CONTRÔLE D`UN AVION À STABILITÉ RÉDUITE

CONTRÔLE D’UN AVION À STABILITÉ RÉDUITE
Alexander P. Feuersänger1
Encadrants:
Gilles Ferreres et Clément Toussaint
Office National d’Études et de Recherches Aérospatiales
(ONERA - DCSD)
Journées de Thèses 2006–2007
1
[email protected]
Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Context
Cette thèse traite de l’avion civil à stabilité naturelle réduite.
Pourquoi considérer une stabilité réduite sur le plan mécanique du
vol d’un avion civil ?
[email protected]
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A. P. Feuersänger
ONERA
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Context
Cette thèse traite de l’avion civil à stabilité naturelle réduite.
Pourquoi considérer une stabilité réduite sur le plan mécanique du
vol d’un avion civil ?
Une réduction de la taille des empennages réduit le poids et la
surface aérodynamique, et donc la traînée et l’utilisation de
kérosène.
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Context
Cette thèse traite de l’avion civil à stabilité naturelle réduite.
Pourquoi considérer une stabilité réduite sur le plan mécanique du
vol d’un avion civil ?
Une réduction de la taille des empennages réduit le poids et la
surface aérodynamique, et donc la traînée et l’utilisation de
kérosène.
Une plage admissible des centrages décalée en arrière permet
de :
1
2
voler à des points de “trim” plus avantageux,
réduire la taille de l’élévateur jusqu’à un certain point.
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Context
Cette thèse traite de l’avion civil à stabilité naturelle réduite.
Pourquoi considérer une stabilité réduite sur le plan mécanique du
vol d’un avion civil ?
Une réduction de la taille des empennages réduit le poids et la
surface aérodynamique, et donc la traînée et l’utilisation de
kérosène.
Une plage admissible des centrages décalée en arrière permet
de :
1
2
voler à des points de “trim” plus avantageux,
réduire la taille de l’élévateur jusqu’à un certain point.
Ces deux pistes pour rendre l’avion plus efficace peuvent réduire la
stabilité d’une manière importante.
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Motivation
D’une part la réduction de la stabilité naturelle d’un avion
comporte des bénéfices pour la performance.
D’autre part, pour sa certification, un avion doit respecter
plusieurs normes et règlements, en particulier des critères de
stabilité et d’amortissement des modes.
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Motivation
D’une part la réduction de la stabilité naturelle d’un avion
comporte des bénéfices pour la performance.
D’autre part, pour sa certification, un avion doit respecter
plusieurs normes et règlements, en particulier des critères de
stabilité et d’amortissement des modes.
L’analyse de ces critères est donc obligatoire dans une démarche
avant-projet.
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Motivation
En conséquence, l’avion naturel (trop instable) risque de ne
pas réaliser les besoins pour sa certification au niveau des
qualités de vol.
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Motivation
En conséquence, l’avion naturel (trop instable) risque de ne
pas réaliser les besoins pour sa certification au niveau des
qualités de vol.
A ce titre, une loi de commande de type “back-up” assurant les
spécifications minimales doit être rajoutée en cas de panne de
système de commande de vol.
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Motivation
En conséquence, l’avion naturel (trop instable) risque de ne
pas réaliser les besoins pour sa certification au niveau des
qualités de vol.
A ce titre, une loi de commande de type “back-up” assurant les
spécifications minimales doit être rajoutée en cas de panne de
système de commande de vol.
Pour cela, une analyse approfondie de la stabilité réduite est
nécessaire qui aboutit à des recommandations en phase
avant-projet.
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Objectifs de la thèse
Cette thèse s’inscrit donc dans une approche pluridisciplinaire.
Elle est partagée en deux parties principales avec leur propres
objectifs :
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Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Objectifs de la thèse
Cette thèse s’inscrit donc dans une approche pluridisciplinaire.
Elle est partagée en deux parties principales avec leur propres
objectifs :
Mécanique du vol :
Identifier les potentiels d’une stabilité réduite et les
critères/règlements pouvant les limiter.
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Automatique
Conclusions et perspectives
Objectifs de la thèse
Cette thèse s’inscrit donc dans une approche pluridisciplinaire.
