Exercice de spécialité Amérique du Nord Juin 2009

Ultrabac Terminale S – Exercice de spécialité du sujet Amérique du Nord juin 2009
Soit A l'ensemble des entiers naturels de l'intervalle [1; 46] .
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1.c) En déduire qu'il existe un unique entier x appartenant à A tel que 23x ≡ 1( 47 ) .
Là encore, nous allons procéder en deux phases.
1. On considère l'équation (E) : 23 × x + 47 × y = 1 où x et y désignent deux entiers relatifs.
1.a) Donner une solution particulière ( x0 ; y0 ) de (E).
Après quelques petits essais, on remarque :
23 × ( −2 ) + 47 × 1 = −46 + 47 = 1
Donc le couple ( −2;1) est une solution de (E).
1.b) Déterminer l'ensemble des couples ( x; y ) solutions de (E).
(E) est une équation diophantienne. Un classique de chez classiques à résoudre.
Première phase : de quelle forme sont les solutions de l'équation diophantienne (E) ?
Soit ( u; v ) un couple d'entiers relatifs solution de (E). Il vérifie donc l'égalité :
23 × u + 47 × v = 1 = 23 × ( −2 ) + 47 × 1 ⇔ 23 × ( u + 2 ) = 47 × (1 − v )
D'après 1.a
D'après cette dernière égalité, 23 divise le produit 47 × (1 − v ) .
Or 23 est premier avec le facteur 47.
En application du théorème de Gauss, il divise nécessairement l'autre facteur 1 − v .
Donc il existe un entier relatif λ tel que 1 − v = 23 × λ ⇔ v = 1 − 23 × λ
Il vient alors pour l'autre entier u :
23 × ( u + 2 ) = 47 × (1 − v ) = 47 × 23 × λ ⇔ u = 47 × λ − 2
Toutes les solutions de (E) sont de la forme ( 47 × λ − 2;1 − 23 × λ ) où λ est un entier
Première phase : si un tel entier existe, à quoi ressemble-t-il ?
Soit u un entier de l'intervalle 1; 46 solution de l'équation 23x ≡ 1( 47 ) .
Comme 23u ≡ 1( 47 ) , alors 47 et par conséquent −47 divisent la différence 23u − 1 .
Donc, il existe un entier relatif v tel que :
23 × u − 1 = −47 × v ⇔ 23 × u + 47 × v = 1
Donc le couple ( u; v ) est une solution de l'équation (E).
D'après le résultat de la question 1.b, l'entier u est alors de la forme
u = 47 × λ − 2
où λ est un entier relatif quelconque.
Or, l'entier u qui appartient à l'ensemble A, est compris entre 1 et 46. Il vient alors :
1 ≤ u ≤ 46 ⇔ 1 ≤ 47 × λ − 2 ≤ 46 ⇔
3 ≤ 47 × λ ≤ 48
3
48
1
≤λ≤
= 1+
⇒ 0<λ<2
47
47
47
L'entier relatif λ étant strictement compris entre 0 et 2, il ne peut être qu'égal à 1. Ainsi :
u = 47 ×1 − 2 = 47 − 2 = 45
Ainsi, dans l'ensemble A, seul 45 peut être solution de l'équation 23x ≡ 1( 47 ) .
⇔
Mais rien ne dit qu'il le soit !
Seconde phase : 45 est-il une solution de l'équation 23x ≡ 1( 47 ) ?
23 × 45 = 1035 = 1 + 22 × 47 ≡ 1 modulo 47
Conclusion : L'équation 23x ≡ 1( 47 ) a une seule solution dans l'ensemble A : 45.
relatif quelconque.
Seconde phase : réciproquement, tout couple de la forme ( 47 × λ − 2;1 − 23 × λ ) est-il
solution de (E) ?
Pour tout entier relatif λ, nous pouvons écrire :
23 × ( 47 × λ − 2 ) + 47 × (1 − 23 × λ ) = 1081 × λ − 46 + 47 − 1081× λ = 1
La réponse est : Oui !
Conclusion : les solutions de l'équation diophantienne (E) : 23 × x + 47 × y = 1 sont les
couples d'entiers de la forme ( 47 × λ − 2;1 − 23 × λ ) où λ est un entier relatif.
2. Soient a et b deux entiers relatifs
2.a) Montrer que si a × b ≡ 0 modulo 47 alors a ≡ 0 modulo 47 ou b ≡ 0 modulo 47
Si a × b ≡ 0 modulo 47 , alors 47 divise la différence a × b − 0 = a × b .
Là, de deux choses l'une :
Soit 47 divise a et alors naturellement, a est congru à 0 modulo 47.
Soit 47 ne divise pas a.
47 étant un nombre premier, cela implique que le diviseur 47 est premier avec
le facteur a.
Comme 47 divise le produit a × b et qu'il est premier avec le facteur a,
alors 47 divise nécessairement l'autre facteur b en vertu du théorème de Gauss.
