avec Φc le flux coupé par le circuit lors de son mouvement. ID- CP GE BE NI M EL L AL -EL FIL Application 19 : Considérons le circuit suivant constitué des rails de LAPLACE modélisable par une résistance R et une barre MN de masse m mobile sans frottement on donne : → − − • B = B→ ez champ stationnaire uniforme. • La vitesse initiale V(t = 0) = Vo • MN=ℓ longueur de la barre -E LF ILA LI SA B CP GE BE NI ME LL AL R → − − V (t) = V(t)→ ex → − B⊙ 29 novembre 2016 → − ey → − ex A Page -120/153- [email protected] 2TSI/MP(Béni Mellal) 9.2. L’ÉTUDE DE L’INDUCTION Questions: 1. Quelle est l’équation différentielle vérifiée par la vitesse V(t). 2. Donner l’expression du courant induit. 3. Faire un bilan énergitique. 1. L’équation différentielle vérifiée par la vitesse V(t). H → − → − −−−−→ ( V ∧ B).dOM =⇒ e(t) = −V Bℓ < 0 C V Bℓ Comme e(t) = Ri =⇒ i = − R On a : e(t) = → − dV → − → − → − On suppose le référentiel R est galiléen, la RFD donne : P + R + F L = m dt dV V B2 ℓ 2 → − Par projection suivant e x on obtient :m = iBℓ = − dt R ce qui donne dV B2 ℓ2 + V=0 dt mR C’est l’équation différentielle vérifiée pa la vitesse On pose mR B2 ℓ 2 FIL AL alors l’équation précédente devient I SA ID τ= EL L AL -EL dV 1 + V = 0 =⇒ V(t) = Vo e−t/τ dt τ BE NI M Représentation graphique : GE V -E LF ILA LI SA ID- CP Vo τ t CP GE BE NI ME LL AL Vo e 29 novembre 2016 Page -121/153- [email protected] 2TSI/MP(Béni Mellal) 9.2. L’ÉTUDE DE L’INDUCTION Remarque- 35 : On a : e(t) = −V Bℓ d(Bℓx) dΦ =⇒ e(t) = − =− dt dt dx V= dt O to = 0 x t 2. L’expression du courant : On a : i = − BVℓ et V = Vo e−t/τ alors R i(t) = −Io e−t/τ avec Io = BℓVo R i(t) τ FIL AL Io e BE NI M EL L AL -EL − I SA ID t SA ID- CP GE -Io ILA LI Le signe (-) traduit la loi de LENZ . LF 3. Bilan énergitique On a à t = 0 LL R +∞ AL -E 1 → − E m = E c + E p =⇒ E mo = E co = m V 2o 2 CP GE BE NI ME De même :W J = o Ri2 (t) Or i(t) = −Io e−t/τ ce qui donne après intégration 29 novembre 2016 1 → − W J = m V 2o = E co 2 Page -122/153- [email protected] 2TSI/MP(Béni Mellal) 9.3. L’AUTO-INDUCTION Conclusion: Toute l’énergie cinétique initiale de la barre est dissipée par effet joule: C’est le principe de la conservation de l’énergie 9.3 L’AUTO-INDUCTION 9.3.1 DÉFINITIONS Soit (C) un contour traversé par un courant i permanent (I=cte) ou lentement variable (i(t) avec ARQP respectée) − −−→ → → − On rappelle que dans le cadre de l’ARQP on a rot B = µo j −−→ −−→ µo H id OP ∧ PM → − On a : B(M) = −−→3 4π (C) PM −−→ H id OP µo → − Ainsi A (M) = (C) 4π PM → − Calculons le flux de B crée par (C) à travers Σ qui s’appuie sur ce contour, un ( Σ) tel flux s’appelle le flux propre on le note Φp On pose (C) (C) µo I 4π (C) (C ) −−→ −→ µo I I d − id OP → − OP → − .dℓ =⇒ Φ p = i .dℓ PM 4π (C) (C) PM I SA ID Φp = I i(t) AL Ce qui donne − → − → A .dℓ FIL Σ(C) I I (C) BE NI M µo L= 4π I AL -EL −→ → − B(M).dS = EL L Φp = " (C) −−→ d OP → − .dℓ PM Φ = Li SA ID- CP GE L représente L’inductance du circuit ; son unité est le Henry de symbole H Il en résulte que APPLICATION : SOLÉNOIDE INFINI ILA LI 9.3.2 -E LF Considérons un solénoide infini (ℓ ≫ R) parcouru par un courant i I ⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙ CP GE BE NI ME LL AL I 29 novembre 2016 ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ Page -123/153- [email protected] 2TSI/MP(Béni Mellal) 9.3. L’AUTO-INDUCTION On a Φ p = NΦ p (spire) =⇒ Φ = Li = N → − Comme B est uniforme alors Φ p = Li = µo ! → − −→ B.dS Σ µo N 2 S µo N 2 πR2 Ni S =⇒ L = = ℓ ℓ ℓ Remarque- 36 : On peut déterminer l’inductance L à partir de l’expression de l’énergie magnétique En effet : $ $ Em = → − − Comme B = µo ni→ ez et # 1 → −2 B dτ =⇒ L = µo i2 1 1 2 Li = 2 2µo dτ = S ℓ alors L= 9.3.3 → −2 B dτ µo N 2 S ℓ L’ÉNERGIE MAGNÉTIQUE DANS UN CIRCUIT Considérons le circuit suivant : K L R AL I SA ID E AL -EL FIL l’interrupteur K est ouvert depuis longtemps à t = 0 on le ferme. EL L 1. Quelle est l’expression du courant i(t) pour t > 0 BE NI M 2. Faire un bilan énergitique. ID- CP GE Puisque K est ouvert depuis longtemps alors i(t = 0− ) = 0 = i(t = 0+ ) d’après la continuité du courant qui traverse la bobine. La loi des mailles donne L constante du temps ou temps de relaxation R LF avec τ = di di 1 E =⇒ + i= dt dt τ L ILA LI SA E = Ri + L ME LL AL -E En tenant des conditions initiales la solution de cette équation est CP GE BE NI Avec i(t) = Io (1 − e−t/τ ) Io = E R Représentation graphique : 29 novembre 2016 Page -124/153- [email protected] 2TSI/MP(Béni Mellal) 9.4. INDUCTION MUTUELLE DE DEUX CIRCUITS FILIFORMES FERMÉS INDÉFORMABLES ET FIXES i(t) Io 0, 63Io τ t Bilan énergitique On a : Z t Z t Z t di di 2 Ei dt = Ri dt + L i dt E = Ri + L =⇒ dt dt 0 0 0 R t di Rt 1 Or 0 L i dt = 0 Lidi = L(i2 − i2o ) et puisque io = 0 alors dt 2 Z Z t 1 2 Ei dt = Li + Ri2 dt 2 |0 {z } |{z} |0 {z } t Em Eg I SA ID Avec : EJ FIL AL ◮ E g : Énergie fournie par le générateur entre t = 0 et l’instant t > 0. ◮ E m : Énergie magnétique emmagasinée pal la bobine entre t = 0 et l’instant t > 0. ◮ E J : Énergie dissipée par effet JOULE dans la résistance entre t = 0 et l’instant t > 0. EL L AL -EL On retrouve la loi de conservation de l’énergie BE NI M Eg = Em + E J ID- CP GE Remarque- 37 : Autre expression de l’énergie magnétique 1 → −2 B dτ = Φi 2 -E INDUCTION MUTUELLE DE DEUX CIRCUITS FILIFORMES FERMÉS INDÉFORMABLES ET FIXES ME LL AL 9.4 $ LF ILA LI SA 1 1 E m = Li2 = 2 2µ BE NI DÉFINITIONS GE 9.4.1 CP Soient deux circuits (C1 ) et (C2 ) filiformes fermés et indéformables fixent par rapport à un référentiel, traversés par les courants i1 et i2 29 novembre 2016 Page -125/153- [email protected] 2TSI/MP(Béni Mellal) 9.4. INDUCTION MUTUELLE DE DEUX CIRCUITS FILIFORMES FERMÉS INDÉFORMABLES ET FIXES • P1 • P2 i1 i2 (C 1 ) (C 2 ) Notons : → − → − ◮ ( B 1 , A 1 ) les champs créent par le courant i1 traversant le circuit (C1 ) → − → − ◮ ( B 2 , A 2 ) les champs créent par le courant i2 traversant le circuit (C2 ) Avec : µo i1 → − B1 = 4π I µo i2 → − B2 = 4π I Ainsi : (C1 ) −→ −−−→ dl1 ∧ P1 M −−−→3 P1 M (C2 ) −→ −−−→ dl2 ∧ P2 M −−−→3 