Elle est partagée en deux parties principales avec leur propres
objectifs :
Mécanique du vol :
Identifier les potentiels d’une stabilité réduite et les
critères/règlements pouvant les limiter.
Développer des outils de modélisation et analyse afin
d’effectuer des études paramétriques pertinentes.
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Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Objectifs de la thèse
Cette thèse s’inscrit donc dans une approche pluridisciplinaire.
Elle est partagée en deux parties principales avec leur propres
objectifs :
Mécanique du vol :
Identifier les potentiels d’une stabilité réduite et les
critères/règlements pouvant les limiter.
Développer des outils de modélisation et analyse afin
d’effectuer des études paramétriques pertinentes.
Pouvoir donner des recommandations pour une conception de
l’avion à performance améliorée. Ceci en considérant la
possibilité d’une stabilité artificiellement augmentée.
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Conclusions et perspectives
Objectifs de la thèse
Automatique :
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Automatique
Conclusions et perspectives
Objectifs de la thèse
Automatique :
Le but principal est la définition des lois de commande
longitudinale et latérale de type ’back-up’ de l’avion à stabilité
réduite, voire négative.
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Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Objectifs de la thèse
Automatique :
Le but principal est la définition des lois de commande
longitudinale et latérale de type ’back-up’ de l’avion à stabilité
réduite, voire négative.
Cette loi doit garantir la réalisation des critères décrits dans la
première partie.
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Objectifs de la thèse
Automatique :
Le but principal est la définition des lois de commande
longitudinale et latérale de type ’back-up’ de l’avion à stabilité
réduite, voire négative.
Cette loi doit garantir la réalisation des critères décrits dans la
première partie.
De plus, elle doit prendre en compte les caractéristiques des
actionneurs :
minimisation de l’activité des actionneurs étant donné que
l’avion est naturellement instable,
stabilité garantie en saturation,
performance acceptable avec actionneur saturé.
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Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Plan de la thèse
PARTIE I : Analyse de la mécanique et de la dynamique du vol
Stabilité réduite longitudinale
Approche analytique du mode potentiellement instable
Analyse linéaire du vol en turbulence
Vers un critère pour les centrages arrières
Conclusion avec recommandations en longitudinal
Stabilité réduite latérale
Étude analytique de l’équilibre à VMC
Outil pour conduire des études paramétriques
Analyse des manœuvres à VMC
Conclusion avec recommandations en latéral
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Plan de la thèse
PARTIE II : Synthèse d’un correcteur robuste de type ’back-up’
Introduction
Résumé des conclusions de la 1ère partie et définition des
objectifs de la loi de pilotage
Discussion des techniques possibles
Synthèse d’un correcteur robuste
La synthèse polytopique
La stabilité en présence des non-linéarités
Un technique de type ’anti-windup’
Conclusion sur la synthèse robuste
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Plan de la thèse
PARTIE III : Synthèse et perspectives
Résumé global et synthèse
Résumé des conclusions des deux parties
Les gains en masse et en consommation de kérosène
Perspectives
ANNEXE
Comparaisons avec un avion classique
Résultats complémentaires
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Partie mécanique et dynamique du vol - exemple longitudinal
80
70
Tact
60
δm / δt (o/s)
50
40
30
20
10
0
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
dxg = (Xg − Xref) / l
Activité de l’élévateur en vol
turbulent en boucle fermée.
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Partie mécanique et dynamique du vol - exemple longitudinal
80
4
10
70
3
10
Tact
2
Normalised damage DN = DXg / DXref
60
δm / δt (o/s)
50
40
30
20
1
10
0
10
Tact
−1
10
−2
10
−3
10
0
−0.1
10
10
−4
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Activité de l’élévateur en vol
turbulent en boucle fermée.
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-
10
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
fwd
dxg = (Xg − Xref) / l
A. P. Feuersänger
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
aft
dxg
Dommage infligé à l’actionneur dû à
son activité en vol turbulent.
ONERA
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Partie mécanique et dynamique du vol - Conclusions
Des critères pour des centrages arrières ont été établis.
Les conditions et objectifs pour une loi stabilisante sont définis.
Des recommandations ont été formulées : centrage, taille de la
dérive, installation motrice, amortissement et fréquence des
modes dynamiques . . .
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Partie mécanique et dynamique du vol - Conclusions
Des critères pour des centrages arrières ont été établis.
