Traité de stabilité des constructions. Leçons professées au

CALCUL DE L'ÉQUILIBRE GÉNÉRAL D'UN ARC
trement, soit une force nulle, si le sommier d'origine est à
rotule.
3° Au stabili-centre d'encastrement d'extrémité J, on
applique soit une force inconnue Z s'il doit y avoir encastrement, soit une force nulle s'il y a r o t u l e .
4° Au stabili-centre de poussée T, on applique une force
toujours inconnue X.
S0 Au sommier d'origine 0 , on applique soit une force
inconnue % si le sommier est à rotule, soit une force nulle
s'il est à encastrement.
6° Au sommier d'extrémité on applique soit une force
inconnue at si le-, sommier est à rotule, soit une force nulle
s'il est à encastrement.
Cela fait, on exprime graphiquement qu'il y a équilibre
asiatique, c'est-à-dire pour toutes les directions, entre les
forces connues et les forces i n c o n n u e s . Il n'y aura jamais
que trois inconnes ainsi que le fait voir le t a b l e a u ci-après.
Points
d'applfcation
et forces fictives
à y appliquer ou à y
trouver
1 e r Cas
Les deux
sommiers
encastrés
2 e Cas
Sommier
d'origine
encastré
(l'autre
à rotule)
Stabili-centre P, avec
A = <+<*!
A
connu
A
connu
A
connu
A
connu
X
inconnu
X
inconnu
X
inconnu
X
inconnu
Y
inconnu
Y
inconnu
Y= 0
et
M0 = 0
Y = 0
et
M0 = 0
Z
inconnu
Z= 0
et
Mi = 0
Z
inconnu
Z = 0
et
Mi = 0
«o = 0
«o=0
inconnu
a! = 0
inconnu
Stabili-centre T, avec
Stabili-centre I, avec
M
y = -i!(*Si + «ï.)
Stabili-centre J, avec
Mi
Sommier 0, avec
a0
Sommier D, avec
«i
«i
3= Cas
4 e Cas
Sommier
d'extrémité Les deux
encastré sommiers
(l'autre
à rotule
à rotule)
«0
at = 0
a
o
inconnu
«i
inconnu
La force A, qui résulte des charges, est connue dans tous
les cas. Pour déterminer une quelconque des trois forces
inconnues (X par exemple, c'est-à-dire la poussée dans le
I e r cas), le procédé le plus simple consiste à rendre les
forces parallèles à la droite IJ qui réunirait les points
d'application des deux autres forces inconnues Y et Z ;
en prenant les moments par rapport à cette droite les
forces Y et Z donneront des moments nuls, et l'équation
des moments, ne comprenant plus que la force X, fera connaître cette dernière.
Nota. — Les quantités A, A', A", A4 peuvent se calculer arithmétiquement (v. n° 429), au lieu de se construire
géométriquement.
389
428 bis. Application de la méthode graphique (fig. 428).
(a) Arc à deux sommiers encastrés (fig. I). — Les inconnues sont la poussée t, et les deux moments d'encastrement M0 et Mi.
1° Poussée. — On mène la droite IJ qui joint les stabilicentres d'encastrement, et l'on écrit que le moment, par
rapport à la droite IJ delà force fictive connue A = a / 4 - a ^ ,
appliquée en P est égal et de signe contraire à celui de la
force fictive inconnue X = *(a08 + a i 6 ) : 6 appliquée en T.
Pour évaluer les moments il est inutile d'abaisser les perpendiculaires des points P et T sur la droite IJ. On peut
prendre pour bras de leviers les portions d'ordonnées PP ;
et TT" interceptées, car elles sont proportionnelles aux
perpendiculaires; cela donnera :
PP'
a ï -4- a?
ag
TT
x4» - r .-.j
0
Les deux rapports par lesquels il faut multiplier successivement 6 sont des rapports de longueurs à prendre à
une échelle quelconque sur l'épure.
2° Moment d'encastrement à l'origine M0. — On joint JT,
et l'on écrit que le moment, pris par rapport à cette droite,
d'une force fictive inconnue
Y = M0(a0v° -+• %<"•<>) : p est
égal à celui de la force fictive connue A appliquée en P ,
ce qui donne
PP"
aS -+- a'I
(2)
M
^x^p-X/—~
3» Moment d'encastrement à l'extrémité M t . — On joint
IT et en prenant, par rapport à cette droite, les moments
des forces fictives appliquées en P et en J, on aura
PP'"
«?
i^X-pjjrXM,
(3)
afi
JJ
(6) Arc avec un seul sommier encastré (fig. II). — S u p posons que ce soit le sommier d'origine : les inconnues
sont la poussée *, le moment d'encastrement M0, et la
déviation angulaire à l'extrémité <*i :
•1» Poussée. — On joint le point I et le sommier D et
l'on écrit que, p a r rapport à cette droite, les moments de
la force fictive A, connue, appliquée en P et de X, inconnue, appliquée en T sont nuls, ce qui donne (fig. II) :
PP'
ag -+- a?
«
<--9*TT'x«t^r
2° Moment d'encastrement Mo. — On mène la droite TD,
et en écrivant que les moments sont nuls on a
PP"
aj
M„
(S)
11
axo
3° Déviation angulaire d'extrémité a*. — On mène la
droite IT et c'est par rapport à elle que l'on prend les
moments de la force A appliquée en P et de la force fictive «i appliquée en D, ce qui donne
PP'"
(6)
"t = (ff + «OX 1 5 5 ï -