P2 M ; ; µo i1 → − A1 = 4π I −→ dl1 P1 M µo i2 → − A2 = 4π I −→ dl2 P2 M (C1 ) (C2 ) De même : ! → − −→ → − B 1 .dS 2 : le flux du champ B 1 à travers le circuit(C2 ) ! → − −→ → − = Σ B 2 .dS 1 : le flux du champ B 2 à travers le circuit(C1 ) 1 " I − → − → → − −→ Φ1→2 = B 1 .dS 2 =⇒ Φ1→2 = A 1 .dℓ2 • Φ2→1 On a : Σ2 I SA ID • Φ1→2 = Σ2 EL L I (C2 ) BE NI M Φ1→2 µo i1 = 4π AL -EL FIL AL −→ µo i1 H dl1 → − Or : A 1 = donc (C ) 1 4π P1 P2 (C2 ) h µo I GE Par conséquent I ID- CP Φ1→2 = i1 ILA LI SA On pose 4π I (C2 ) I I → − → − dℓ1 dℓ2 i (C1 ) P1 P2 → − → − dℓ1 dℓ2 (C1 ) P1 P2 AL -E LF M1→2 µo = 4π (C2 ) (C1 ) → − dℓ1 → − dℓ2 P1 P2 ME LL L’inductance mutuelle du circuit (C1 ) à travers le circuit (C2 ) CP GE BE NI Remarque- 38 : L’unité de M1→2 est le HENRY (H) 29 novembre 2016 Page -126/153- [email protected] 2TSI/MP(Béni Mellal) 9.4. INDUCTION MUTUELLE DE DEUX CIRCUITS FILIFORMES FERMÉS INDÉFORMABLES ET FIXES Il en résulte que Φ1→2 = M1→2 i1 De la même façon on trouve Φ2→1 = i2 h µo I 4π (C1 ) I → − → − dℓ1 dℓ2 i = M2→1 i2 (C2 ) P2 P1 Remarque- 39 : 1. M1→2 = M2→1 = M cœfficient d’inductance mutuelle 2. Le cœfficient d’inductance mutuelle M est un réel (M ∈ R). 3. Deux circuits à caractère inductif avec convention récepteur M > 0 i1 i2 AL FLUX MAGNÉTIQUE TOTAL À TRAVERS UN CIRCUIT CP GE BE NI M EL L AL -EL Soient deux circuits en influence inductif FIL 9.4.2 I SA ID M i2 ILA LI SA ID- i1 (C 2 ) -E LF (C 1 ) NI ME LL AL Soient Φ1 le flux total à travers le circuit C1 et Φ2 le flux total à travers le circuit C2 . Notons Φ p le flux propre. par conséquent : CP GE BE Φ1 = Φ p1 + Φ2→1 Φ2 = Φ p2 + Φ1→2 29 novembre 2016 Φ1 = L1 i1 + Mi2 =⇒ Φ2 = L2 i2 + Mi1 Page -127/153- [email protected] 2TSI/MP(Béni Mellal) 9.4. INDUCTION MUTUELLE DE DEUX CIRCUITS FILIFORMES FERMÉS INDÉFORMABLES ET FIXES Qu’on peut écrire sous forme matricielle Φ1 L1 M i1 = Φ2 M L2 i2 Ainsi e1 (t) = − dΦ1 dt e2 (t) = − et dΦ2 dt Application 20 : Écrire la loi des mailles pour le circuit suivant : R1 R2 i1 i2 U1 U2 L1 L1 M di1 di2 +M dt dt U2 = R2 i2 + L2 di2 di2 +M dt dt CP 1 Φi ce qui donne : 2 SA On rappelle que E m = GE BE NI M L’ÉNERGIE MAGNÉTIQUE DE DEUX CIRCUITS COUPLÉS PAR INDUCTANCE MUTUELLE ID- 9.4.3 EL L AL -EL FIL AL I SA ID U1 = R1 i1 + L1 LF ILA LI 1 1 1 1 E m1 = Φ1 i1 =⇒ E m1 = (L1 i1 + Mi2 )i1 = L1 i21 + Mi1 i2 2 2 2 2 AL -E Ainsi ME LL 1 1 1 1 E m2 = Φ2 i2 =⇒ E m2 = (L2 i2 + Mi1 )i2 = L2 i22 + Mi1 i2 2 2 2 2 CP GE BE NI Il en résulte que 29 novembre 2016 E m = E m1 + E m2 = 1 2 1 2 L1 i + L2 i + Mi1 i2 2 1 2 2 Page -128/153- [email protected] 2TSI/MP(Béni Mellal) 9.4. INDUCTION MUTUELLE DE DEUX CIRCUITS FILIFORMES FERMÉS INDÉFORMABLES ET FIXES Remarque- 40 : En convention récepteur on a M > 0 et E m > 0 ainsi i1 2 i1 i 1 h E m = i21 L2 + L1 + 2M 2 i2 i2 On pose x = résulte que i1 1 ce qui donne E = m = i22 (L1 x2 + 2Mx + L2 ) > 0 =⇒ ∆′ = M 2 − L1 L2 < 0 il en i2 2 p L1 L2 CP GE BE NI ME LL AL -E LF ILA LI SA ID- CP GE BE NI M EL L AL -EL FIL AL I SA ID M< 29 novembre 2016 Page -129/153- [email protected]