Les conditions et objectifs pour une loi stabilisante sont définis.
Des recommandations ont été formulées : centrage, taille de la
dérive, installation motrice, amortissement et fréquence des
modes dynamiques . . .
Ces informations font le lien entre mécanique du vol et automatique
et forment la base pour la prochaine partie de cette thèse.
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Partie automatique
Une loi de commande est synthétisée donnant une performance
satisfaisante pour :
une large plage de centrages, y compris des centrages arrières,
une stabilité réduite latérale due à une dérive diminuée.
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Partie automatique
Une loi de commande est synthétisée donnant une performance
satisfaisante pour :
une large plage de centrages, y compris des centrages arrières,
une stabilité réduite latérale due à une dérive diminuée.
Elle considère également les caractéristiques linéaires et
non-linéaires des actionneurs :
bande passante, amplitude en position et vitesse,
saturations.
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Partie automatique
Une approche polytopique est utilisée pour synthétiser un correcteur
de type retour d’état satisfaisant pour différents modèles :
[email protected]
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Partie automatique
Une approche polytopique est utilisée pour synthétiser un correcteur
de type retour d’état satisfaisant pour différents modèles :
des spécifications modales (placement des pôles dans une
région du plan complexe),
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Partie automatique
Une approche polytopique est utilisée pour synthétiser un correcteur
de type retour d’état satisfaisant pour différents modèles :
des spécifications modales (placement des pôles dans une
région du plan complexe),
des contraintes H∞ afin de minimiser l’activité de l’actionneur,
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Partie automatique
Une approche polytopique est utilisée pour synthétiser un correcteur
de type retour d’état satisfaisant pour différents modèles :
des spécifications modales (placement des pôles dans une
région du plan complexe),
des contraintes H∞ afin de minimiser l’activité de l’actionneur,
des contraintes de positivité pour garantir la stabilité de la
boucle fermée en présence des saturations.
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Partie automatique
Une approche polytopique est utilisée pour synthétiser un correcteur
de type retour d’état satisfaisant pour différents modèles :
des spécifications modales (placement des pôles dans une
région du plan complexe),
des contraintes H∞ afin de minimiser l’activité de l’actionneur,
des contraintes de positivité pour garantir la stabilité de la
boucle fermée en présence des saturations.
Un correcteur de type ’anti-windup’ est ajouté afin d’améliorer
les performances en boucle fermée.
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Notions de la synthèse polytopique
Le but est de synthétiser un retour d’état u = Kx satisfaisant des
contraintes modales, H∞ et de positivité pour un ensemble de
modèles linéaires.
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Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Notions de la synthèse polytopique
Le but est de synthétiser un retour d’état u = Kx satisfaisant des
contraintes modales, H∞ et de positivité pour un ensemble de
modèles linéaires.
Proposition
Considérons les modèles d’état en boucle ouverte (i ∈ [1, N ]):
ẋ = Ai x + B1,i w1 + B2,i w2 + B3,i u
z1 = C1,i x + D11,i w1 + D12,i w2 + D13,i u
z2 = C2,i x + D21,i w1 + D22,i w2 + D23,i u
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Contraintes et objectifs
Im
1. Les valeurs propres de la
boucle fermée Ai + B3,i K sont
placées à l’intérieur d’une région
LMI du plan complexe : λ étant
le degré de stabilitéa , ξ = cos(α)
un amortissement minimum et r
un module maximum.
r
α
Re
a
Le degré de stabilité d’une matrice
d’état A est − maxi Re(λi ), où les λi
sont les valeurs propres de A.
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λ
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Contraintes et objectifs
z2
4
z1,2
3
w2
3
[d_c’]
w1
1
u
2
y=x
1
x’ = Ax+Bu
y = Cx+Du
1
s
1/Tact
state−space model
z1,1
2
[d_c]
2. La norme H∞ de la matrice de transfert entre w1 et z1 est
inférieure à γ1 .
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Contraintes et objectifs
z2
4
z1,2
3
w2
3
[d_c’]
w1
1
u
2
y=x
1
x’ = Ax+Bu
y = Cx+Du
1
s
1/Tact
state−space model
z1,1
2
[d_c]
2. La norme H∞ de la matrice de transfert entre w1 et z1 est
inférieure à γ1 .