Et comme 47 divise b, alors nous avons naturellement : b ≡ 0 modulo 47
Conclusion : si a × b ≡ 0 modulo 47 alors a ≡ 0 modulo 47 ou b ≡ 0 modulo 47
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2.b) En déduire que :
si a 2 ≡ 1 modulo 47 alors a ≡ 1 modulo 47 ou a ≡ −1 modulo 47
Raisonnons modulo 47 :
Si a 2 ≡ 1 modulo 47 alors a 2 − 1 ≡ 0 modulo 47
D'après le résultat
de la question
précédente
( a − 1) × ( a + 1) ≡ 0
alors
modulo 47
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3.b) Quels sont les entiers p de A qui vérifient p = inv ( p ) ?
Nous recherchons les entiers naturels compris entre 1 et 46 qui sont leurs propres
inverses modulo 47.
Procédons par équivalences...modulo 47 !
p est son propre inverse modulo 47 ⇔ p × p ≡ 1 modulo 47
alors a − 1 ≡ 0 modulo 47 ou a + 1 ≡ 0 modulo 47
⇔
p 2 ≡ 1 modulo 47
alors a ≡ 1 modulo 47 ou a ≡ −1 modulo 47
⇔
p ≡ 1 modulo 47 ou p ≡ −1 modulo 47
D'après l'équivalence établie lors de la question 2.c
Allons un peu plus loin. Même si ce n'est pas demandé, la réciproque est évidente.
Si a ≡ 1 modulo 47
Dans l'intervalle des entiers A = 1; 46 :
Il existe seulement un entier congru à 1 modulo 47 : il s'agit de 1.
Il existe seulement un entier congru à −1 modulo 47 : il s'agit de 46.
Conclusion : dans l'ensemble A, seuls les entiers 1 et 46 sont leurs propres inverses.
alors a 2 ≡ 12 ≡ 1 modulo 47
2
Si a ≡ −1 modulo 47 alors a 2 ≡ ( −1) ≡ 1 modulo 47
En conclusion, nous avons l'équivalence :
a 2 ≡ 1 modulo 47 ⇔ a ≡ 1 modulo 47 ou a ≡ −1 modulo 47
Nous réutiliserons ce résultat non demandé par la suite...
3.a) Montrer que pour tout entier p de A, il existe une entier relatif q par lequel
p × q ≡ 1 modulo 47
Soit p un entier appartenant à l'ensemble A, c'est-à-dire un entier compris entre 1 et 46.
Comme 47 est un nombre premier, alors il est premier avec chacun des entiers naturels
qui le précèdent. Donc en particulier avec p.
Comme les entiers p et 47 sont premiers entre eux, alors, en application du théorème de
Bezout, il existe deux entiers relatifs u et v tel que :
p × u + 47 × v = 1
Modulo 47, cette égalité devient :
p × u = 1 − 47 × v ≡ 1 modulo 47
Conclusion : pour tout entier naturel p compris entre 1 et 46, il existe un entier q tel que :
p × q ≡ 1 modulo 47
3.c) Montrer que 46! ≡ −1 modulo 47 .
La factorielle 46! = 1× 2 × 3 × … × 46 est le produit de tous les entiers naturels compris
entre 1 et 46.
Les inverses modulo 47 dans l'ensemble A, c'est comme les chaussettes dans un tiroir, ça
marche par deux.
Comprenez que pour tout entier naturel p dans A, il existe un unique autre entier q de A
tel que :
p × q ≡ 1 modulo 47 ⇔ p et q sont les inverses l'un de l'autre modulo 47
Mais ce que nous disons là doit cependant être nuancé.
En effet, 1 et 46 étant leurs propres inverses, il sera difficile de faire de leur trouver une
âme soeur pour constituer une paire d'inverses.
Par contre, les quarante-quatre entiers compris entre 2 et 45 ont eux un inverse compris
entre 2 et 45 qui leur est différent.
Ces quarante-quatre entiers entre 2 et 45 vont former vingt-deux couples d'inverses,
c'est-à-dire vingt-deux produits tous congrus à 1 modulo 47.
Avec tous ces accouplements, la factorielle de 46 se simplifie alors grandement :
46! ≡ 1× 2
× 3 × 4 ×… × 43 × 44
× 45 × 46 modulo 47
Avec ces quarante-quatre nombres,
nous constituons vingt-deux couples
sur le principe : un nombre×son inverse
Pour la suite, on admet que pour tout entier p de A, il existe un unique entier noté inv ( p )
appartenant à A tel que :
p × inv ( p ) ≡ 1 modulo 47
Par exemple :
inv (1) = 1
car 1× 1 ≡ 1 modulo 47
inv ( 2 ) = 24 car 2 × 24 = 48 ≡ 1 modulo 47
inv ( 3) = 16
car 3 ×16 = 48 ≡ 1 modulo 47
inv(p) est
l'inverse de p
modulo 47
≡ 1×
×1× … ×1
1
× 46 modulo 47
Vingt-deux couples
"un nombre×son inverse"
Autant de facteurs 1.
≡ 1×1× 46 ≡ 46 ≡ −1 modulo 47
D'où ce qui était demandé