N°4 corr - Mathématiques

Terminales L
Mathématiques
devoir N° 4 correction
29/11/2012
Étude d’une Partie de tennis
On note les évènements suivants :
S1 : « le premier service est réussi » ;
S2 : « le second service est réussi » ;
G : « Le point est gagné par le joueur qui est au service ».
Une étude sur les précédents matchs du joueur Naderer a permis d’établir que, lorsqu’il sert :
• Il réussit dans 75 % des cas son premier service donc P(S1) = 0,75 et, lorsque ce
service est réussi, il gagne le point dans 92 % des cas donc 𝑃!! 𝐺 = 0,92.
• S’il ne réussit pas son premier service, il réussit le second dans 96 % des cas donc
𝑃!! 𝑆! = 0,96 et lorsque ce second service est réussi, il gagne le point dans 70 % des
cas donc 𝑃!! 𝐺 = 0,7, les autres probabilités de l’arbre sont calculées en appliquant
la règle : la somme des probabilités des branches issues d’un nœud est égale à 1.
1. D’où l’arbre suivant :
2. 𝑃 𝑆! ∩ 𝐺 = 𝑃 𝑆! ×𝑃!! 𝐺 = 0,75×0,92 = 0,69.
3. La probabilité que le joueur Naderer gagne l’échange est de 0,8
𝑃 𝐺 = 𝑃 𝐺 ∩ 𝑆! + 𝑃 𝐺 ∩ 𝑆! = 0,69 + 0,25×0,96×0,7 = 0,858
4. Sachant que le joueur Naderer a gagné l’échange, calculer la probabilité que sa
première balle de service ait été jugée « bonne »
𝑃(𝑆! ∩ 𝐺)
0,69
𝑃! 𝑆! =
=
= 0,804
𝑃(𝐺)
0,858
5. Le joueur Naderer gagne quatre échanges consécutifs et on admet que chaque point
joué est indépendant des points joués précédemment.
Quatre branches successives menant à G donnent quatre jeux gagnants
!
consécutifs donc 𝑃 𝐺
= 0,858! = 0,542
QCM
Un centre culturel propose, pour l’année, différentes sortes de spectacles :
Une personne choisit au hasard un spectacle parmi les 40 spectacles proposés.
On note les événements suivants :
T : « le spectacle choisi est un spectacle de théâtre »
M : « le spectacle choisi est un spectacle de musique »
D : « le spectacle choisi est un spectacle de danse »
P : « le spectacle choisi a lieu sous chapiteau ».
Il y a 24 spectacles de théâtre, 12 spectacles de musique et 4 spectacles de danse.
24
12
4
donc p T =
= 0,6 ; p M =
= 0,3 et p D =
= 0,1
40
40
40
25 % des spectacles de théâtre, 50% des spectacles de musique et un seul spectacle de danse
ont lieu sous chapiteau
1
donc p! P = 0,25 ; p! P = 0,5 et 𝑃! 𝑃 = = 0,25
4
Partie A
D’où l’arbre pondéré ci-contre.
Partie B
Pour chacune des propositions
suivantes donner sa notation
mathématique et la formule
éventuelle qui permet de la
calculer et en déduire la bonne
réponse.
1. La personne ayant choisi un spectacle de théâtre, la probabilité de ne pas être sous
chapiteau est p! P = 0,75 donc réponse A
2. La probabilité que la personne choisisse un spectacle de musique sous chapiteau est :
3
p M ∩ P = p M ×p! 𝑃 = 0,3×0,5 = 0,15 =
donc réponse B 20
3. La probabilité d’avoir choisi un spectacle sous chapiteau est : p P ∩ T + p P ∩ M + p P ∩ D = p T ×p! 𝑃 + p M ×p! 𝑃 + p M ×p! 𝑃 13
= 0,6×0,25 + 0,3×0,5 + 0,1×0,25 = 0,325 =
donc réponse C
40
4. Le spectacle ayant lieu sous chapiteau, la probabilité d’avoir choisi un spectacle de
musique est :
p(M ∩ P) 0,15 0,15×40
6
p! 𝑀 =
=
=
=
donc réponse A 13
p(P)
13
13
40