3. La matrice de transfert Tw2 →z2 entre w2 et z2 satisfait :
Tw2 →z2 (jω) + Tw∗ 2 →z2 (jω) > 2γ2 ∀ω ∈ [0, +∞)
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Proposition : condition suffisante
Une condition suffisante pour qu’il existe un retour d’état u = Kx satisfaisant
les contraintes 1–3 est qu’il existe une matrice de Lyapunov X = X T > 0 et
une matrice W = KX satisfaisant les LMIs :
Li (X, W ) + LT
i (X, W ) + 2λX < 0
«
„
−rX Li (X, W )
<0
?
−rX
`
´
`
´ «
„
− cos α` Li (X, W ) − LT
sin α Li (X, W ) + LT
i (X, W )
i (X, W´)
<0
?
sinα Li (X, W ) + LT
i (X, W )
0
1
T + W T DT
Li (X, W ) + LT
B1,i
XC1,i
i (X, W )
13,i
T
@
A<0
?
−γ1 I
D11,i
?
?
−γ1 I
«
„
T − W T DT
Li (X, W ) + LT
B2,i − XC2,i
i (X, W )
23,i
<0
T
?
2γ2 I − D22 − D22
avec Li (X, W ) = (Ai + B3,i K)X = Ai X + B3,i W . ? représente la partie conjuguée
de la matrice hermitienne.
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Remarques
Une technique de type
anti-windup est utilisée afin
d’améliorer les performances en
boucle fermée (à finaliser),
la stabilité est démontrée avec
des ellipsoïdes de Lyapunov
(zones d’attraction).
[email protected]
-
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Remarques
572
dxg = − 7 % fwd
dxg = + 5 % aft
458
343
229
q, deg/s
114
Une technique de type
anti-windup est utilisée afin
d’améliorer les performances en
boucle fermée (à finaliser),
0
−114
−229
−343
−458
la stabilité est démontrée avec
des ellipsoïdes de Lyapunov
(zones d’attraction).
[email protected]
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A. P. Feuersänger
−572
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
50
nz
Exemple : Domaine de stabilité en
fonction du centrage pour les états
(nz , q) en boucle fermée (correcteur
robuste).
ONERA
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Conclusion de la partie automatique
Un correcteur robuste sur une large plage de centrages a été
synthétisé pour un avion avant-projet. L’approche multi-objectif :
[email protected]
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Conclusion de la partie automatique
Un correcteur robuste sur une large plage de centrages a été
synthétisé pour un avion avant-projet. L’approche multi-objectif :
garantit des spécifications modales minimales (qualités de vol),
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Conclusion de la partie automatique
Un correcteur robuste sur une large plage de centrages a été
synthétisé pour un avion avant-projet. L’approche multi-objectif :
garantit des spécifications modales minimales (qualités de vol),
réduit l’activité des actionneurs,
[email protected]
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Conclusion de la partie automatique
Un correcteur robuste sur une large plage de centrages a été
synthétisé pour un avion avant-projet. L’approche multi-objectif :
garantit des spécifications modales minimales (qualités de vol),
réduit l’activité des actionneurs,
garantit la stabilité en présence des saturations des
actionneurs,
[email protected]
-
A. P. Feuersänger
ONERA
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Conclusion de la partie automatique
Un correcteur robuste sur une large plage de centrages a été
synthétisé pour un avion avant-projet. L’approche multi-objectif :
garantit des spécifications modales minimales (qualités de vol),
réduit l’activité des actionneurs,
garantit la stabilité en présence des saturations des
actionneurs,
garantit des bonnes performances en boucle fermée.
[email protected]
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Partie Conclusion et perspectives
Les conclusions des deux parties mécanique du vol et automatique
permettront de formuler une synthèse globale car :
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ONERA
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Partie Conclusion et perspectives
Les conclusions des deux parties mécanique du vol et automatique
permettront de formuler une synthèse globale car :
La partie mécanique du vol a révélé les potentiels d’une
stabilité réduite.
Elle a alimenté directement la synthèse d’une loi de commande
en définissant les contraintes et objectifs.
La partie automatique démontre la faisabilité pour une
configuration de l’avion à stabilité réduite en exploitant les
potentiels.
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Partie Conclusion et perspectives
Sous l’hypothèse que l’on possède les données nécessaires on
voudrait arriver à un bilan global de type :
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Partie Conclusion et perspectives
Sous l’hypothèse que l’on possède les données nécessaires on
voudrait arriver à un bilan global de type :
X % de centrage plus en arrière : Y % moins d’utilisation
de kérosène.
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Partie Conclusion et perspectives
Sous l’hypothèse que l’on possède les données nécessaires on
voudrait arriver à un bilan global de type :
X % de centrage plus en arrière : Y % moins d’utilisation
de kérosène.
X % de diminuation de la dérive : Y % moins de masse.
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Partie Conclusion et perspectives
Sous l’hypothèse que l’on possède les données nécessaires on
voudrait arriver à un bilan global de type :
X % de centrage plus en arrière : Y % moins d’utilisation
de kérosène.
X % de diminuation de la dérive : Y % moins de masse.
X % de réduction de stabilité naturelle : plus
d’actionneurs ou leur redimensionnement (plus grande
bande passante, plus large zone de fonctionnement) et donc
plus de masse/coûts.
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Introduction
Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Partie Conclusion et perspectives
Sous l’hypothèse que l’on possède les données nécessaires on
voudrait arriver à un bilan global de type :
X % de centrage plus en arrière : Y % moins d’utilisation
de kérosène.
X % de diminuation de la dérive : Y % moins de masse.
X % de réduction de stabilité naturelle : plus
d’actionneurs ou leur redimensionnement (plus grande
bande passante, plus large zone de fonctionnement) et donc
plus de masse/coûts.
Il existe alors un optimum entre stabilité réduite et les gains.
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Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Communications
A. P. Feuersänger, C. Toussaint and C. Döll, The impact of reduced lateral
stability on the VM C equilibrium and manoeuvres during early design phases of
an aircraft, Deutscher Luft-und Raumfahrtkongress, Friedrichshafen, Germany,
2005
A. P. Feuersänger, C. Döll and C. Toussaint, Actuator influence on flying
qualities of a naturally unstable aircraft, ICAS, Hamburg, Germany, 2006
A. P. Feuersänger and G. Ferreres, Design of a Robust Back-Up Controller for
an Aircraft with Reduced Stability, Guidance, Navigation, and Control
Conference and Exhibit, Keystone, CO, USA, 2006
A. P. Feuersänger and G. Ferreres, Robust Back-Up Control Design for an
Aircraft with Reduced Stability and Saturated Actuators, IFAC Symposium:
Automatic Control in Aerospace, Toulouse, France, 2007 (submitted paper)
A. Knauf, S. Gaulocher and A. P. Feuersänger, Innovative Controller Design for
Systems with Parameter Variations, Deutscher Luft-und Raumfahrtkongress,
Braunschweig, Germany, 2006
A. Knauf, S. Gaulocher and A. P. Feuersänger, Self-Scheduled Controller
Design for Relative Motion Control of a Satellite Formation, IMSM-IMAACA
Multiconference, Buenos Aires, Argentinia, 2007
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Mécanique et Dynamique du vol
Automatique
Conclusions et perspectives
Publications prévues
A. P. Feuersänger and G. Ferreres, Robust Back-Up Control Design for an
Aircraft with Reduced Stability and Saturated Actuators, Journal of Guidance,
Control, and Dynamics, 2007
A. Knauf, S. Gaulocher and A. P. Feuersänger, Self-Scheduled Controller
Design for Relative Motion Control of a Satellite Formation, Aerospace Science
and Technology, 2007
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Automatique
Conclusions et perspectives
Formations
Formations scientifiques
Formations générales
Nonlinear Control Systems:
Transformations, Equivalence,
Normalforms, Marie Curie FAP
Training-Module, Paris Graduate
School, CNRS et Supélec, 2006
Représentation et commande des
systèmes MIMO, Supaero, 2005
Systèmes non linéaires, Supaero,
2005
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Écrire à la française, Réseau
universitaire Toulouse
Midi-Pyrénées, 2006-2007
Gestion de projet, Direction de la
recherche et de la valorisation,
Collège des études doctorales,
2007
Management d’équipe, Direction
de la recherche et de la
valorisation, Collège des études
doctorales, 2007
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